[原创]再谈四色猜测的证明问题

雷明85639720

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再谈四色猜测的证明问题
雷  明
（二○一三年十一月二十一日）
一些朋友对我的不用着色的方法证明四色猜测觉得不可理解。这是可以理解的，因为是在谈颜色嘛，不用着色能行吗。但是，要知道图的种类是无限多的，同一个图中的顶点也可以是无限多的。如果我们用着色的办法，那什么时候才能把一个有无穷多个顶点的图着色完成呢，什么时候又才能把所有的图都着色一遍呢。这是不可能的。即然不可能，那么猜测也就不能被证明是正确还是错误的了。但是猜测终到底还是要经过证明，才能确定其是正确还是错误。正是即于这种情况的原因，我才于一九九二年在陕西省数学会第七次代表大会暨学术交流会（西安空军工程学院）上提出了走不着色的方法证明四色猜测的道路，实践也说明了这一方法是可行的。
由于图的色数与图的最小完全同态的顶点数以及图的最小顶独立集数是相等的，所以我们只要能证明平面图的最小完全同态的顶点数都不大于4（这时平面图的最小顶独立集数也一定不大于4），也就可以证明四色猜测是正确的了。否则，当然猜测也就是不正确的了。
再在，我再把我的主要观点在这里重述一次，希望朋友们能够进一步了解。
一、四色猜测的正确描述方法
四色猜测也叫四色问题。对把平面分成了若干个区域的地图的各区域进行染色，使有公共边界线的任意两个相邻的区域都具有不同的颜色，任何一张地图最多四种颜色就够用了。这是四色问题的最早期的地理学上的叙述方法。后来四色问题变成了一个数学问题。若把上述的地图各区域中的中心城市用园点表示，把有共同边界线而相邻的两个区域的中心城市（上述的园点）都用线连接起来，这就构成了一个在图论中叫做“图”的图。再对上述这个“图”中的园点（图论中叫“顶点”）进行着色，使得有线（图论中叫“边”）连接的任两个园点都具有不同的颜色，这也就相当于给上述地图中区域的染色。这就把一个地理问题变成了一个数学问题了。这就出现了“对任何平面图的顶点着色，使得有边相邻的任意两顶点都不用同一颜色，最多四种颜色也就够用了”的四色猜测的数学上的叙述方法。
二、必要的图论知识准备
1、有关概念（或定义）
图论中有关图的定义是：图是由若干个顶点与若干条边构成的集合。图用G来表示。没有顶点（当也就没有边了）的“图”叫空图，用 来表示。
平面图：把图画在平面中，除了在顶点外的其他任何非顶点处都不存在边与边相交叉的图，就叫平面图。否则就叫非平面图。
团：若有若干个顶点，任何两顶点间都有边相邻，这样的顶点与边的集合就叫团。团在图论中用Kn来表示，其中n是团中的顶点数。
为此也可以这样说，任何图都是由顶点数不同的若干个团构成的。
最大团：图中顶点数最多的团，就叫图的最大团。最大团用Kω来表示。空图中的最大团可以认为是K0。平面图中最大的团只可能是K4，因为K5已经不再是平面图而成为非平面图了。
密度：最大团的顶点数就叫图的密度。图的密度用ω来表示。空图的密度是ω＝0。因为平面图中的最大团只可能是K4，所以平面图的密度一定是不大于4的。
密度一词来源于聂祖安先生所译的《图论的例和反例》一书。有些文献上把最大团的顶点数也叫做团数，我认为叫团数定义很含乎，而叫密度更确切一些。图中最大团中的顶点数越多，其最大团中的边数与顶点数之比也就越大。所以叫密度一词比较合适一些。密度是图的一个重要的参数，相同密度的图可以划归为一类。
还有的文献上把图中的边数与顶点数之比叫密度，我认为这不太合适。如果是这样，那么在“密度”相同（即图中的边数与顶点数之比相同）的一类图中，图中的最大团就可能不相同。按这个标准把图进行分类，不如用图中最大团的顶点数（密度）进行分类比较合适。
完全图：如果一个图本身就只是一个团时，这个图就叫完全图。完全图在图论中也用Kn来表示，其中n就是该完全图中的顶点数。完全图的密度就是其顶点数。
道路：从一个顶点到另一个顶点的由“顶点—边—顶点”构成的序列在图论中就叫道路。道路用pn来表示，其中的n是道路中的顶点数。道路按其中的顶点数的奇偶性可分为奇道路和偶道路两种。
圈：一条道路的首尾顶点是同一个顶点，即道路是一条回路时，就叫做圈。圈用Cn来表示，其中的n是圈中的顶点数。同样的圈也按其中的顶点数的奇偶性可分为奇圈和偶圈两种。
道路和除了3—圈以外的所有圈中的最大团都是K2，所以道路和除了3—圈以外的所有圈的密度都是2。因为3—圈本身就是一个K3图，所以3—圈的密度是3。
轮：一个圈中的所有顶点都于另外的同一个顶点相邻时的图就叫轮。轮用Wn来表示，其中的n是轮沿上的顶点数。同样的，轮也可按其轮沿顶点数的奇偶性分为奇轮和偶轮。除了3—轮以外的所有轮中的最大团都是K3，所以轮的密度都是3。同样的，也是因为3—轮本身就是一个K4图，所以3—轮的密度是4。
图的联：两个图的联是一个图中的任何一个顶点都与另一个图中的所有顶点都相邻面构成的图。有了两个图的联，当然顺理成章的就可以有多个图的联。图的联中的最大团也是各图中最大团的联。因此图的联的密度也是构成该联的各图的密度之和。
从联的定义可以看出：
