[讨论]就技术员的《我对四色问题的证明》一文与技术员共同讨论

雷明85639720

就技术员的《我对四色问题
的证明》一文与技术员共同讨论
雷  明
（二○一二年五月十五日）
我的《与网友“技术员”的对话》一文5 月9 日发表后，当天技术员立即发表了他的《我对4色问题的证明》一文，画了无数个轮形图，都是只用了四种颜色，认为这就是对四色猜测的证明。并要我“批评指正”。
5 月9 日我回复：
朋友，你这只是一个类型的图，它的对偶图就是所有的棱锥体或轮，棱锥体（或轮）的棱数或侧面数可以多至无穷，这也只能说这一类图着色时没有超过四种颜色，而还不能说明其它的平面图着色时也都一定不超过四种颜色。雷明
5 月9 日技术员立即回复我：
他在这里画了两个图，一个是对底双棱锥，即菱形体，别一个是棱锥体。然后说：“雷老师，您是说左边的那种图吧，你仔细看，左边和右边的图是相同的，只是形状不同而已。”
后来他又问：“我4楼的左边的那个图是不是您所说的另一类图，如果不是，请举个具体的例子给我看一下，最好附个图，行吗？谢谢。”
5 月9日我回复两贴：
其一：我说的你画的几个图全都是一个类型，其对偶图都是轮，你无限把面增下去，得到的是无数个轮辐不同的轮，即n个n—轮，这里n是大于1，而以至无穷大。雷明
其二：你后一贴中的两个图，是不一样，左边的图的对偶图是一个对底双棱锥，右边的图的对偶图是一个单棱锥，他们的棱都可以有无数多条，这两类图是只用了四种颜色，还是不能保正其他的平面图着色时的颜色数是不大于4的。雷明
我又补充说：你4楼左边的图是另外一类图，但它只能是另一类，而不能代表是所有的图。发图太麻烦，我只能说，你任画几个点，任意的在这些点间连几条边，这就是一个任意的图。这个太简单了，还要我给你画吗。
5 月9日技术员回复我：
雷老师，您错了，4楼的左边的图和右边的图可以说完全等价的，您不要被形状所迷惑，你看左边图中增加的蓝色面和除蓝色面外的所有面都相邻，而右边的图中增加的蓝色面也一样。
5 月9 日1 回复：
明明摆着的不相同，你为什么说一样呢。等价不等于相同。你所画的图只能是两类图（菱形体和棱锥体），不能代表全体平面图。随便的在纸上画几个点也是平面图，只是图中没有边而已，这样的图化简后就只是一个顶点，是小于4 的。你把图的概念理解得太的简单了。雷明
5 月9 日技术员回复我：
等价就是说它们的不同不影响其各种有效的动作，任何图都会归于原始状态，如果把它立体化，就是个4面体，而无论从哪个面增加一个面都一样的，都可以平面化成4楼图右边这个状态。
后面补充说：
4面体无论在哪个面方向增加一个面都是5面体，而这个5面体形状不同是不影响染色的。
而4楼左图和右图立体化都可以看成5面体。
5月11日1 回复：
朋友，我怎么越来越感到你头脑里一直就固有认为四色猜测就是正确的。有了这种思想你还去证明它干什么，干脆就把它作为一定理去运用不就行了吗。
    现在回答你有些问题：
    1、你四楼的左图，你说是一个五面体，这个五面体实际上就是一个3—棱柱，右图是一个四面体。左图的对偶图（对偶图是图的一种图值函数）就是一个3—菱形体（棱柱与菱形体是一对互对偶图），右图的对偶图仍是四面体（四面体对应的图是4—轮，而轮则是一种自对偶图）。所以说你那两个图本质上是不一样的。
    2、我说你头脑里就固有着猜测是正确的思想，是因为你说了这样一句话：“等价就是说它们的不同不影响其各种有效的动作，任何图都会归于原始状态，如果把它立体化，就是个4面体，而无论从哪个面增加一个面都一样的，都可以平面化成4楼图右边这个状态。”、“4面体无论在哪个面方向增加一个面都是5面体，而这个5面体形状不同是不影响染色的。”和“而4楼左图和右图立体化都可以看成5面体。”我问你，四色问题所研究的是图（平面图）的着色呢，还是只研究多面体的着色呢。多面体化简的结果可能都是四面体，但多面体只是平面图中的一种类型，它并不能代表所有的图，比如一个顶点（K1），一条边（K2），一个三角形（K3），一条道路Pn，一颗星等等等等，它们都是图，但它们却不能化简成一个3—轮（即四面体）。所以说，你头脑中既不要有猜测就是正确的思想，还要从总体出发。不要只看到几个多面体，要看到图的总体或全体。你要了解图论，要知道顶独立集，完全同态，顶点着色三者之间的关系。还要知道图的密度，图值函数，图的运算等。否则……。
