[讨论]我与吴泽林的对话

雷明85639720

我与吴泽林的对话
雷  明
（二○一三年四月二十四日）
2011,10,15,我对吴泽林《新法书证四色定理》一文的评论：
我认为四色问题的解决，可能有很多的方法，也可能很多人都已经能证明这一问题是正确的，只是数学界不承认罢了。你的方法是一个很新的方法，“在立体空间上，并不存在5条或5条以上色射线彼此间是可直接性构面的”，这实质上就相当于在空间里，金刚石的结构是最稳固的一样。在空间里，相同直径的球，只有四个堆在一起，两两球才可相互接触。但你文章里的只是简单的说了一句“ 不难证明，在立体空间上，并不存在5条或5条以上色射线彼此间是可直接性构面的”，可你并没有对其进行证明。如果有了证明，证明“在立体空间上，并不存在5条或5条以上色射线彼此间是可直接性构面的”成立，那么你在后面的反证法才是成立的。我认为这一点你的文间显得有点欠缺。随便提一点意见，请不要见怪。雷明
2011,10,16,吴泽林回复：
“在立体空间上，并不存在5条或5条以上色射线彼此间是可直接性构面的”，这实质上等价于“在立体空间上，并不存在5条色射线彼此间是可直接性构面的”。
证明的思路：先画出4条色射线彼此间的直接性构面，可以发现它们实际把立体空间分为四个部分，同时可以发现每个部分空间实际由三条色射线和三个直接性构面围成。因此，假设“在立体空间上，存在5条色射线彼此间是可直接性构面的”，那么第5条色射线得在其中的一个空间里，但是可以发现总有一条色射线和它是不可接性构面的，矛盾，故“在立体空间上，并不存在5条色射线彼此间是可直接性构面的”。
2011,10,27,我又评论说：
你的颜色替代法实质上就是坎泊的颜色交换技术，这是一百多年前坎泊的创造。你所提出的那几个专业术语实际上就是图论中所说的平面图中最多只存在四个区划两两均相邻的情况，或者说平面图中最多只存在四个顶点两两均相邻的情况，我这样说是由于平面图的对偶图仍是平面图的原因。所以我认为你还是要用已有的图论专业术语比较好，否则你写文章不吃力，可看你文章的人却是很吃力的。我认为猜测的解决不只是一种方法而是有多种方法，其中也包括你的方法在内，关键是你自已首先要证明你提出的论点是正确的、成立的，然后才能去运于猜测的证明中。不知我说得对不对，请指正。
2011,10,27,吴泽林回复：
雷明，很高兴你认真读过我的文章，可是你并未看懂。你认为我还是要用已有的图论专业术语比较好，可是已有的图论专业术语并不能让我的思路贯通和论证的需要，所以我的确写的佷吃力，推敲几年来才把证明写出来。
一﹑你认为猜测的解决不只是一种方法而是有多种方法，我也相信，所以我一直在看你的证明，尽管我现在还未看懂。
二﹑你认为我的颜色替代法实质上就是坎泊的颜色交换技术，这一点你说的不对。坎泊的颜色交换技术和我的颜色替代法的确佷相似，这说明我们的思想很接近，较符合题意。
三﹑你说我所提出的那几个专业术语实际上就是图论中所说的平面图中最多只存在四个区划两两均相邻的情况，或者说平面图中最多只存在四个顶点两两均相邻的情况，你那样说是由于平面图的对偶图仍是平面图的原因。从这里看，你并未看懂我的文章，不过你却点出坎泊的颜色交换技术和我的颜色替代法分水岭。
四﹑你说我自已首先要证明我提出的论点是正确的、成立的。可能你说的是要我证明“在立体空间上，并不存在5条或5条以上色射线彼此间是可直接性构面的”吧，我已经把证明它的思路写出来了（附在《新法书证四色定理（某些地方重新表达）》。
2013,4,24,我又对吴泽林的《新法书证四色定理》一文评论如下：
吴泽林朋友，我再一次的看了你的《新法书证四色定理》一文，觉得还有必要再与你沟通，相互讨论及学习。
