“高斯的欧拉函数之和”被退，真是欲加之罪何患无辞。

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“高斯的欧拉函数之和”，我是在2012年4月11日递送给“火花”的，算作是我的第23篇文章。9月21日收到了审稿专家的退稿意见是：“文中说：“我们在探索素数群的结构规律时，曾经根据费马小定理构造了一幅剩余方阵。我们运用它揭开了素数的神秘面纱......利用它证明了费马素数只有五个的问题”。目前为学术界承认的结果是已经发现5个费马素数，而不是费马素数只5个。与文中的论断有出入。作者本人就此问题向本栏目投送的稿件，尚在评审中，还不能做定论。经过审阅，我们认为您的来稿不符合本栏目的要求，因此予以退稿。”
我的“高斯的欧拉函数之和”，着重揭示了高斯的欧拉函数之和的实质问题，也就是基本合数环的，内部的构造规律的问题。显然，这是一个极其重要的问题，然而，退稿意见却是完全避开主题不谈，希图从枝节问题上硬找差子，这岂不就是欲加之罪何患无辞。其实他们硬找到的差子，根本谈不上是什么差子。我的“探索证明只有5个费马素数”，不是随后就发表了，此文所确认的投稿日期为2012年3月28日，当然，现在他们仍然可以强辩说，此文的内容仅仅只是作者个人的观点，决不能说这是“火花”专家的确认。
2012年9月11日这一天，我胃癌开刀被割去了五分之四，术后一直在高烧之中。十天之后，也就是2012年9月21日这一天，我一共收到了包括“高斯的欧拉函数之和”在内的四篇退稿，和对于“勾股公式与毕氏三元数”的回复。这个沉重的打击反而认我变得情形了，我仿佛听到了有个声音总在不断地提醒我：“你不能死，因为你的心愿尚未完成，更激烈的斗争正在等着你”倪则均，2015年1月17日。
高斯的欧拉函数之和
倪则均
一，欧拉函数之和的实质
高斯的欧拉函数之和公式，笔者是在张君达教授主编的《数论基础》上看到的，此书在论述欧拉函数的基本性质时给出了这个公式。然而，我一直没有找到这个公式确实出自于高斯本人的证据，因为这个公式实在太重要了，如果确实是高斯首先发现，那么他就应该将其放在《算术研究》的首要位置。《数论基础》对于这个公式的推导十分简洁，全文摘录如下：
引理3  若n=αβ，则不大于n而与n以α为最大公约数的数的个数为φ（β）
证明：不大于n而与n以α为最大公约数的数是：α，2α，…，βα。若（kα，n）=α，即（kα，αβ）=α即（k，β）=1，1≤k≤β，而这样的k共有φ（β）个，故引理3得证。
为了叙述方便，引入下述符号。
S（α）={m│（m，n）=α，1≤m≤n}，由引理3知│S（α）│=φ（n/α）。很容易得到下面两条性质：
（1）S（αi）∩S（αj）=φ （αi≠αj），事实上，没有一个介于1与n之间的数，与n的最大公约数既是αi又是αj。
（2）∪ s（α）={1，2，…，n}。对任意的1≤m≤n，均有α│n，使（m，n）=α，取α=（m，n）即可。由以上两条性质可知∑ φ（d）= │S（d）│= n。故有下述定理。
定理6.5 (高斯公式),自然数n的所有正因数的欧拉函数值之和等于n。即当n≥1时，有 φ（d）=n。
采用将1，2，…，n分成互不相交的T类的方法证明高斯公式。
证明：设1=d1＜d2＜…＜dT=n为n的全体约数。其中不大于n而与n以d1为最大公约数的数有φ（dT）个，由于n=d1dT=d2dT-1=…=dTd1不大于n而与n以d2为最大公约数的数有φ（dT-1）个，…不大于n而与n以dT为最大公约数的数有φ（d1）个，故n=φ（d1）+…+φ（dT）。
由此可见，高斯的欧拉函数之和公式，实际上是反映了一个合数环里的全体元素，就是其各类因子数子群之并的数量关系。各类因子数子群则是合数环里，各类不同性质元素的集合。高斯的欧拉函数之和公式反映了，合数环里的整体的关系，而高斯自己最得意的一反二补律，只是反映了素数群里的局部关系，两者之间简直不能相提并论。
二，统筹归纳的构造算法
我们在前面一篇文章里，根据Hm合数环里，各阶子环之间的特性规律，首先推导出了其0阶子群，即欧拉群全体元素的数量。接着根据这个欧拉群，推导出得到其它子群元素数量的方法，它们全都属于欧拉函数系列。当然，只要根据这个欧拉函数系列，我们极易计算出其它各阶子群的元素总量。