3、现在回答你4楼两个图的立体化问题。你说“而4楼左图和右图立体化都可以看成5面体。”这是错误的，这两个图是完全不同的。一，如果图中的无限面（即图中的黑色部分）不当作一个面看待，左图是一个3—棱柱，是一个五面体，而右图是一个4—棱锥，也是一个五面体，右这两个五面体是本质上不相同的五面体，一个是柱，一个是锥；二、如果把无限面也看成是一个面，左图是一个什么图，一下子难以说明，但它的对偶图（是图的一种图值函数，也是一种图，是把图的面作为新的顶点，把图中有边相邻的两个面所对应的新顶点用边连接所构成的图）则是一个在3—菱体的一个菱尖顶点上带有一个悬挂顶点的图，而右图的对偶图也是一个在4—棱锥锥顶顶点上带有一个悬挂顶点的图。这两个图是完全不同的，不论是把它们说成是相同的，或者说是待价的，都是错误的。
                             雷  明
                   二○一一年五月十一日于长安
附5 月9 日我回复名叫“ysr”的网友：
ysr说“对图论无研究,图形种类多无法概括,4色问题有机器证明,就是用计算机做的，要是翻译为数学语言,那恐怕太长,没有概括力不行，我是胡侃，你们玩！！”我认为，多得无法概括，那就用无限多，何必一定要用一个数字来表达呢。难道机器语言不是人给出的吗，既是人给出的，那机器还不是在按人的意志去工作吗。人都不能证明，难道机器能证明吗，机器比人还聪明吗。人没有你说的那么高的概括能力，机器比人聪 明，那么机器为什么不能把它译成数学语言呢。所以说还是人比机器聪明，人能编机器语言（把人的语言译为机器语言），但机器却不能把它的语言译成人的语言，永远也是不可能的。要明白，是人在操作机器，而不是机器在操纵人。雷明，2012,5,9,于长安[q
5 月9 日技术员看了我给他介绍的我的《任意图色数的界》一文后回复我：
雷老师，因为的我数学基础较差，您的文章说实话没有完全看懂，我只看到你说的“同化”，是否与我的“面等价化简”相似呢？
5 月 9 日我回复：
应该说是相似的。我只所以用了任何图化简到最后一定是少于等于四个域或四个顶点，就说明了你的简化与我的同化是相同的念了。不过你是对平面图的“面等价化简”，而我是对你的图的对偶图（也是平面图）的顶点的同化。无论怎么样，必须证明任何图化简的最终结果一定是少于等于四外域或四个顶点。但还不能用具体的图去验证。雷明
5 月11 日技术员一连发来了三个回复：
其一：雷老师，我已经发现4楼的左图和右图的不同，您是对的，我画了下图，您看打有问号的图之间可以等价吗？
其二：我有个猜想：
面数相等的两个凸立方体，不管它们的形状如何，只用4种颜色在它们各个面染色将各面隔开，相对位置相同的面之间可涂成相同颜色。
雷老师，您看能举出反例吗？
其三：雷老师，不知您发现没有，我1楼的面的增加是按自然数形式而递增的，所以如果将其立体化，将包括所有的多面体。
5 月11 日我回复：
朋友，现在回答你今天提出的三个问題：
1、回答你今天提出的第一个问题：若把你图中的黑色面不看成是一个面，左图上下两个图是完全相同的，中图的两个图也是相同的，右图是另外一个图，左中右三图之间没有任何关系。
2、回答你今天提出的第二个问题：四色问题还没有证明是否成立，就最好不要这猜想那猜想了。不光凸多面体（立方体），包括凹多面体，它们都对应着的都是平面图。多面体的面着色就相当于给它们的对偶图（仍是平面图）的顶点着色。我也相信你说的四种颜色一定能把所有的凸多面体着色下来。但现在的问题是要“证明”用四种颜色就够用的问题了。你说的这个所谓猜想本身就包括在四色猜测之内的。所以我说不要一个事还没有进行完，就又想这猜想了那猜想了。
3、回答你今天提出的第三个问题：不是你所说的那样。按你的增加方法，只能是无数个轮形图，即全部是棱锥体，它不能代表所有的多面体。多面体不但有凸多面体，还有凹多面体（这二者统称为简单多面体，因为其对应的图都是连通的平面图），还有对应图是不连通的组合多面体和对应图是非平面图的管状多面体。你所说的图只是简单多面体中的凸多面体的一种类型——棱锥体。棱锥体当然不能代表所有的多面体了。所以你无限增加下去，只能是无数个棱锥体。
4、朋友，要多做点实事，多研究点问题，不要一个问题还没有弄清楚，还没有弄明白，就想这想那的，要扎扎实实的把一个问题研究深，研究透。
雷  明
二○一二年五月十一日于长安
5 月11 日技术员又继续回复我三贴：