1、你说的：“在立体（三维）空间上，并不存在5条或5条以上色射线彼此间是可直接性构面的”，这实质上等价于“在立体空间上，并不存在5条色射线彼此间是可直接性构面的”，这实质上就是与图论里的“平面图（也包括地图在内）中不存在5个区域或5 个以上区域两两互相相邻”，或者说与“平面图（也包括地图的对偶图在内）中不存在5个顶点或5 个以上顶点两两互相相邻”是等价的关系。你用了这么大的劲，写出了这么多的文字，主要是为了让大家看懂，了解你的观点，但你用的术语又不是图论中的术语，大家看时很费劲，看不明白时就不想再看下去了，仍然达不到你的目的。所以我建议你还是要使用图论里的现成术语要好一些，这样让大家容易看明白，你的观点也就容易使大家所接受。否则就永远只有你自已能明白，起不到扩大影响的作用。
2、你的颜色替代法不失也是一个好的着色办法，但它决不等于就是对四色猜测的证明。用这一方法你先把赫渥特图中的待着色顶点V（或面F）给着以四种颜色之外的第五种颜色（黑），然后再使用你的颜色替代法对其它的顶点或面的颜色进行替代，最后又把你最初增加的一种（第五种）颜色（黑）用图中原来已有的某种颜色所替代掉，使图中仍然保持只有四种颜色。我双手赞成这是一种好的着色方法，但不是证明。
3、我是主张不用着色的方法对猜测进行证明。你在对“李子Ijb”的回复中说：“很多朋友对四色定理错误理解。很多朋友都证明了‘在平面或球面上并不存在五个或五个以上的区域两两相邻’，以为证明四色定理，其实不然。假设真的有一副平面或球面的地图非要五种颜色不可，难道此地图一定得有‘五个区域两两相邻’吗？”既然别人只证明了“在平面或球面上并不存在五个或五个以上的区域两两相邻”不等于就是证明了四色猜测，那么你也只是证明了“在立体（三维）空间上，并不存在5条或5条以上色射线彼此间是可直接性构面的”，能说明是就把四色猜测证明了吗。你上述回复“李子Ijb”的话中有“假设真的有一副平面或球面的地图非要五种颜色不可，难道此地图一定得有‘五个区域两两相邻’吗？”这句话也是不对的。一，你说的“有一副平面或球面的地图非要五种颜色不可”是假设的，二，有“五个区域两两相邻”的地图并不是没有，在亏格为1的轮胎面（环面）上就有这种情况。
        雷明，二○一三年四月二十四日于长安
2013,4,25,吴泽林的三个回复：
1、雷明前辈，先谢谢您的肯定、建议和质疑！
2、雷明前辈，亏格为1的轮胎面（环面）的确可以划分五个两两相邻的区域。不过您对我的叙述的理解有偏差！我总把“在平面或球面”放在前面，就是怕大家理解错了！
3、雷明先生，您说的“实质”和我提的“实质”相差甚远啊！当然，这只能怪我提出的概念太新了，以至于您暂时无从认可！也许您可以这么理解：色射线是一组同种颜色的区域的代表，而不是一个区域的代表。
2013,4,25,我回复：
“色射线是一组同种颜色的区域的代表”，难道图论中的“顶独立集”就不可理解成是“一组同种颜色的区域的代表”吗。你说的“域色射线”实际上就是着了颜色的顶点（区域），“色射线”就是所有着相同颜色的顶点（区域）的所构成的集合，也就是图论中的一个“顶独立集”，而你的“色射线”的条数就是“顶独立集”数，即“顶独立集”的个数。你若认为你这是一个“新概念”，也不是不可以，不过你画的图很难看懂，不如“顶独立集”容易理解。你要想使更多的人对你的理论有所理解，你还得下功夫在文字和图示上进行多研究，要让大家容易理解些。雷明
2013,4,25,吴泽林回复五贴：
1、每一条色射线只仅仅是一条有颜色的射线，而不是个集合。至于每个“顶独立集”是一个集合。
2、不可否认，某种颜色的“域色射线”对应的所有区域的集合是一个“顶独立集”！但是色射线却只是域色射线的平行线（同一种颜色）。正因为这样，色射线之间的关系就有了与“顶独立集”之间的区别！