圈可以看成是一个圈与一个空图的联，因为圈中的任何一个顶点都与空图中的0个顶点相邻。除了3—圈以外的所有圈中的最大团也都是除了3—圈以外的所有圈中的最大团K2与空图K0联——K2。所以除了3—圈以外的所有圈的密度2也都是除了3—圈以外的所有圈的密度2与空图K0的密度0的和。3—圈中的最大团是K3，它也是3—圈中的最大团K3与K0团的联，因此3—圈的密度也就是3了。
同样的，轮也可以看成是一个圈与完全图K1的联，因为圈中的任何一个顶点都与K1中的唯一一个顶点都相邻。除了3—轮以外的所有轮中的最大团也都是除了3—圈以外的所有圈中的最大团K2与K1团的联——K3。所以除了3—轮以外的所有轮的密度3也都是除了3—圈以外的所有圈的密度2与完全图K1的密度1的和。3—轮中的最大团是K4，它也是3—圈中的最大团K3与K1团的联，因此3—轮的密度也就是4了。
2、有关运算
收缩：把两个相邻顶点凝结为一个顶点的过程就叫收缩。一个图收缩的最后结果一定是一些孤立顶点，即完全图K1（平凡图），这也是一个K1团。
同化：把两个不相邻顶点凝结在一起的过程就叫同化。一个图同化的最后结果一定是一个完全图，这个完全图的顶点数一定不会小于原图中最大团的顶点数，即不会小于原图的密度。
同化一词也来源于聂祖安先生所译的《图论的例和反例》一书。有些文献中把不相邻顶点间的凝结过程也叫做收缩，我认为这样的叫法也是不合适的。收缩按中文含义是沿着某条线路进行的，这条线路就是两个顶点之间的边。而把没有边相邻的两个顶点之间的凝结也叫做收缩就显然不合适了，叫同化才是比较合适的。
同态：一个图经过一次同化后所得到的图就叫原图的一个同态，该同态再经过一次同化后所得到的图，只要不是完全图，仍然叫原图的一个同态。
完全同态：一个图经过若干次同化后所得到的图是一个完全图时，这个完全图就叫原图的完全同态。
最小完全同态：由于不同的人同化的方法和道路的不同，所得到的完全同态的顶点数也会不同，但其中一定有一个是最少的，把这个顶点数最少的完全同态就叫做原图的最小完全同态。
最小完全同态的顶点数：最小完全同态的顶点数一定是不会小于原图中最大团的顶点数，即图的密度的。
顶独立集：图中由不相邻的顶点所构成的集合就就是顶独立集。
顶独立集分划：把一个图分划成若干个顶独立集的过程，就叫做顶独立集分划。
顶独立集数：一个图所能分划出的顶独立集的数量就是该图的顶独立集数。
最小顶独立集数：一个图的所有顶独立集分划中，顶独立集数量最小的那个顶独立集分划中的顶独立集数，就是原图的最小顶独立集数。图的最小顶独立集数也一定不会小于原图中最大团的顶点数，即图的密度的。
着色：着色也可以看作是一种运算。它是给图的各个顶点都分配一种颜色，使得有边相邻的任何两顶点都有不同的颜色。
色类数：一个图着色时所用的颜色种类数就叫该图的色类数。
色数：一个图着色时所用的最少颜色种类数就叫该图的色数。
3、着色、同化、顶独立集分划三者的关系
着色时，不相邻的顶点可以用同一种颜色；同化时，不相邻的顶点可以凝结在一起；顶独立集分划时，不相邻的顶点可以分划到同一个顶独立集内；这就是三者之间相互有联系地地方。从以上的图的色数、最小完全同态的顶点数、最小顶独立集数三者的定义可以看出，这三者应该是相等的关系，即有“图的色数＝最小完全同态的顶点数＝最小顶独立集数”的关系。既然最小完全同态的顶点数和最小顶独立集数都不小于图的密度，那么图的色数也一定是不会小于图的密度的，这就是图的色数的下界。
求图的完全同态和图的顶独立集都要用到图的同化运算，最后才能得到图的最小完全同态的顶点数和图的最小顶独立集数。要保证同化的最后得到的完全同态和顶独立集的个数分别就是原图的最小完全同态和最少的顶独立集个数，就必须按一定的原则步骤去进行同化，否则最后得到的结果有可能不一定就是原图的最小完全同态和最少的顶独立集个数。当然由此所得到的完全同态的顶点数和顶独立集数也就分别不是原图的最小完全同态的顶点数和最小的顶独立集数。
如何才能做到准确无误呢，这就要求所要进行同化的两个顶点之间一定要有一条最短的道路，即两个要同化的顶点之间只能有一个共同都相邻的顶点。这就是我上述的原则步骤。比如一条由四个顶点构成的道路p4，如果把顶点1和顶点4同化在一起，便得到一个完全图K3，这显然不是道路的最小完全同态，而只有把顶点1和3同化在一起，把顶点2和4同化在一起,才能得到道路的最小完全同态K2。
三、图中的道路向最大团的同化
1、饱和道路
图中某最大团Kω以外的某条道路上的所有顶点都与该最大团中相同的ω－2个顶点（即一个Kω－2团的各顶点）都相邻（也就是道路与这个Kω－2团构成了联），且道路的两个端点顶点又都与最大团中另外两个顶点（即另一个K2团）中的一个顶点相邻，这样的道路叫饱和道路。如图1中的两个图（为了图面清晰，图1中只画出了道路pn和最大团Kω团中的那个K2团，其他的顶点和边均未画出）。只所以把这样的道路叫做饱和道路，是因为若再在该道路与最大团间增加一条边时，图的密度就会变大，或者道路的长度就会变短而成为两条分别具有上述特征的道路。① 若给pn道路的两个端点顶点到那个K2团中增加边时，团的密度就会变大；② 若给pn道路的两个端点顶点以外的顶点到那个K2团中增加边时，pn道路就会被分成两段，其长度比原pn道路都要短，但各又保持了饱和道路的特征。

