[重发]我与吴泽林讨论拓扑学有关问题

雷明85639720

我与吴泽林讨论拓扑学有关问题
雷  明
（二○一三年五月十日）
2013,5,10吴泽林发信息：
雷先生，我现在发给您一条四色问题的等价命题:任何一个非得用n色才能区分其所有区域的曲面一定可以被重新划分为n个两两相邻的区域。可以发现，证明了此命题也就证明了四色问题！
2013,5,11,我回复：
朋友，你说的应该是对的。当这个曲面是平面（球面）时，就是四色猜测。我们如果把这个命题能够进行证明是正确的时候，四色猜测就变成了四色定理（这时的n是4）。同时还可以得出更多绚丽的定理：当这个曲面是轮胎面时，就有“七色定理”（这时的n成了7）；当这个曲面是眼镜匡面（即8字形曲面）时，也还有“八色定理”（这时的n又成了7）；等等一系列的着色定理。这不比一个平面上的四色定理更加显得绚丽多彩吗。现在有些人对四色问题的提法我认为是不正确的，他们在还没有证明猜测是否是正确的之前，就直接把猜测说成是“四色定理”，我认为是不合适的。只有对猜测进行了证明且得到是正确的结论时，猜测才能上升为定理。至于以后对学生教课时进行的证明，那就成了对第一次把猜测上升为定理的那个证明的重复抄作。我的观点，不知你认为对不对。雷明
2013,5,11,吴泽林回复：
哈哈哈！那些人之所以这么说，都是源自于“那本”极少人看得懂的“电话本”！对于大多人来说，无疑是本可传而不能理解的“天书”！
（注：是话本是指对1976年机证四色定理的一则著名评论：“一个好的数学证明应当像是一首诗，而这纯粹是一本电话簿！”——雷注）
2013,5,11,吴泽林又回复：
对于我提出的等价命题，绝对是曲面的一个非常重要性质，也许值得我们花时间去探素它，不知道您的看法怎样。我认为，得出更多性质比得到证明更显得有意义的多！
2013,5,12,吴泽林又回复：
雷先生，对不起，我发给您的命题原来不是四色问题的等价命题，而真的等价命题应为：任何一个非得用n色才能区分其所有区域的曲面一定可以被重新划分为n个两两相邻的区域，而且被重新划分且两两相邻的区域数不可能多于n个。
2013,5,13,我回复：
你这两种提法完全是相同的，没有什么区别，应该都是对的。
2013,5,14,我现地回复：
如果被重新划分且两两相邻的区域数不可能多于n个，就说明这Kn＋i不是原图的最小完全同态，但该图一定可以被重新划分且两两相邻的区域数等于n个的。你后面补充的一句是没有必要的，你本来说的就是n嘛。
2013,5,15,吴泽林回复：
是的，后来补充的不仅没必要，而且是画蛇添足了，是错误的补充。
2013,5,15,吴泽林又回复：
还有一个相关问题：n个彼此间相邻的区域所在的曲面，一定可以重新被重新划分为非得用n色才能区分的染色图，其间不存在n个两两相邻的区域。
2013,5,15,我回复：
我看不明白你在说什么。请你叙述清楚。
2013,5,16,吴泽林回复：
n个彼此间相邻的区域所在的曲面，一定可以重新被重新划分为非得用n色才能区分的染色图，而且染色图可以不存在n个两两相邻的区域。
2013,5,16,我回复：
这不是一模一样吗。为什么一定要用两个“重新”呢。不用它完全是可以的。“n个彼此间相邻的区域所在的曲面，一定可以划分为非得用n色才能区分的染色图，而且染色图可以不存在n个两两相邻的区域。”说得基本是对的。我就用对偶图的术语来加答你吧。“n个彼此间相邻的区域所在的曲面”，如n＝7时的曲面（就是亏格为1的曲面，也就是轮胎面）。在其上可以画出染色不多于七种颜色的各种图。这些图的顶点数可以是等于7（两两顶点必定相邻，色数为7）；也可以是大于7（色数仍为7，其中可以含有两两相邻的顶点数分别可以是从2到7的任何一种或多种）；也可以是小于7的（色数肯定是小于7的，其中可以含有两两相邻的顶点数可以是1到6中的任何一种或多种）。你的这种说法完全证实了亏格为0的平面（或球面）上，虽可以嵌入4 个顶点两两均相邻的图，但该面所能嵌入的图中却不一定非得存在两两顶点均相邻的K4团。的却有些平面图是4 色的，但图中却没有4 个顶点两两均相邻的K4团。
2013,5,16,吴泽林回复：
两者不一样，它们之间的关系是互逆命题；证明了前条命题，并不能代表后条命题也成立，证明了后条命题，也不能代表前条命题也成立。同时，其也应该适用任意亏格的曲面。
2013,5,17,我回复：
“两者不一样”，是那两者，没头没脑的。不知我对你所举例子看明白了没有，你是否也拿出具体的例子来看一看，来说明你的“不一样”。你这里的“前条命题”“后条命题”都是些什么呢。只你心里明白怎么能行呢。K4（正4—面体）是4 个顶点两两均相邻的图，能嵌入亏格为0 的曲面（平面）上，这个曲面（平面）也一定可以嵌入非得用4种颜色才能区分的正二十面体所对应的图，这个正二十面体中的却不存在K4团，即不存在4 个顶点间两两顶点均相邻的分子图。这不就是你上面说的那个“n个彼此间相邻的区域所在的曲面，一定可以划分为非得用n色才能区分的染色图，而且染色图可以不存在n个两两相邻的区域。”吗。
2013,5,18,吴泽林回复：