3、还有，图论中的“顶独立集”的确不可理解成是“一组同种颜色的区域的代表”！除非得先规定这个“顶独立集”里所有的顶点都是同一种颏色，且在其它“顶独立集”里没有这种颜色的顶点；这样一来，这个“顶独立集”才可理解成是“一组同种颜色的区域的代表”。
4、颜色替代法确实不是证明方法，而是颜色减少的必要条件，缺一不可。一旦剩下的颜色都不具备这些条件，那么剩下的颜色种数就是这一幅地图最少所需要的种数。
5、显然，当一种颜色的消失即意味着一条色射线的消失。这样一来，色射线彼此间必然存在一定的关系！由于色射线同端点以及不重叠，因此构角和构面！而构面有直接性的，又有间接性的。（详见原文）
2013,4,26,我回复：
1、朋友，是我昨天的回复中有些术语说得不清楚，你指出“顶独立集”不能理解成是“一组同种颜色的区域的代表”，这是对的。而只能说，图的最小完全同态中的每一个顶点是一个顶独立集中的所有顶点的总代表，同一个顶独立集中的顶点因其在原图中是互不相邻的，着上同一种颜色是完全可以的，所以说，图的最完全同态的每一个顶点才是“一组同种颜色的区域的代表”，这与你的“色射线”是相当的。一个图的最小完全同态中有几个顶点，该图着色就必须使用几种颜色。你的理论是一个图中有多少条“色射线”，图着色时就得用多少种颜色。所以说二者是相当的概念，如果你能用图论中已有的现成概念或专业术语来表述你的观点时，比你用你现在的术语要好一些，大家能更容易接受些。
2、图的同态、完全同态这是图论中已有的术语的概念，可见《图论的例和反例》一书。而最小完全同态，最小完全同态的顶点数，是我自已提出的。把图中的不相邻的顶点凝结在一起的过程叫“同化”。一个图经过一系列的同化后一定会得到一个完全图，这个完全图就是图的完全同态。由于同一个图可能有不同的完全同态，其中必有一个的顶点数是最少的，所以也就应有最小完全同态和最小完全同态的顶点数。着色时不相邻的顶点可以着同一颜色，所以可以凝结到一起的顶点完全是可以着同一颜色的，所以最小完全同态的顶点数就是该图的色数。完全同态的每一个顶点都是由不相邻的顶点同化而来，所以完全同态的每一个顶点就代表一个顶独立集，最小完全同态的顶点数就是图顶独立集数，也就是图的色数。
3、你理论是与现有的图论中的理论是相同的，还是用现有图论中的术语好一些。你的域色射线和色射线的图叫人看了实在是眼花缭乱，文字也叙这得不清，看起来好费劲。
雷明，2013,4,27于长安
2013,4,28,吴泽林回复：
1、雷明，真不好意思，因为工作原因，每次回复您都得等到三更半夜。
2、我承认，顶独立集、同态和图的完全同态是图论现有的概念和术语，甚至“同化”一词很生动和合理，不过，我个人认为，您对它们的认知是有偏差的（原谅我的直接）。
3、相信你也认同，不相邻的区域可能是同色，也可能不能是同色！图的完全同态的每一个（同化的）顶点对应的顶点集合是“顶独立集”，虽然，它既可能是“一组同种颜色的区域的代表”，但也有可能是“一组不同种颜色的非相邻区域的代表”的！按目前您的思路，您很大可能没考虑到后者。
4、再按您的思路，若我将图中的不相邻且颜色不同的顶点经过一系列的同化后也一定会得到一个完全图，这个完全图也是图的完全同态。由于同一个图可能有不同的完全同态，其中必有一个的顶点数是最少的，所以也就应有最小完全同态和最小完全同态的顶点数。着色时不相邻的顶点可以着同一颜色（但也可以不同颜色），所以可以凝结到一起的顶点完全是可以着同一颜色的（但也可以是不同颜色的），所以最小完全同态的顶点数就不一定是图的色数。完全同态的每一个顶点都是由不相邻的顶点同化而来，所以完全同态的每一个顶点就代表一个顶独立集，最小完全同态的顶点数虽是图顶独立集数，但不一定是图的色数。雷明，我这样分析，对吗？
2013,4,28,我回复：
