[原创]数学证明应遵循的一般原则

雷明85639720

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数学证明应遵循的一般原则
雷  明
（二○一二年八月二十六日）
这是我二○○○年的作品，现在我把它在《数学中国》网上发表如下：
数学证明应遵循的一般原则
——在研究四色问题、哥德巴赫猜想、多面体欧拉公式时所想到的
雷　明
1、数学是一门非常严密的科学
数学是一门非常严密的科学，所有的命题、公式、定理都必须经过严密的证明后才能使用。我在对四色问题、哥德巴赫猜想、多面体欧拉公式的研究过程中深刻地感到：要使得一个新的命题得以证明，必须利用已被证明过的且已上升为理论的公式、定理作论据，而无休止的采用检验、实践的办法是无法办到的，特别是研究对象是一个无穷集合时更要注意这一点。比如研究四色问题时的对象是由无穷多的图构成的集合，研究哥德巴赫猜想时的对象是由无穷多的素数、偶数、奇数、自然数所构成的集合，研究多面体欧拉公式时的对象则是由无穷多的多面体构成的集合等等，这些集合都是无穷集合。
2、例：平面三角形内角和为180°的证明
    举一个例子，要证明平面三角形的内角和等于180о，如果用测量（检验）的办法，则永远是证明不了的。因为测量过程中一定会有误差，即就是测量得非常精确，一个、两个、三个，直至百千万个已测量过的三角形的内角和都是180о，也不能说明该命题就是正确的。因为平面三角形的种类有无穷多个，随便就可以画出一个来，“平面三角形”本身就是一个无穷集合的概念，你不可能把所有的三角形都全部测量完。矛盾出来了，一方面实践说明命题成立，一方面理论又不能接受这实际测量的正确，那么如何证明平面三角形的内角和等于180о这一结论是否正确，就只有求助于已被证明了的定义、定理，不要再去对任何一个三角形的各角进行测量了。
　　平面三角形的内角和等于180о的证明方法如下：
证明中所用到的定义、定理：1、平角的定义：一条直线就是一个平角，平角为180о；2、两平行线与第三条直线相交的性质：同位角相等，内错角相等。

证明过程如下：在图1中过顶点C作△ABC的BC边的延长线CD，则∠BCD是一个平角，等于180о；再过顶点Ｃ作ＡＢ边的平行线ＣＥ，则ＡＣ、ＢＤ分别是与平行线ＡＢ、ＣＥ相交的两条不同的第三条直线。这时就有∠1＝∠４（内错角）和∠２＝∠５（同位角），因为∠３＋∠４＋∠５＝180о（平角），所以∠３＋∠１＋∠２也等于180о。这样很快就得到了证明，不需要对任何一个三角形的内角进行测量就可以了。
3、四色猜测的证明过程
平面三角形的内角和等于180о的证明是这样，四色猜测的证明也是这样。在着色过程中发现了任何平面图的色数总是不会大于4这一规律后，就不要再无限制的进行下去了，因为平面图的种类也是无限多的，花费的时间再长也是无法把所有的平面图都能着色完的，平面图的色数决不大于4这一结论正确与否，也不能靠这无限制的着色去证明，唯一的办法就是不去给任何一个图进行着色，使用已被证明了的定理、定义作依据去进行证明。
我对四色猜测的证明过程是这样的：从着色与同化、色数与完全同态的定义出发，首先证明了任意图（包括平面图与非平面图）顶点着色的色数就等于图的最小完全同态的顶点数；然后再从最大团、图的密度的定义出发，得到了任意图的色数决不小于其密度值，这就是色数的下界；进而分析图中的道路与最大团的最可能复杂的相邻关系，通过对这个最可能复杂的相邻关系的分子图（该道路与某个最大团是属于图的一个部分，是全图的一个分子图）进行同化，求该分子图的最小完全同态的顶点数，而得到任意图的色数的上界，即色数上界决不会大于其密度值的1.5倍；有了任意图色数的界，把平面图的密度不大于4代入其中，再指出密度为4，但其色数却为不大于该密度的1.5倍的5种颜色和6种颜色的图不是平面图，而是一个非平面图，就非常容易的得到任何平面图的色数决不会大于4的结论是正确的。四色猜测就被证明了（请见《图论法证明四色猜测》一文）。
4、哥德巴赫猜想应如何证明
全体自然数，全体偶数，全体奇数，全体素数等等，都是无穷集合，它们的元素都与自然数集合的元素一样多，都有无穷多个。在这种情况下，即就是把很多偶数都写成了两个素数的和，哥德巴赫猜想也仍然是不能得到证明的，因为你不可能把所有的偶数都写完。如何办？就得用到已有的集合论方法、数集方法、对应与函数、一一对应、两集合等势、集合的性质等等，不需要对任何一个数（偶数或奇数）进行试写，就可以证明哥德巴赫猜想的任何一个部分，并且两部分还是可以相互转化的。已知素数有无穷多个，较大的素数连具体数值是多少都不知道，那么如何做得到用实践的办法把任何偶数都写成两个素数之和或把任何奇数都写成三个素数之和的形式呢！
不能把所有偶数都写成一个素数加一个素数的形式，但我们可以反方向思维,把所有的素数都两两相加一次(并包括同一个素数自身相加的一次在内)，是不是可以得到所有的偶数呢。除唯一的偶素数2外的其它所有素数都是奇数，那么任何这样的两个数的和一定是一个偶数，从这一思想开始，继续证明下去，就可使猜想得到证明是正确的（请见《集论法证明哥德巴赫猜想》一文）。
5、由凸多面体欧拉公式到多面体万能公式
对于已知的凸多面体的欧拉公式，只是由个别的多面体（五个正多面体）得出的，它能否适用于任何多面体，公式中还需要增加什么内容，也不可能把大量的多面体拿来一个一个地进行研究，因为多面体的种类也是无穷多的，永远也研究不完。怎么办，还得从图论的角度出发。因为任何一个多面体都对应着一个图，用图论方法来研究其对应图中顶点、边、面三者之间的关系，得到一个图论中的欧拉公式，然后进一步研究多面体与对应图的顶点、边、面三要素间的相互关系，就可得到适合于任何多面体的欧拉公式，它不但适用于简单的凸多面体，而且适用于凹多面体、组合多面体、管状多面体和复杂多面体。不过这时的公式中增加了两个参数——环形面数和亏格数，这就是多面体万能公式（见《多面体欧拉公式的拓宽》一文）。
6、数学证明应遵循的一般原则