2、单条饱和道路向最大团的同化
现在把图1中的饱和道路中的顶点向最大团Kω中进行同化。从饱和道路的构成条件看，道路中的顶点只可能向最大团中的那个K2团中的两个顶点同化，这就把一条道路向最大团的同化变成了只向一个K2团同化的问题了。在图1，a中，当n为奇数时，pn中总有一个顶点同化不到K2团中去，也即同化不到最大团Kω中去，且pn中的每一个顶点都可成为这样的不可同化顶点，机会是相同的；而当n为偶数时，pn中的所有顶点则都是可以同化到最大团Kω中去的。在图1，b中，是当n为偶数时，pn中也总有一个顶点同化不到K2团中去，也即同化不到最大团Kω中去，同样的，pn中的每一个顶点也都可以成为这样的不可同化顶点，其机会也是相同的；而当n为奇数时，pn中的所有顶点则都是可以同化到最大团Kω中去的。
把以上饱和道路中有一个顶点同化不到最大团Kω中去的饱和道路叫做不可同化道路，那么，图中只要有一条饱和道路，就一定有一个顶点同化不到最大团Kω中去，图同化的最终结果——最小完全同态的顶点数一定是不会大于图的密度的。
pn道路只要是一条饱和道路，如果事先把该道路同化成一个K2团，一条饱和道路向最大团的同化问题又可变成两个K2团间的同化问题了。这时同样也会出现如同上面的两种结果。如果这条饱和道路是一条回路，即一个圈时，也有同样的结果。这里就不再一一证明了。
3、多条不可同化道路向最大团的同化
对于同一个最大团，如果有多条不可同化道路时，结果又是怎么样呢。
如果有多条不可同化的道路，但其之间并不构成联时，各条道路中同化不到最大团中去的那些顶点因其本来就不相邻，还可以再同化成一个顶点。所以不构成联的多条不可同化道路，仍然只有一个顶点同化不到最大团中去，与只有一条不可同化道路的同化结果是相同的。为了保证同化不到最大团中去的顶点数达到最少，所以一定要做到，在同化时必须把各条不可同化道路之间不相邻的顶点留作不可同化顶点，以保证这些不可同化顶点还可再同化成一个顶点。
如果多条不可同化的道路之间已构成了联时，各条道路同化不到最大团中去的那些顶点因其本来就是相邻的，不可能再同化成一个顶点，所以已构成联的多条不可同化道路，就有与不可同化道路条数相同的顶点不能同化到最大团中去。
4、非饱和道路向最大团的同化
有饱和道路就有非饱和道路。① 如果使饱和道路中的两个端点顶点之一不与最大团中的那个K2团的一个顶点相邻，那么这就是一条非饱和道路，道路中的所有顶点一定都是可同化到最大团中去的。② 如果使饱和道路中的非端点顶点的一个顶点与最大团中的那个Kω－2团中有一个顶点不相邻，那么该顶点就把道路分成了两条上述的非饱和道路，道路中的所有顶点仍然是可以同化到最大团中去的。
四、平面图的最小完全同态
1、有联存在的不可同化道路的最大条数
由于联的密度是构成联的各图的密度之和，所以由S条不可同化道路已构成的联的密度应是S条道路的密度之和。因为道路的密度是2，所以S条道路的联的密度就是2S。又由于该联只是图的一个分子图，其密度是不会大于图的密度的，所以有2S≤ω，也就有S≤ω/ 2。由于道路的条数只能是整数，所以还得对S≤ω/ 2向下再取整，即S≤＜ω/ 2＞（尖括号表示向下取整）。S＝＜ω/ 2＞就是密度为ω的图中不可同化道路的最大条数。
2、各密度下的平面图的最小完全同态
由于平面图的密度都不大于4，这就可以把平面图仅有的四种密度值分别代入到公式S＝＜ω/ 2＞之中，求得平面图的不可同化道路的最大条数，使一个无穷的问题变成一个有穷的问题。从而再求得平面图在任一密度下的最小完全同态及其顶点数。
①　当ω＝1时，图中只有一个顶点，连一条边也没有，更不可能有不可同化道路了，所以在ω＝1时S＝＜ω/ 2＞＝＜1/ 2＞＝＜0.5＞＝0。所以密度为1 的平面图的最小完全同态仍是K1，其顶点数是1＜4；

