“修改因子数集合与因子函数”是射向旧理论的又一发炮弹。

n123zj3

“因子数集合与因子函数”，我是在2012年4月2日递送给“火花”的，二天之后就发现，其中的全体因子数之积公式推导错了，立即予以纠正。因此，“修改因子数集合与因子函数”，我是在2012年4月4日递送给“火花”的，这两篇文章一并算作是我的第二十篇文章。由于第二篇文章仅仅只是修改了全体因子数之积公式的推导结果，其它内容仍是原封不动，因此我曾请求“火花”编辑组，将第一篇文章予以作废删除。
然而，我在2012年7月13日，却收到了“火花”对于“因子数集合与因子函数”的退稿意见：“经专家审阅，认为作者似乎对域的定义不够了解。此外，对本文讨论的内容看不出有什么学术意义。您的来稿不符合本栏目的要求，因此予以退稿。”接着又于2012年10月31日，又收到了“火花”对于“修改因子数集合与因子函数”的退稿意见：“经专家审阅，认为本文没有提出什么新的思想或方法，学术价值不强。”
我总觉得此事至少应该反映了以下三个问题：第一个问题是，根据7月13日“火花”对于“因子数集合与因子函数”的退稿意见，可以看出专家们审阅了三个多月，竟然没有发现，此文里的全体因子数之积公式是错的，这不是最好的退稿理由吗？第二个问题是，我对于第一篇文章的作废请求，编辑组似乎根本没有转告审稿专家。第三个问题是，坚决捍卫他们的那套充满缺陷的旧理论，是这两个退稿意见的共同目标。
当然，我也会坚决捍卫我的这套新的理论的，因为这套新的理论确实反映了整个自然数里的客观规律。我的这套新的理论，就是由孙子算法所得到的一群算理。我的这套新的理论，不仅与素数域的老子生成理论密切相关，而且，与等差级数的易卦三角也是密不可分的，我在“火花”最近发表的“高次纵横图与自然数等幂和”里，已经指出了易卦三角里的等差级数的问题，这是我们中国数学里，最大的应用数学的问题。倪则均，2015年1月14日。



因子数集合与因子函数
倪则均
一，因子数的源头问题
我们探索合数环的特性规律，首先要从认识其因子数着手展开，但是，现在的一般数论书上，着重研究的则是欧拉数。尽管有些书上也提到了因子数，好象仅仅是为了介绍完全数问题而已，根本没有予以真正地深入，这是一种本末倒置的研究方法。其实，在合数环里，尽管因子数的数量较少，但是正是它们将全体元素凝结到了一起，构成了一个统一的有机整体。
合数环的因子数，源自于素数域的因子数，然而现在的一般数论书上，似乎根本就不承认素数域也存在着因子数的问题，从而使得合数环的因子数，成了无本之木无源之水。其实，在所有Hp（p为素数）素数域里，1和0都是它们的二个平凡因子数，表示为Dp={1，0}，或Dp={p0，p1}。因此我们称p0=1为0阶因子数，称p1≡0（mod p）为1阶因子数。
更是让人觉得无法理解的是，在现在的一般数论书上，其1阶因子数p1≡0（mod p），在域的乘法公理里竟然被排除在外，如此做法实在毫无道理。0阶因子数p0=1明明具有双重身份，它既是一个因子数也是一个欧拉数，而前者似乎早就被人遗忘。其实，不管是在素数域里还是在合数环里，p0=1都是它们的公因子，发挥着至关重要的作用，万万不该对它熟视无睹，随便轻易将其丢弃。
现在似乎大家都认为在素数域里，只有一个欧拉子群，其实这是一个非常错误的认识，因为这个欧拉子群，仅仅只是对应于公因子1的一个子群，应该称其为0阶因子群。除了这个0阶因子群之外，另外还有一个1阶因子群{p}，尽管这个1阶因子群{p}只有一个元素，但是它仍然是一个群。如果撇开了这个只有一个元素的1阶因子群{p}，那么整个的Hp素数域就会变得残缺不全。
二，合数环的因子数集合
对于横向扩张合数环HM（M=(p1^w1)(p2^w2)…(pK^wK)）来说，它的因子数集合为各个幂素数分环里的因子数集合的笛卡尔乘积，即有：
DM=(1，p1，…，p1^w1)(1，p2，…，p2^w2)…(1，pk，…，pK^wK)，
