[讨论]我与梁增勇关于亏格的对话

雷明85639720

北京：科学出版社，2004.
因为我是从平面图去研究四色定理的证明方法，因此不涉及到任意的非平面图，例如王树禾著《图论》介绍Kemple,Appel和Heawood的有关四色（五色）定理的证明，就没有用到非平面的定义。
在{美}Fred Buckley,Marty Lewinter, 李慧霸，王凤芹译，《图论简明教程 》有任意图（包括非平面图）的章节，遗憾的是我只复印到“亏空格”的一页，因为当时我还不想也没有精力去研究非平面图的东西（我还去图书馆找，人家已借走了）。关于非平面图的定义，以后我用到不懂时再请教你。
    看了你刚贴有关四色定理证明的四篇文章网页，内容是否正确我还不能肯定（需要消化）当然，任意平面图也包括平面图，（即亏格=0）思路应该可以。但形式上可能是欠缺   的。作为图论的论文，连一个图都没有，人家怎么能看懂呢。
    你应该很清楚数学论文的格式，应该有摘要、关键词、正文（包括图表），参考文献。（这是专家第一面最想抠的），我的文章也给数学专业的教授看过，他们给我的意见也是哪个引理是从哪里引用的一定要说清楚。
当然，你网页上只是泛泛的谈（不作为论文），就另当别论了。
    梁增勇
8,14,19点，雷明：
你用了几次“亏空格”不知是什么意思。你说的“当然，任意平面图也包括平面图，（即亏格=0）思路应该可以。”中的“任意平面图也包括平面图，（即亏格=0）”应该说成“任意图也包括平面图（即亏格=0）”。我不认为图论的论文非得一定要图不可，能用文字说明的就可以不一定要画图。我的论点上没有参考别人的观点，只所以一此常用的术语等，就不一定要说明引用的来源，所以不必要参考文献栏目。雷明
8,14,22点，梁增勇：
我对非平面图的概念定义不熟悉（因为我目前不用这种方法研究）“亏空格”是随口说的，意思是说我对这些概念不懂（所以连名称也说错）。看书后我知道其实是指“内亏格”。
再请教你，欧拉公式：“多阶曲面上的欧拉公式是v＋f－e＝2（1－n），其中的n是图的亏格”，
那么环面图即亏格=1（有一个孔洞），欧拉公式是v＋f－e＝2（1－1）=0 吗？
    梁增勇
8,14,23点，雷明：
“内亏格”也是错误的，应该 就是“亏格”。环面（亏格是1）的欧拉公式是：v＋f－e＝0，你说的是对的。再往后随着亏格的增大，等号后面就成了－2，－4，－6和－8等等。等号后面的数叫做欧拉示性数，用K表示，K＝2（1—n）。非平面图的定义是对平面图而言的，指如果有一个图画在平面（或球面）上时，在顶点与顶点多外，没有边与边相交叉（交叉边）的情况，就是平面图（亏格为0），否则是非平面图（亏格大于等于1）。但对于亏格大于等于1的图，画在同亏格或比图的亏格大的曲面上时，也是不会有交叉边的情况，但如果画到比图的亏格小的曲面上时，一定会出现交叉边。所以我说，所谓的平面图与非平面图只是一个相对的概念，是对于亏格为0的曲面与亏格大于0 的曲面而言的。其实对于任何亏格的曲面，都存在有图嵌入其上时有的有交叉边，有的没有交叉边的情况存在的。雷明
8，15，染增勇：
"内亏格"是书上定义的还有错？可能不同的书提法不同。
一个完全图k5在环面上的欧拉公式如何表示？
是 5+f－10=0 吗？难道仅有5个面？
梁增勇
8，15，雷明：
非平面的完全图K5在环面（亏格为1，也叫轮胎面）上的欧拉公式就是5＋5－10＝0，它在环面上就是只有5 个面，你可以画一画K5在环面上的展开图，就明白了。其中有4 个3—边形面，另一个面是4—边形的。不过这就属于拓扑学的问题了，你对非平面图还都不甚了解，那么这个就更难理解一些了。关于“内亏格”的问题，可能是提法不同吧，但一个内字，给人一个印象，是否可能还有什么外亏格吧，而且内亏格也无法解释。你是否把你看的那本书里关于内亏格的定义的那一段给我一字不动的发过来，我也理解一下。如何。雷明
8,15,雷明：
发去K5图在环面是的表示方法，请见附件。

8,15,梁增勇：（发来了有关“内亏格”的书的一页）
请打开附件看图中文字。
8,15,梁增勇：（看了我给的K5图在环面上的嵌入后说）
的确如此。谢谢。
8,16,雷明：
我看到了你的引文，那里的“内亏格”与一般图论或拓扑学书中所说的“亏格”是一样的，我认为只说“亏格”要当一些，用“内亏格”容易给人以误解，认为可能还有“外亏格”之别。
8,16,雷明：
    关于亏格的信：
朋友，我想起来了，你那本书上只所以要定义为“内亏格”，就是因为他那里的亏格是指在球面上的孔洞数，而在球面上“焊”上环柄时，经拓扑变化后仍得到了环面（轮胎面）和其他的多亏格的曲面，是不是也可以把球面上环柄的个数叫做曲面的“外亏格”，但不管是内亏格或是外亏格，亏格数相同时，最后得到的曲面都是相同的，所以我还是认为统一叫做“亏格”为好。雷明
8,16,雷明：
关于学习的信：
我的观点是：看书不能死板，一定要活，要求理解。因为书上的东西不一定都是正确的，那么同一事物叫法的不同，有出入等就更是家常便饭的事了；各人有各人的认识，事物也是一步一步向前发展的，不同的时代的书上对同一事物的不同命名或定义也是正常的。所以看书一定要活，要把不同的书上的东西融汇贯通，变成自已的东西，这样才能在看书学习时更主动灵活一些。当然了，也有些是由于译者自已的认识不同，翻译时也就有不同的译法，这也是不奇怪的事。雷明
8，17，梁增勇：
“我的观点是：看书不能死板，一定要活，要求理解。”说得对！因为中文书是从外文书的定义翻译过来的，不同的作者的译文会有所不同。另外，外文作者编书“各人有各人的认识”，定义和符号也会有所不同。只要我们清楚它的定义是指什么东西，就行了。同时也应该清楚和使用大多数人公认的名称和符号，大家交流才方便、不会混淆不清。梁增勇