②　当ω＝2时，S＝＜ω/ 2＞＝＜2/ 2＞＝＜1＞＝1。圈维数大于等于5的圈中，对于圈中的每一个K2团来说，圈中其它的顶点和边就构成了一条不可同化道路，其上总有一个顶点同化不到K2团中来。如图2，a。所以只要是含有奇圈的、密度是2的图中一定是有一条不可同化道路的，否则图中是不会含有不可同化道路的。因此，密度为2的平面图的最小完全同态有两种，分别是K2和K3，它们的顶点数2和3都不大于4；
③　当ω＝3时，S＝＜ω/ 2＞＝＜3/ 2＞＝＜1.5＞＝1；轮沿顶点数大于等于5的轮中，对于轮中的每一个K3团来说，轮中其它的顶点和边就构成了一条不可同化道路，其上总有一个顶点同化不到K3团中来。如图2，b。所以只要是含有奇轮的、密度是3的图中也一定是有一条不可同化道路的，否则图中是不会含有不可同化道路的。因此，密度为3的平面图的最小完全同态也有两种，分别是K3和K4，它们的顶点数3和4也都不大于4；
密度为2和3的平面图中，对于某个最大团来说，可能不可能有两条以上的不可同化道路呢，回答是不可能的。因为道路的密度是2，两条道路的联的密度已经是2×2＝4了，这已经是平面图中的最大密度了，它比2和3都大，所以密度是2和3的平面图中对于某个最大团来说，是不会含有两条以上的不可同化道路的。

