[讨论]坎泊交换的必要条件是什么

雷明85639720

坎泊交换的必要条件是什么
——并与一棵小草和张彧典两位朋友交换意见
雷  明
（二○一二年十一月九日）
在对图进行着色时，一般情况下，是在一个待着色顶点V周围的顶点都已着上了颜色，且已占用完了四种颜色的情况下，才使用坎泊创造的颜色交换技术的。其目的是为了从以待着色顶点为中心顶点的轮的轮沿顶点中空出一种颜色给V着上。当然也有为了使某一条坎泊链从某处断开而进行坎泊交换的，但这种交换的目的不是为了空出颜色给待着色顶点的。我们在这里主要说的是前一种要空出颜色的坎泊交换。
要空出颜色给待着色顶点V着上的坎泊交换的必要条件应该说是要交换的坎泊链应当是不连通的，即该链的两个端点顶点不同时位于以V 为中心的轮的轮沿顶点上，也就是说该链的两种颜色虽然同时都着在以V为中心的轮的轮沿顶点上，但这两个轮沿顶点却是不以该种色链而相连通的。这种情况下，只交换其中的一条色链，另一条不动，就可以达到目的。交换了的那条色链使得轮沿上的一个顶点的颜色发生了变化，变成了与未交换的另一条色链在轮沿上的那个顶点的颜色相同。这时就从已着了四种颜色的轮沿顶点中空出了一种颜色，可以给待着色顶点V着上。如果交换的链是连通的，即这条链的两个端点都在轮沿上，则交换的结果是空不出颜色给V的。
这里本来是与约当曲线没有什么关系的。可现在有的朋友说，使用坎泊的颜色交换技术的必要条件是要有一条与待着色顶点V构成的约当曲线（我把叫做约当链）把要交换的色链分在了两个“片”中（即两部分）。难道没有这样的约当链，就不会存在所要交换的链是不连通的情况吗，要交换的链即就是连通的，难道就不能想办法使它变得不连通吗。
他们的这种结论只是从对赫渥特图着色的过程中得出来的。的确，在对赫渥特图的着色时，每交换一次色链时，所交换的链总是被另一条别的色链与V构成的约当链分成了“两片”的。但赫渥特图只是一个个别的图，他不能代表任意的图。对于这样的理论我们随便就可以找出一个反例来进行否定。例如一个单独的5—轮，其五个轮沿顶点已经占用了四种颜色，该图中并没有任何的连通链，当然更不可能有与待着色顶点V（即5—轮的中心顶点）构成的约当链了，难道这个5—轮就不能给中心顶点着上已用过的四种颜色之一吗，难道5—轮就不能4—着色吗。其实这个5—轮图是非常好着色的，而且也是严格的按照坎泊的颜色交换技术进行的。
从这里我们可以看出，要得出任何一个结论，首先要看它是不是对于任意的图都是适用的，不要把从某些个别图中得到的结论，拿来做为对于任何图都是适用的结论。
雷  明
二○一二年十一月十日于长安