“对于同周期分解的设想”只是一个探索而已。

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“对于同周期分解的设想”，是我递送给“火花”算作为第十六篇的文章。“火花”的退稿意见是：
“经专家审阅，认为本文的性质，与本栏目不符， 建议作者将稿件投给面向中学生的数学刊物。 这类刊物很多，提供几个供参考：
《数学通报》（中国数学会、北京师范大学主办），
《数学教学》（华东师范大学），
《上海中学数学》（上海师范大学），
《中学数学月刊》（苏州大学、江苏省数学学会），
《福建中学数学》（福建师范大学数学系、福建省数学学会），
《数学爱好者》（山西省期刊协会），
《数学教学通讯》（重庆市数学学会、西南大学数学系），
《数学通讯》（华中师范大学、湖北省数学学会、武汉数学学会），
《中学数学》（湖北大学）。
此外还需指出，文中说“除了最小的五个费马素数之外，其它所有费马数全部都是合数”，这是不对的。应改为“除了最小的五个费马素数之外，还没有发现其它的费马素数”。 此外，“好像小于M257的梅森合数都已经全部解开”这句话也没有根据。
您的来稿不符合本栏目的定位和要求，因此予以退稿。”
“对于同周期分解的设想”，是一篇探索同周期分解的文章，当然尚未成熟，俗话说失败是成功之母，今天我之所以能够找到完全解开同周期素数的方法，完全来自于一次又一次的失败。其实，我的每一次的失败，都是在解决问题的路途上，不断地向前跨越。我一直认为，不管是费马合数，还是梅森合数，它们的素因子的数量可能有无限之多，也可能会出现重因子的情况，但是其中的规律，我至今都还没有找到。
由于我只是一个民间的数学爱好者，手头的参考资料十分有限，所以我说“好像小于M257的梅森合数都已经全部解开”，这总不能也是作为一个退稿的理由。另外我在写这篇文章之前，已经将证明只有五个费马素数的文章，递送给“火花”了，这位审稿专家，大概根本就没有看这篇文章吧？！倪则均。2015年1月10日。

对于同周期分解的设想
倪则均
一，同周期分解的困难
由于一个合数的2的同周期分解，关系到一个大数的彻底分解，涉及到设计一个更安全的密码体制的问题，因此，这是一个极为重要的实际应用问题。然而，现在我们对于同周期分解的认识却是十分肤浅，现在我们只知道费马合数的分解，以及梅森合数的分解，属于最简单的二种同周期分解。
现在我们只知道费马合数的分布规律，除了最小的五个费马素数之外，其它所有费马数全部都是合数，全都属于同周期分解，但是还不知道应该如何去分解它们，更不知道它们到底会分解出多少个同周期素因子，一直处于艰难的摸索之中。现在仅完全分解出了F5，F6，F7，F8，F9，F10，F11七个费马合数的全部同周期素因子。对于F12，F13，F15，F16，F17，F18，F19，F21，F23九个费马合数，还只是分解出了它们的部分同周期素因子。
对于梅森合数来说，它的分布规律我们还是一无所知，尽管已经找到了解开的办法，但是十分繁琐，不是怎么实用。现在完全分解出的梅森合数，没有确切的统计数据，好象小于M257的梅森合数都已经全部解开。1870年法国数学家卢卡斯Lucas，就已经检测出267-1是一个梅森合数，但是直到1903年，才由美国数学家科尔Cole将其分解为267-1=193707721×761838257287，轰动了整个数学界。据说科尔总共花了整整3年的周末时间，解决了这个悬挂了33年的难题。
费马数属于0层以上的0阶数，梅森数属于0层1阶数，笔者已经发现，似乎其它各层各阶数里，全都存在着同周期分解的问题，至于它们的分布规律，现在还一无所知，分解它们的困难，更是难以预料。或许可以这样说，由于层数无限，阶数无限，所以它们之中的同周期分解的困难也是无限的。
二，反向思维的重要意义
反证法是证明许多数学规律的一个重要方法，也是被许多数学家喜欢广泛使用的一种常用方法，这是由于它的证明过程极其简洁明了。反证法来自于反向思维，对于人世间的事，客观存在着的物，我们不仅要从正面去予以认识，常常还要从反面作出更进一步的思考，只有这样才能得到一个比较完整的认识。数学上的情况也是如此，许多数学问题要想正面予以突破极其困难，然而若是反过来思考一下，事情往往就会变得十分容易。
例如，如果告诉你一个一次同余式组，要你解出它所对应的那个数，即《孙子算经》里的“物不知数”问题，就是一个极其复杂的问题。然而若是反过来给你一个数，要你写出它的一次同余式组却是极其容易。其实，孙武所创立的孙子算法，除了曾长期被历法运用于推算荒谬的“上元积年”之外，其它几乎毫无实际应用价值。然而，如果反过来要你写出3×5×7之内，所有数的一次同余式组，却是一件极其容易的事情，但是种种数学奇观即可由此呈现。
同周期分解的情况与其有些类似，一个合数的同周期分解极其困难，然而要想知道一个素数的2的周期，并且判断它是不是一个同周期素数，还是比较容易。例如对于上述267-1=193707721×761838257287来说，如果我们只知道其中的193707721是一个素数，不知道它的2的周期是什么数，更不知道它是不是一个同周期素数，我们只要将它变换为
193707721=2×3×3×7×23×89×6833×599479×1397419+1
即可知道它的2的周期，必定是其素数环里的几个因子数的积，于是可以通过试算的方法得到
211=2048，233≡66794868（mod 193707721），266≡96853861（mod 193707721），
267≡1（mod 193707721）。
由此得知在193707721里，其2的周期为67。再根据
267-1=266+265+…+1＞193707721
即可判定193707721是一个同周期素数，并且立即得到其另一个同周期素数为761838257287。这样对于267-1的同周期分解，大约不用花一小时吧。
三，建立一个素数周期的数据库
上述实例是反向思考的结果，极其简捷方便，但是粗看起来好象属于漫无目标的无的放矢，其实这种无的放矢只要足够之多，就会变成有的放矢，因为其中必定会有一枝射中目标，更何况这样的无的放矢，必定会射中多个不同的目标。由此使我产生了一个设想，我们为什么不未雨绸缪，设法建立一个素数周期的数据库，这样岂不是就可以变被动为主动了吗。
由于同周期分解对于密码体制的安全极为重要，因此我希望我国的密码研究机构能组织人才，花它几年时间，根据现有的素数表，首先编制出一套素数的周期来，最好能建立起一个素数周期的数据库。因为这对于大数的迅速分解，也是至关重要的事情。