④　当ω＝4时，S＝＜ω/ 2＞＝＜4/ 2＞＝＜2＞＝2，这里看来好象最大可能是有两条不可同化道路的，但是ω＝4的图不一定都是平面图。由于密度是4的图中一定是含有最大团K4的，如果我们现在给这个K4团构造一条饱和道路，也不要管该道路是不是不可同化道路，图中就一定会出现交叉边，这是非平面图的主要特征，这时的图就成了一个非平面图。如图3。
图3中的这四个图均不是平面图。可以这样来从理论上进行证明：设这条饱和道路Pn的顶点数为n，则：① 这条道路共有n－1条边；② 其与最大团K4相邻的边数是（4－2）n＋2＝2n＋2条（其中每个顶点各与K4团的两个顶点（ω－2＝4－2＝2）相邻，两个端点顶点又各与K4团中的另一个顶点相邻）；③ K4团的边数是4×（4－1）/ 2＝6；④ 共计该系统的总边数是（n－1）＋（2n＋2）＋6＝3n＋7条；⑤ 这4＋n个顶点构成的图如果是平面图时，其边数最大只能是e＝3v－6＝3×（4＋n）－6＝3n＋6条，⑥ 而现在该图实际的边数却有3n＋7条，大于3n＋6条（3n＋7＞3n＋6），所以图3中的四个图的密度虽是4，但其均不是平面图。
因此，密度是4的平面图同化时的最小完全同态一定仍是该图的最大团K4，其顶点数4也是不大于4 的。
3、平面图的最小完全同态
从以上分析可以看出，任何密度下的平面图的最小完全同态都是一个顶点数不大于4 的完全图。ω＝1时是K1，ω＝2时是K2和K3，ω＝3时是K3和K4，ω＝4时是K4，它们的顶点数都不大于4。
顺便还得说一下，当把某密度是2或3的平面图中的某个奇圈或奇轮同化成了一个3—圈（即K3团）或一个3—轮（即K4团）后，图的这一同态的密度已经分别从原来的2或3变成了3和4，这时图中的最大团已成为K3或K4，而且也只有一个这样的最大团。图中现有的K3团或K4团以外的任何顶点至少都与该最大团中有一个顶点不相邻，所以可以肯定，所有的顶点都一定是可以同化到现有的最大团中去的，图的最小完全同态的顶点数不会再度再加。但是，在同化时仍必须按要同化的两顶点间必须是距离最短的要求进行，以保证同化到最后的结果一定是图的最小完全同态。
五、四色猜测的证明
在前面我们已经得出了图的色数与其最小完全同态的顶点数是相等的，现在又证明了任何一个平面图的最小完全同态都是顶点数不大于4的完全图，这也就等于证明了任何平面图的色数也一定是不大于4的。也就证明了四色猜测是正确的。
由于地图也是平面图，其对偶图也是平面图，对其对偶图的顶点着色也就是给地图中的区域的染色。平面图的四色猜测已证明是正确的，那么地图的四色猜测也就是正确的了。这也就证明了地图四色猜测是正确的。
以上就是我不用着色，只是从图论的角度上，完全从理论上对四色猜测的证明。请朋友们提出意见。
六、其他有关问题
1、实际地球地图的着色
    地球上有海洋，地球地图中就有水域（海洋），在对地球地图进行着色时，把海洋也看成是一个“国家”，是一定能用四种颜色染色的。为了区别陆地与海洋，在一般情况下还是把海洋要用别的颜色与陆地国家进行区别的，所以对于全球的地球地图来说，就得用五种颜色才能染色。但这并不影响四色猜测的正确性，因为这第五种颜色是在用了四种颜色对地球地图着色以后改着的。若把其改回去，地球地图还是最多只用了四种颜色就够了。月球上没有水，无论在月球上怎样划分区域，都一定是可以用四种颜色着色的。所以月球地图的色数一定是小于等于4的。
2、证明与着色的关系