其因子函数为积性函数：d（M）=(1+ w1)(1+w2)…(1+wK)。所谓数论函数是指，以自然数集合N为定义域的函数。积性函数ƒ规定，如果ƒ（1）=1，并且当（m，n）=1时，有ƒ（mn）=ƒ（m）ƒ（n），则称为积性的；若是ƒ（1）=1，且对于任意的m，n，有ƒ（mn）= ƒ（m）ƒ（n），则称为完全积性的。
对于它们的基本合数环Hm（m=p1p2…pK）来说，其因子数集合则为各个素数域里的因子数集合的笛卡积，即有：：Dm=(1+p1)(1+p2)…(1+pk)，这是上述我们特别强调素数域里的因子数集合的原因之所在，否则对于这个因子数集合是不易理解的。其因子函数仍为积性函数：
d（m）=(1+ 1)k=kC0+kC1+…+kCk
这表示在Dm因子数集合里，只有kC0=1个0阶因子数1。共有kC1=k个1阶因子数，它们是p1，p2，…，pK。…，只有kCk=1个k阶因子数p1p2…pK。对于全体因子数予以分阶对待，是一极其重要的数学手段，前面我们在研究整数的分解时，已经引进了这个概念，随后我们在研究合数环的子环和子群时，仍然要运用到这个极其重要的数学手段。
因为在Hm（m=p1p2…pK）基本合数环里，它们的每一个因子数，必定都对应着一个相应的子环和子群。也就是说，Dm因子数集合里的2k个因子数，必定对应着2k个子环和子群，但是，按照其性质它们则可以分为k个不同的种类。其实，对于全体因子数的分阶，还涉及到组合数学里的许多重要问题。
三，全体因子数的和与积
张君达教授写了一本名为《数论基础》的普及著作，其中给出了全体因子数的求和公式及求积公式。对于下面的求和公式来说，此书运用了两种不同的方法予以推导，第一种方法简单得使人难以理解，第二种方法复杂得让人不知所云，似乎都不符合科普读物该有的简明扼要。
σ（M）=[p1^(w1+1)-1][p2^(w2+1)-1]…[pK^(wK+1)-1]/（p1-1）（p2-1）…（[pK-1）。
其实对于这个求和公式，应该运用卷积算法予以推导，所谓卷积算法，是将各个幂素数分环因子数集合里的元素，由原来的并列关系转变为相加的关系。因此，卷积算法仅是对于上述推导全体因子数集合的笛卡尔乘积所作的一种变化而已。由于每个幂素数分环因子数集合里的元素，都是一个等比级数，所以可以运用等比级数求和公式予以计算。
全体因子数的积，是各个幂素数分环因子数的积的积，各个幂素数分环因子数的积，由于底数相同，所以可以转变为计算它们的指数之和，而它们的指数则是一个公差为1的等差级数，因此，全体因子数的求积公式为：
j（M）=[p1^(w1+1)/2][p2^(w2+1)/2]…[pK^(wK+1)/2]
最后需要指出的是，上述全体因子数的求和公式，似乎仅仅是为了研究完全数问题，而特意专门提出来的，至今好象尚未发现它还有其它什么实际应用价值。至于这个全体因子数的求积公式，现在大家似乎都不知道它到底有何用途。2012年4月2日。

修改因子数集合与因子函数
倪则均
一，因子数的源头问题
我们探索合数环的特性规律，首先要从认识其因子数着手展开，但是，现在的一般数论书上，着重研究的则是欧拉数。尽管有些书上也提到了因子数，好象仅仅是为了介绍完全数问题而已，根本没有予以真正地深入，这是一种本末倒置的研究方法。其实，在合数环里，尽管因子数的数量较少，但是正是它们将全体元素凝结到了一起，构成了一个统一的有机整体。
合数环的因子数，源自于素数域的因子数，然而现在的一般数论书上，似乎根本就不承认素数域也存在着因子数的问题，从而使得合数环的因子数，成了无本之木无源之水。其实，在所有Hp（p为素数）素数域里，1和0都是它们的二个平凡因子数，表示为Dp={1，0}，或Dp={p0，p1}。因此我们称p0=1为0阶因子数，称p1≡0（mod p）为1阶因子数。
更是让人觉得无法理解的是，在现在的一般数论书上，其1阶因子数p1≡0（mod p），在域的乘法公理里竟然被排除在外，如此做法实在毫无道理。0阶因子数p0=1明明具有双重身份，它既是一个因子数也是一个欧拉数，而前者似乎早就被人遗忘。其实，不管是在素数域里还是在合数环里，p0=1都是它们的公因子，发挥着至关重要的作用，万万不该对它熟视无睹，随便轻易将其丢弃。