晚了没关系。你这样分折不对。顶独立集是不相邻顶点的集合，但没有说所有不相邻的顶点一定要划分到一个顶独立集中去，也就是说，顶独立集中的每一个顶点所代表的不全是图中所有不相邻的顶点。这也就是你所说的不相邻的顶点可以着同一颜色也可以着不同的颜色。你说的“可以凝结到一起的顶点完全是可以着同一颜色的（但也可以是不同颜色的）”这句话是不对的。可以凝结到一起去的顶点一定是可以着同一颜色的。你这句话如把括号中的字去掉就是对的。同化是一个同态接一个同态的同化，直到得到最小完全同态为止。不能把不是同一次同化得到最小完全同态相互比较的，因为同一个图同化最后得到的最小完全同态的顶点数虽相同（同一个图的色数是相同的），但其每一个顶点所代表的顶点却不一定是相同的（即着同一颜色的顶点却不一定是都是相同的）。
2013,4,28,吴泽林回复：
顶独立集是不相邻顶点的集合，但我没有说所有不相邻的顶点非要划分到一个顶独立集中去，顶独立集中的顶点所代表的可以是图中部分不相邻的顶点。我所说的不相邻的顶点虽可以着同一颜色，但也不能排除可以着不同的颜色。可以凝结到一起的顶点既然完全是可以着相同同颜色，难道就不能着不同颜色吗？可以凝结到一起去的顶点一定是可以着同一颜色的，这我也不反对，但是不是绝对呢？
2013,4,29,吴泽林回复三贴：
1、还有，把图中的不相邻的顶点凝结在一起的过程叫同化，不知道该依什么方式“凝结”呢？同时，同化是一个同态接一个同态的同化，不知道这里的同化与上面的“同化”意义是否一样？为什么这样问呢，是因为我认为二者有出入，被强扭在一起的感觉。
2、我们都肯定每一幅地图都有最少色数。甚至，我也肯定您提出的“最小完全同态”（在意义上）是客观存在的！当然，我也可以通过“某种方式”对图中不相邻的顶点归类，再归类，再归类、、、，直到类数与最少种数相同为止，因为“某种方式”一定存在，就像你用“同化”一样。但我还是想问，在怎样的充要条件下才可以“同化”呢？
3、对了，关于“假设真的有一副平面或球面的地图非要五种颜色不可，难道此地图一定得有“五个区域两两相邻”吗？ ”是我打的一个比方，就如“假设真的有一副平面或球面的地图非要四种颜色不可，难道此地图一定得有四个区域两两相邻吗？ ”的道理一样，而答案在没有证明情况下是不一定的。
2013,4,30,我回复：
1、前天开始，我的计算机的显卡坏了，今天才换了一个，晚回复了；
2、既然不相邻的顶点不可能同时都可划分到同一个顶独立集中去，那么就应该说“可以同化到一起去的顶点一定是可以着同一颜色的，而且必需着同一颜色”；
3、“同化”相当于图论中的“改缩”，但我认为叫“同化”则更合适一些，但这“同化”二字也不是我发明的，而是《图论的信例与反例》一书中已有的，是该书的译者聂祖安先生发明的；
4、同化一次后，得到一个新的同态（或叫同态像），对这个同态再进行同化，又得到一个新的同态，不断的把同化进行下去，最后一定得到一个顶点数是最少的完全同态。我说的“同化是一个同态接一个同态的同化”就是这个意思，可能我表达不清的原因，使你难以理解，这下应该清楚了吧；
5、你的第2点说得很好，就是我的通过同化求图的最小完全同态的过程。你在后面的提问也很重要。同化的条件就所同化的两顶点在原图以及其后的同态像中都是不相邻的。再无别的。我只所以认为用“同化”一词合适些，是因为“改缩”一词给我的感觉总是在“沿着”一个什么“东西”在“收”，在“缩”，这个“东西”自然就应是“线”了，这就是图中的“边”，所以“收缩”一词用在相邻的顶点间的“凝结”是合适的，而“同化”用在不相邻的顶点间的“凝结”才是适的。我就是这样认识的。过叫什么词并不是关键的问题，大家习惯了也就可以了。关键的题是顶独立集划分时是要把不相邻的顶点划分在同一个顶独立集内的，求图的最小完全同态时是要把不相邻的顶点“凝结”在一起的。