我们在以上对四色猜测的证明中没有对任何图进行着色，是纯碎从图论的理论上去进行证明的。我们的证明中虽然也用到了图，但不是具体的图，也没有对其进行着色。证明中我们虽然提到了同化，但也并没有对任何一个具体的图去进行同化，只从理论上得出了任何平面图的最小完全同态的顶点数是一定不会大于4 的。因为图的色数与其最小完全同态的顶点数是相等的，所以也就证明了四色猜测是正确的。但着色却是一种实际的运算，或叫做操作。着色是要对具体的图进行着色的，而且要一个顶点一个顶点的着。只是在没有办法对某个顶点着色时，还可以用坎泊创造的颜色交换技术去进行调整，或者用我提出的“破圈法”进行着色（其实我的破圈法也是对坎泊颜色交换技术的运用）。对具体的图着色时也不一定要进行同化运算而求出图的最小完全同态，只直接进行着色就可以了。对一个平面图着色，只要是用色多于四种，肯定是错误的。一个人对某个图着色的结果正确与否，这主要是看他是否撑握了用两种颜色交替着色的原理与坎泊的颜色交换技术。理论上已证明了四色猜测是正确的，但某个人不能对某个图进行4—着色，只能说明他自已对该图没有4—着色成功，而不能说明四色猜测就是不正确的。
3、关于实际地图中“一国多地”问题的处理
实际地图中有“一国多地”的情况，这“多地”在着色时还要着上同一颜色，能否做到呢，回答是“能”。
“一国多地”的情况是有多种情况的：一是“海洋国家”，如日本，其多个岛屿都位于“海洋”区域中，着色时很好处理，其每一个岛屿都着以不同于“海洋”区划的颜色就可以了；二是“沿海国家”的岛屿，也很好着色，其岛屿也是位于海洋中的，着上与大陆部分相同的颜也就可以与海洋区别了；三是大陆内的“一国多地”，这也有两种情况，① 一是象乌兹别克斯坦在吉尔吉斯斯坦境内的几块“飞地”，因其只与一个国家相邻，直接把“飞地”着上其“本土”的颜色就可以了。这一情况与以上“二”中沿海国家的岛屿情况相同；② 另一种是不但“本土”与多个国家相邻，而且“飞地”也与数个国家相邻，如阿塞拜缰的飞地——纳希切万地区，就与亚美尼亚和伊朗两个国家相邻。这一情况着色时可以把其飞地先看作一个单独的“国家”，待着色完成后，再用坎泊创造的颜色交换技术进行调整，使其飞地与本土着以相同的颜色。因为其本土和飞地是不相邻的，不相邻的顶点是可以着同一颜色的（即可同化在一起的），并且该国的本土与飞地间的距离也是最短的，中间只隔着一个国家，也可以在着色时尽早的把其本土和飞地着以相同的颜色（即同化在一起）。
七、结论
1、不用着色、只用纯图论的方法是可以证明四色猜测是正确的；
2、证明平面图的最小完全同态的顶点数都不大于4，与证明平面图的色数也都不大于4是等价的，即与证明四色猜测是等价的。
3、实际的地球地图中的特珠情况也是可以处理的，但地球地图的色数却是不大于5的，这是因为地球地图中有海洋（水域）的原因，要把海洋与陆地区划相区别，就必须把海洋已着的颜色改着成另一颜色。但这丝毫不会影响四色猜测的正确；
4、证明与着色是不同的两回事，证明是要得出一般的结论，而着色则是要得到某一个具体图的色数。证明是对个别情况下得出的一般结果的理论说明，而着色又是对证明结果的再次检验。
雷  明
二○一三年十一月二十一日于长安

任在深

楼主简单问题复杂化了!不符合大自然法则!!

雷明85639720

说说理由看。

任在深

1.因为"四色猜想"首先是关于纯粹数学即结构数学的结构关系的问题.
  注意!纯粹数学是关于宇宙空间形以及量的科学!
2.因此首先必须分析找出该问题的结构关系,比如: 1+1=2?
3.有了结构关系,那么该猜想的绘制地图是否符合该关系?如果符合则可证明之!?
4.当然,就目前而言,由于没有正确的纯粹数学理论,因此该猜想的证明基本都是不符合大自然法则的!也不可能符合!
5.如果符合,则它的证明应该是运用"结构数学归纳法".
  1)n=1时符合,
  2)n=i时符合,
  3)n=i+1时仍然符合.
  这就是数学结构归纳法!不是数学归纳法!!