最新消息，火花对于“高斯的二平方和表法个数公式”的回复。

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“高斯的二平方和表法个数公式”，我是在2014年2月20日递送的，今天终于收到了回复，其内容为：“谢谢作者积极投稿！作者连续投来的几篇文章（如《探究表素数为三平方和问题》、《雅可比恒等式之类的不存在性》及本文 ）中，都对冯克勤先生的论著作了评议。本栏目经审阅后，建议作者直接向冯先生投书提出自己的论述。”
显然，火花没有找到此文存在什么错误，否则就是退稿的问题了。然而，火花似乎也不敢发表此文，因为此文所涉及到的人和事，实在来头太大。但是，不管怎么说，冯克勤的官再大，也都是花的纳税人的钱，因此他必须在网上，给全国人民一个交代。倪则均，2015年1月6日。

高斯的二平方和表法个数公式
倪则均
1，错误的二平方和表法公式。
我国的著名数学家冯克勤，写了一本名为《平方和》的数学专著，此书详细的介绍了，高斯推导二平方和表法个数公式的整个过程。对于一个合数m来说，高斯运用r2（m）来表示，它所能分拆成二个整数平方和的表法个数。书中二次给出r2（4500）=16，第一次的运算过程为r2（4500）=4（8-4）=16，第二次则先将4500分解为4500=22×32×53，尔后再给出r2（4500）=4（3+1）=16。
其实上述二个运算过程都是错的，二次所得到的相同的结果当然也是错的。按照我的算法则为r2（4500）=2，4500=142+662=302+602。一般来说，二平方和问题，应该是指将一个正整数，分拆成二个正整数的平方之和。显然，高斯的二平方和表法个数公式，是允许底数为负数的，即使这样也只有r2（4500）=8，根本不可能是r2（4500）=16。那么，高斯的这个表法公式又错在那儿呢？
高斯的错误是他将原本不是怎么太复杂的问题，特意搞得那么极其繁琐复杂，最后把他自己也给搞糊涂了，竟然给出了一个完全错误的结果。二平方和问题，实际上只是一般合数环里的一个比较简单的问题，数论中的许多看似十分复杂的问题，都可以运用合数环简捷予以解决。然而高斯为了给出二平方和的表法个数公式，却偏偏搞出了一个非常奇怪的“高斯整数环”，让人觉得有些莫名其妙。
高斯的错误更在于，他连得二平方和里的一些最基本的规律都还没有搞清楚，就想给出一个复杂一点的二平方和表法公式。高斯认为欧拉对于表素数为二平方和的证明是对的，然而欧拉的证明却是错的。高斯对于表素数为二平方和的唯一性的证明也不够完美，因为他无法根据他的唯一性证明，再进一步给出如何具体的得到这二平方数。高斯对于表一素数幂为二平方和的问题，可以说是根本就一无所知，完全是凭空瞎猜。
戴德金是高斯的学生，对于凭空瞎猜，他似乎是“青出于蓝更胜于蓝”。戴德金写了一本名为《数是什么，数应当是什么》的书，他说：“数是人类心智的自由创造”。高斯的徒孙们更是干脆提出，实践→认识→再实践→再认识的认识观已经过时，应该被他们的数学思维→思维内容→新的数学思维→新的思维所替代，对于这样的胡说八道，我国居然也有不少人在热烈吹捧。
数学应该能够协同其它的各门科学，努力设法切实解决我们人类社会，所面临的种种具体问题。当然，这应该是我们所处客观世界里，客观存在着的实际问题，不能是凭空的想象。同时任何一门数学都需要不断的予以简单化，那种越来越繁琐，越来越晦涩的数学，最后都只能是自生自灭。对于那些大家研究到头发白，都搞不清楚的数学，它们还能继续发展下去吗？
2，高斯的“高斯整数环”。
1801年，高斯在研究二平方和问题，即不定方程x2+y2=n的整数解的问题时，他把这个方程写成了n=（x+iy）（x-iy）形式，然后利用复数的性质，给出n何时为二平方和的判别方法。由于x和y均是整数，所以高斯的门徒将这种复数称为“高斯整数”。由于“高斯整数”之间的加、减和乘法运算的结果，仍然得到的是“高斯整数”，所以全体“高斯整数”的集合构成一个环，称之为“高斯整数环”，表示为：
Z[i]={α=x+iy│x，y∈Z}，其中Z为通常的整数环。