然而，我们能不能仍然根据Hm合数环里，各阶子环之间的特性规律，也推导出其它各阶子群元素的总量计算公式？显然这是一个极其困难的问题，因为其中的情况实在太复杂，也就是说这个问题，是不能通过我们所常用的演绎推导的算法去解决的，那么，我们又该采用什么办法来解决这类难题呢？
我们所常用的演绎推导算法属于西方算法，只能解决比较简单的单一性的问题。对于比较复杂的系列性的问题，只能运用我国传统的统筹归纳的构造算法去予以探索。所谓的统筹归纳的构造算法是指，综合考虑已知的种种数学规律，统一编制出一套数表，或构造出一种代数方程，用于进行更进一步的探索。
我国远古时期的“洛书”是举世第一幅数表方阵，反映了平方环的等和划分规律，造就了中国数学以组合划分为主体的鲜明特色。《周髀算经》记载了我国的勾股定理，源自于两个矩形的分与合，刘徽则将它发展成为“出入相补”法则，祖冲之父子的圆周率和球体计算公式都是由此获得。我国南宋的杨辉，元初的朱世杰，晚清的李善兰，……他们个个都是组合数学的高手。
下面的“开方作法本源图”则是中国数学的又一个杰作，它实际上是反映了《周易》卦符的变化规律，由于它的各项正是“二项式定理”展开后的各项系数，所以在我国古代一直运用它解决数的开方问题，以及代数方程的求解问题，因此解代数方程一直都是中国数学的强项。下面的这幅三角形数表，现在有人称其为“贾宪三角”似乎有些不妥，应该称之为“易卦三角”才对，西方数学则称它为“帕斯卡三角”，他们一直认为是十七世纪的帕斯卡首先发现这个数学规律。
1
1        1
1   2   1
1   3   3   1
1   4   6   4   1
1   5   10   10   5   1
1   6   15   20   15   6   1
三，构造一幅欧拉函数之和三角
我们在探索素数群的结构规律时，曾经根据费马小定理构造了一幅剩余方阵。我们运用它揭开了素数的神秘面纱，依靠它纠正了以往对于商群的错误认识，利用它证明了费马素数只有五个的问题，根据它给出了表一个素数，为两个数的平方之和的计算方法，……。为了解决上面所提出的问题，我们根据上述高斯公式，构造出下面的欧拉函数之和三角：
B0=        0C0A0        -1C0A1        +2C0A2        -…        +（-1）KKC0AK
B1=                +1C1A1        -2C1A2        +…        -（-1）KKC1AK
B2=                        +2C2A2        -…        +（-1）KKC2AK
…        …        …        …        …        …
BK=                                        +（-1）2KKCKAK

表中的A0，A1，A2，…，AK，分别表示各阶子环的元素数量，B0，B1，B2，…，BK，分别表示各阶子群的元素数量。表中的组合符号不是运用逻辑演绎方法推导出来的，而是根据上述高斯公式，通过统筹归纳方法构造出的，为了使得从第三列开始，各列数的和全都为0，我们就不得不借助于神奇的组合符号予以表示。
因此只要上述高斯公式是正确的，那么这个三角数表所给出的所有的计算公式，一定全部都是正确的。显然，这个数表里的第一行公式，为0阶子群里的元素数量，其中的组合符号，正是“易卦三角”的斜向第一行。这个数表里的第二行公式，为1阶子群里的元素数量，其中的组合符号，正是“易卦三角”的斜向第二行。这个数表里的第三行公式，为2阶子群里的元素数量，其中的组合符号，正是“易卦三角”的斜向第三行。…
这个统筹归纳的构造算法，特别适用于研究具有系列性质的问题。对于已知的无从下手的难题，可以运用它去解决，对于未知的数学规律，可以通过它去寻找，因此这个方法具有十分广泛的用途，以后我们还要多次运用这个方法，去解决许多难题。2012年4月11日