现在似乎大家都认为在素数域里，只有一个欧拉子群，其实这是一个非常错误的认识，因为这个欧拉子群，仅仅只是对应于公因子1的一个子群，应该称其为0阶因子群。除了这个0阶因子群之外，另外还有一个1阶因子群{p}，尽管这个1阶因子群{p}只有一个元素，但是它仍然是一个群。如果撇开了这个只有一个元素的1阶因子群{p}，那么整个的Hp素数域就会变得残缺不全。
二，合数环的因子数集合
对于横向扩张合数环HM（M=(p1^w1)(p2^w2)…(pK^wK)）来说，它的因子数集合为各个幂素数分环里的因子数集合的笛卡尔乘积，即有：
DM=(1，p1，…，p1^w1)(1，p2，…，p2^w2)…(1，pk，…，pK^wK)，
其因子函数为积性函数：d（M）=(1+ w1)(1+w2)…(1+wK)。所谓数论函数是指，以自然数集合N为定义域的函数。积性函数ƒ规定，如果ƒ（1）=1，并且当（m，n）=1时，有ƒ（mn）=ƒ（m）ƒ（n），则称为积性的；若是ƒ（1）=1，且对于任意的m，n，有ƒ（mn）= ƒ（m）ƒ（n），则称为完全积性的。
对于它们的基本合数环Hm（m=p1p2…pK）来说，其因子数集合则为各个素数域里的因子数集合的笛卡积，即有：：Dm=(1，p1)(1，p2)…(1，pk)，这是上述我们特别强调素数域里的因子数集合的原因之所在，否则对于这个因子数集合是不易理解的。其因子函数仍为积性函数：
d（m）=(1+ 1)k=kC0+kC1+…+kCk
这表示在Dm因子数集合里，只有kC0=1个0阶因子数1。共有kC1=k个1阶因子数，它们是p1，p2，…，pK。…，只有kCk=1个k阶因子数p1p2…pK。对于全体因子数予以分阶对待，是一极其重要的数学手段，前面我们在研究整数的分解时，已经引进了这个概念，随后我们在研究合数环的子环和子群时，仍然要运用到这个极其重要的数学手段。
因为在Hm（m=p1p2…pK）基本合数环里，它们的每一个因子数，必定都对应着一个相应的子环和子群。也就是说，Dm因子数集合里的2k个因子数，必定对应着2k个子环和子群，但是，按照其性质它们则可以分为k个不同的种类。其实，对于全体因子数的分阶，还涉及到组合数学里的许多重要问题。
三，全体因子数的和与积
张君达教授编写了一本名为《数论基础》的数学教程，其中给出了全体因子数的求和公式及求积公式。对于这二个公式，书中分别给出了两种不同的简捷推导方法，和一种统一的繁琐复杂方法，简捷方法简单得使人难以理解，复杂方法晦涩得让人不知所云。其实，这是二个十分有趣的公式，求和公式却是一个积性函数，然而，求积公式反而不是积性函数。
求和公式应该采取卷积算法予以推导，所谓卷积算法，实际上是将上述笛卡尔积集DM里的全体元素，由原来的并列关系转变为相加的关系。这种先算出笛卡尔积集DM，然后相加的方法极其繁琐，只能运用数学归纳法予以证明它们的相加结果为：
σ（M）=[p1^(w1+1)-1][p2^(w2+1)-1]…[pK^(wK+1)-1]/（p1-1）（p2-1）…（[pK-1）。
其实对于DM=(1，p1，…，p1^w1)(1，p2，…，p2^w2)…(1，pk，…，pK^wK)来说，由于各个括号里的元素，都是一个等比级数，因此如果先将它们相加，运用等比级数求和公式，先分别算出它们的和，然后再相乘，得到的恰是完全相同的结果。显然，这种先相加的算法非常简捷，但是其中的数学原理，需要予以深入研究。
求积公式的推导则应采取另一种算法，(1，p1，…，p1^w1)里的每一个元素，对于(1，p2，…，p2^w2)…(1，pk，…，pK^wK)的积的积，实际上是将其每一个元素都作（w2+1）…（wk+1）次自乘，得到
1^（w2+1）…（wk+1），p1^（w2+1）…（wk+1），…，p1^w1（w2+1）…（wk+1）。
它们再相乘则为p1^（w1+1）（w2+1）…（wk+1）/2，于是得到Hm基本合数环及其HM横向扩张环的求积公式为
j（m）=m^2k-1
j（M）= m^（d（M）/2）。2012年4月4日