前条命题为“任何一个非得用n色才能区分其所有区域的曲面一定可以被重新划分为n个两两相邻的区域”，后条命题为“n个彼此间相邻的区域所在的曲面，一定可以重新被重新划分为非得用n色才能区分的染色图，而且染色图可以不存在n个两两相邻的区域”。如果举例能证明它们成立，我何必提出呢？当然，若能举个反例否决它们，那再好不过。
2013,5,18，吴又回复：
还有，嵌入的分子图Kn也有亏格，它能且只能嵌入与它亏格相同的曲面。亏格为0的曲面一定可以4个区域彼此间相邻，但对于亏格不为0的曲面，是否可以有100个或200个区域彼此间相邻，目前没有谁说得准。按照常规思考，它应该有，但我们需要的是证明！
2013,5,18,我回复：
我对你的两个命题在几次回复中已分别作了肯定的回答，它们都应是正确的。并且我在回复中也举出了具体的例子，我想你一定是可以看明白的。你这次说的“嵌入的分子图Kn也有亏格，它能且只能嵌入与它亏格相同的曲面”一句中，“嵌入的分子图Kn也有亏格”很不明确，比如一个K7图，亏格是1，最大团是K7，图中的分子图有多种，如K1、K2、K3、K4、K5、K6、K7都是该K7图的分子图，你这里未表达明白。你只笼统的说Kn有亏格，这也不错，但随着n的不同，其亏格也是不同的。在这里，n＝1、2、3、4时，分子图Kn的亏格是0，而当n＝5、6、7时，分子图Kn的亏格却是1。你后面的一句“它能且只能嵌入与它亏格相同的曲面”是必然的，你这里的“它”就是指的是你说的那个“分子图Kn”，当然当n＝1、2、3、4时，Kn“它能且只能嵌入与它亏格相同的曲面”——球面（或平面）上，而当n＝5、6、7时，Kn“它能且只能嵌入与它亏格相同的曲面”——轮胎面（或环面）上。当然了，n＝1、2、3、4时的Kn也是能入亏格大于0的曲面上的。因为我不明白你今天的所谓命题是在说明什么，但我这样回答你应该是没有错的。你可以细细的着摸一下。至于“100个或200个区域彼此间相邻”的曲面的亏格是多少，你可以通过赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式计算出来的。它们的亏格应该分别是776和3218。雷明2013,5,18于长安
2013,5,18,我再次回复吴泽林：
吴泽林朋友：
1、上一贴我回答你“有100个或200个区域彼此间相邻”的曲面的亏格分别是776和3218，这是我用赫渥特多阶曲面上的地图着色公式反算出来的。这只是曲面的最小亏格，它们也是可以分别嵌入到比其更大一些的亏格的曲面之上的。这就与平面图既可嵌入在平面（球面）上，也可以嵌入在轮胎面上是一样的道理。所谓嵌入，就是说把图画在曲面上后，除了在顶点外，在别的任何地方都不存在两条边相交叉的情况。这也与平面图中不存在相交边是同样的道理。这两个曲面的形状是在两个球面上分别“焊”上776和3218个环柄所构形的面。“焊缝”一定要园滑，要看不出是球面与柱面的“交线”，而是一个整体的曲面。这样的曲面不知你能否想象得出来。
2、你是与我交流多阶曲面上着色问题（拓扑学）的第一人。不知你是干什么的，是什么成度，我只是一个搞矿山技术的科技工作者，是一个业余的数学爱好者。你对多阶曲面进行研究，我认为方向是对了。我认为研究四色问题不能只从用着色的方法研究平面图的着色，而要从任意图的着色着手，去研究任意图的色数、顶独立集数、最小完全同态的顶点数与图的密度的关系。这就是把只研究亏格为0的平面图的着色问题，扩展到了可嵌入到任意亏格的曲面上的图的着色问题了。我研究的结论是，任意图的色数大于其密度，而小于其密度的1 .5倍。平面图中根本不存在最小完全同态的顶点数是大于4的图，所以密度是3和4的平面图的最小完全同态的顶点数最大只能是4，这就证明了四色猜测是正确的。
3、拓扑学中有多阶曲面上图的欧拉公式，这已是经过证明是完全正确的，该公式也是适用于亏格为0 的平面图的，公式中曲面的亏格是大于等于0的。我通过研究，从这一多阶曲面上的欧拉公式中直接推导出了赫渥特多阶曲面上的地图着色公式，既然多阶曲面上的欧拉公式适用于亏格0的平面图，那么用其推导出来的公式——赫渥特多阶曲面上的地图着色公式，也就应该适用于亏格为0 的平面图。的确，把亏格0代入赫渥特多阶曲面上的地图着色公式后的结果正好是色数小于等于4。这也可以证明四色猜测是正确的。
4、以上的有关证明请见我的《我研究四色问题的七篇论文》，《数学中国》网上的网址是：
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=3206&show=100，还可见我的博客中有有关论文，网址是：
http://blog.sina.com.cn/leiming1946。
5、朋友，是不是我们的讨论就暂搞一段落，我把它汇总后发在《数学中国》上，题目是《我与吴泽林讨论拓扑学有关问题》。
    雷  明 ，2013,5,18,于长安

雷  明
           二○一三年五月十日至五月十八日于长安整理
注：此文已于二○一三年五月十九日在《数学中国》网上发表过。