6、你的第3个问题，我只能这样来回答你：如果真有一幅地图非要五种颜色不可，这个地图中不一定就非要有五个区域两两均相邻不可。它就如同一幅平面或球面地图需要四种颜色，但这个地图中却不一定非得有四个区域两两均相邻不可是一样的道理。一个5—轮着色需要4 种颜色，但它的密度（图的密度是图中两两顶点均相邻的团中最多的顶点数）却不是4，而是3。那么一个轮胎面上的五色图（或五色地图），同样的，其密度不一定就是5，而可以是4（或该地图中不一定要有五个区域两两均相邻，而只有四个区域两两均相邻时的地图也有可能非得要用五种颜色不可的）。这就是我不用着色的方法对猜测的证明所得到的结论：任意图（包括平面图和非不面图在内）的色数是大于等于该图的密度，而小于等于图的密度的一倍半。
雷  明，2013,4,30于长安
2013,5,1,吴泽林回复：
对于“既然不相邻的顶点不可能同时都可划分到同一个顶独立集中去，那么就应该说“可以同化到一起去的顶点一定是可以着同一颜色的，而且必需着同一颜色””的说法，我不能认同。第一，“应该说”有相当大的主观色彩；第二，何以见得“必需着同一颜色”？第三，假如真的必需着同一色，第一次“同化”后，由于没有“同一色”的基础，何以再一次“同化”呢？
2013,5,2,我回复：
首先要肯定的是：1、同化时是不相邻的顶点在同化；2、在求得了图的最小完全同态时，图中不相邻的顶点不一定都能同化成一个顶点。比如，顶点A与顶点B和C均不相邻，而顶点B和C又相邻时，同化时A只能与B和C之一同化在一起，不能同时与二者都同化在一起；3、可同化到一起的顶点可着同一颜色，且必须着同一颜色。这是着色的要求，达到用色最少的目的。上例中，若A与B同化在了一起，则A就不能再与C同化在一起了，否则同一个顶独立集内就存在了相邻的顶点。要么是A和B同化在一起，要么是A和C同化在一起，二者只能取其一，不可能二者同在。这时把A（B）着一种颜色，C着另一种颜色，只有两种颜色，用色是最少的；你如果把A与B不着同一颜色，就必然是三个顶点用了三种颜色，比上述的两种为多了，就不是最少的，没有达到着色的目的。当然每一个顶点着一种颜色也不是不可以，但就失去了我们证明四色猜测的意义；3、所谓一步一步的同化，就是说每次同化只能是在两个顶点间进行，不可能同时在三个或三个以上顶点间进行。请你慢慢的理解，我也不知道该如何叙述才能令你满意了。
第一，我不知你说的“主观色彩”是什么意思。“第二，何以见得‘必需着同一颜色’？”上述已是一个回答。“第三，假如真的必需着同一色，第一次‘同化’后，由于没有‘同一色’的基础，何以再一次‘同化’呢？”该句我不明白你是在说什么。
请你慢慢的理解你的“域色射线”、“色射线”与图的顶点，着色数及顶独立集数、最小完全同态的顶点数之间的等价关系吧。我认为你的“域色射线”就是着了颜色的所有顶点，“色射线”就是图的色数，也就是图的顶独立集数或最小完全同态的顶点数。你的术语和图很难让人理解，不如用现成的图论术语好一些。请你想想， 我也只能给你说这么多了，再多了就都成了重复话了，就没意思了。
雷明，2013,5,2,于长安
2013,5,2,吴泽林回复：
雷明，我对于写出“主观色彩”始于对“应该说”的错误理解，因为“应该说”也有“可能”的意思，在此对您说声对不起，因为此处您不是这个意思，只怪后来品出来没有及时发道歉给您，是我不对！
2013,5,2,我回复：
没有关系的，我们都是在探讨前人没有解决的问题，说话好与不好听都是没有关系的。因为我知道你和我各自都是在想说服对方的，必然有过激的语言，不要紧的。雷明
2013,5,3,吴泽林回复：
最好，我也喜欢直接探讨问题。
2013,5,3,我发贴：
朋友，你要继续使用你的术语也不是不可以。你的关键是要证明你的“色射线”数对于平面图来说是小于等于4的，或者说对于任意的图来说，“色射线”数都是大于等于图的密度而又小于等于图的密度的一倍半。雷明
雷  明
二○一三年四月二十四日于长安