高斯定义α的范为N（α）=│α│2=x2+y2。如果α≠0，存在γ∈Z[i]使得αγ=1，则称α是Z[i]中的乘法可逆元，γ是α的逆。高斯整数α为可逆元的充要条件是N（α）=1，显然，在Z[i]“高斯整数环”里，只有±1和±i四个可逆元。对于α和β两个非零高斯整数来说，若是存在可逆元γ使得α=βγ，则称α和β等价，表示为α～β。如果α和β之间的最大公约数为可逆元，则称α和β互素。若是α和β都是非零的高斯整数，则必定存在γ，δ∈Z[i]，使得αγ+βδ=1。
高斯为了要排除去q=4k-1形素数，特别定义了他的“高斯素数”。如果π是Z[i]里的非零非可逆元，若是它的每一个因子，或者为可逆元，或者是与π等价的高斯整数，则称π为“高斯素数”。这就是说，所谓的“高斯素数”，实际上它只是一个复数，这样的定义不免会造成概念上的混乱。“高斯素数”下面的三条的特性，从表达上来说实在有些含糊不清，不知这是高斯本人，还是作者冯克勤的大作：
（1）设π为高斯整数，并且N（π）=p为素数，则π必为高斯素数。
（2）若π为高斯素数，则其共轭元也是高斯素数。
（3）1+i是高斯素数。若p是奇素数，如果p≡3（mod4），则p也是高斯素数。如果p≡1（mod4），则存在高斯素数π，使得N（π）=p，并且π与其共轭元是不等价的高斯素数，此条本质上给出了全部的高斯素数。显然，此三条性质，是Z[i]“高斯整数环”里的最基本的三条性质，因此，Z[i]里的每个非零非可逆元，都可以唯一的表示为有限个高斯素数的乘积形式。
高斯将每一个正整数n=m2m＇，都分解成为m2和m＇二个部分。他将m2称为正整数n的平方因子部分，将m＇称为正整数n的无平方因子部分。于是他证明了他的高斯定理：n为二平方和的充分必要条件，是n的无平方因子部分m＇，没有模4余3的素因子。尽管高斯对于这个定理的证明是正确的，然而，他对于随后二平方和表法个数公式r2（n）的推导，却出现了极为严重的错误。
3，正确的二平方和表法公式。
本文一开始，笔者仅是通过一个实例，证实了高斯的二平方和表法个数公式是错的，没有具体写出高斯的那个错误的公式。现在我们不妨先完整的写出这个错误的公式，然后再明确指出这个公式到底错在那里。其实，高斯的二平方和表法个数公式，也不是全部都是错的，其中也有一部分非关键的部分还是对的，只要纠正了其中关键部分的错误，即可得到正确的二平方和表法公式。
设正整数 ，其中p1，…，ps，q1，…，qt是不同的素数，并且p1≡p2≡…≡ps≡1（mod4），q1≡q2≡…≡qt≡3（mod4）则当β1，…，βt至少有一个为奇数时，r2（n）=0。然而，当β1，…，βt均是偶数时，r2（n）=4（α1+1）（α2+1）…（αs+1）。
二平方和表法个数公式r2（n），实际上是给出二元二次不定方程x2+y2=n其解的组数。如果规定和只能取正整数，那么等号右边的4就该去掉。当然，这仅仅是不妥，不能说是错误。然而，后边的（α1+1）（α2+1）…（αs+1）就是关键性的错误了，笔者在“表一素数幂为二平方和的探究”一文中，已经严格证明，如果p是一个4k+1形素数，那么二元二次不定方程x2+y2=pα其解，则有[（α+1）/2]组，[（α+1）/2]表示取其中的最大整数。
根据二平方和与二平方和相乘，得到二组二平方和的恒等关系，二个不同4k+1形素数幂之间的积，它们的二平方和的数量，应该是一种倍增的规律。因此，对于正整数 来说，当p是一个4k+1形素数，q是一个4k+3形素数并且β1，…，βt均是偶数时，则有r2（n）=2s-1[（α1+1）/2][（α2+1）/2]…[（αs+1）/2]。
笔者觉得高斯的错误，完全属于作茧自缚，他花了九牛二虎之力，搞出了一个晦涩难懂的“高斯整数环”，最后他自己却被这个繁琐复杂的“高斯整数环”给困死了。当然，他认识到不管α是奇是偶，都是r2（2α）=1。如果q是一个4k+3形素数，那么当β为奇数时，r2（qβ）=0，当β为偶数时，r2（qβ）=1，都是正确的。

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Zouqin先生：你的问题应该到《平方和》里去寻找解答，看不懂可以直接去找冯克勤。倪则均，2015年1月8日。