数学证明应遵从的一般原则如图2的流程图所示。首先人在实践中由个别事物中提出新的命题，通过已有的定义、定理、定律去证明其正确与否，正确的就上升为理论，做为新的定理、定律，不正确的也是一个反面的结论，它们除了进行应用外，还可以用其对更新的命题进行证明。这个流程图是一个无限循环、永不结束的流程图，说明了人类对世界的认识是一个无穷无尽的过程，宙宇中的存在是永远也认识不完的。
7、电脑与人脑的关系
下面谈一下人脑与电脑的关系。非常肯定的是，人脑比电脑聪明，因为人脑可以创造出电脑，而电脑却创造不了人脑，电脑也不可能指挥人的行动。电脑只是一种计算工具，与算盘是同一类性质的东西，不过它的计算速度比起算盘和人脑来就大得无法比拟。人脑能认识世界，现在还没有认识的事物，在将来一定的时期可以认识，而电脑就做不到。但电脑的确比人脑的反应快这一点是不能否认的。比如，解一个一元二次方程，只要把该方程的三个系数Ａ、Ｂ、Ｃ告诉它（输入给计算机），该一元二次方程的两个根即可输出，这一点人是无法办到的。但是，人不把解Ａx2＋Ｂx＋Ｃ＝０的方法输入计算机，就是给了它Ａ、Ｂ、Ｃ三个系数值，它什么也不会做，它不可能知道这就是一元二次方程的三个系数，更不会知道一元二次方程一定有两个根且只有两个根。但是人可以证明一元二次方程一定有两个根，并且可以推导出求根公式，这一点也是计算机无法办到的。它只所以会解一元二次方程，是因为人把一元二次方程的求根公式输入给了计算机的内存。可以这么说，如果没有人，也就没有计算机，人不去进行操作，计算机也只能是一堆废铁。
                                 雷  明于金堆城矿
                                 二○○○年十二月
                                   雷  明
二○一二年八月二十六日于长安发表

任在深

言简意赅一句话，没有正确的纯粹数学的基础理论，什么也证明不了！
正确的纯粹数学的基本理论必须具备如下条件：
         1.相容性：
         2.独立性：
         3.完备性：
而现代数学根本不具备完备性，因此哥德尔弄出来一个不完备定理？！
所以好多问题得不到完美的证明，只得继续猜想，不知何时是个头？？
    啊！快出头了！