其一：我们先不谈猜想，在14楼的？号左边的图为什么不能等价于右边的图？我觉得可以，因为它们用的颜色都是一一对应的，不能随便更换。
其二：还有14楼的图中左边的图和中间的图如果把它们立体化，不管其形状，换个方向来看，是完全相同的。
其三：左图中蓝色大圈相邻3个面，小蓝色圆相邻3个面，红色面相邻4个面，绿色相邻4个面，黄色相邻4个面。
右图中蓝色扇形相邻3个面，小蓝色扇形相邻3个面，红色面相邻4个面，绿色相邻4个面，黄色相邻4个面。
请问雷老师，为什么左图和右图不等价？
5 月11 日我继续回复：
你14楼上面一行的三个图，若仍不计黑色的无限面时，左边的图是一个3—棱柱，中间的图也是一个3—棱柱，都是五面体，其中各有两个三角形面和三个四边形面。而右边的图则是一个4—棱锥，虽然也是一个五面体，但只有一个四边形面，其它的四个面均是三角形，所以它不等于前面两个图。所以在你的问号那里应是不等号。你所画的图都是多面体所对应的图，当然能象你说的所谓“立体化”，而这只是平面图中的一种情况，大量的平面图还是不能“立体化”的，比如只有一个顶点的K1图只是一个点，连“线”的概念都谈不上，更谈不上面的概念，还有什么“立体化”呢。研究图论一般的情况是把多面体平面图化，而不是把平面图“立体化”，你正好与大家研究的方向是相反的，而且证明你的方向是错误的。是平面图中包括着多面体，而不是多面体中包括着平面图，这一点你一定要明白。若把图作为一个集合看待，平面图则是其中的一个子集，更低一层的子集还有连通平面图与多分支平面图（即不连通的平面图）之分。简单多面体则是属于连通的平面图的更低一层的子集；组合多面体则是属于多分支平面图的更低一层的子集合；只有管状体和复杂一点的多面体才属于平面图子集合以外的非平面图子集合。
朋友，我们都是一个非数学专业的业余爱好者，要研究这些难题，的却必须先要打好基础，至少先要有一定的图论知识才有可能。我建议你还是先把有关的图论知识好好的学一学。不然，他们那些不研究难题的业内人士就又找到借口阻止我们研究难题了。
5 月12 日技术员发来三贴回复我：
其一：雷老师您终于承认20楼两图等价了，现在我们就可以讨论14楼问号左边和右边的图是否可以等价的问题了，我这里说的等价是在不影响染色的情况可以视为相等。我用立体化是为了方便解释给你看。我学过图论的，不过学的不深，有些术语忘了，但基本原理是懂的，我还提过一个很深的图论问题在这里，你可以搜一下，至今没人能解答。
其二：我找到了，就这个图论问题，老师有兴趣看一下。
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=9331
其三：雷老师看上图，左图有两种形式的填色，右图有4种形式的填色，其中有2种形式和左图相同，可以说右图的结构包含左图的结构，所以我认为研究右图的染色情况就包含了左图的染色情况。
5 月12 日我回复：
我不理解你所说的“等价是在不影响染色的情况可以视为相等”的含意，也不想再多去理解它，我只知道你画问号两边的两个图不是一个图。我只研究与证明四色猜测有关的问题，其它问题我没有更多的精力和时间去深钻了。你的图论问题我看过了。好象你的公式中的表达有点毛病，不应是1/2n（n－1）≥m≥1/2n（n－5），而好象应是$n（n－1）/2≥m≥n（n－5）/2，我虽不想研究，但我一定是要想一想的。雷明
5 月12 日我又回复：
四色问题的核心是研究平面图的色数，而不是研究某个图有多少种着色模式的问题，这一问题，图论中已有色多项式，用它可以计算出某个图用多少种颜色着色时的着色模式。你所画的两个图一个是3—棱柱，一个是4—棱锥，根本不是同样的多面体，也不是同样的图，所以不存在谁包含谁的问题。
5 月12 日技术员回复我两贴：
其一：雷老师，对的，是n（n－1）/2≥m≥n（n－5）/2，您想一想吧。图与图之间转化只有靠等价来实行，你不想理解就不好说了。
其二：两个图是不一样，但染色方式的确存在包含的关系，这对我的证明很重要，如果你不想讨论，就无法理解我的证明了。
5 月13日我回复：
你24 楼的两排图，左边一排两个都是3—棱柱，右边一排四个都是4—棱锥，左一排是6个顶点5 个面和9条边（棱），右一排是5 个顶点5 个面和8条边（棱），明明是不同的图（多面体），我不明白你为什么要说它们是等价的呢。另外，3—棱柱的色数是4，而4—棱锥的色数则是3，那里能存在谁包含谁的问题呢。如果说有包含关系，那也只能说左图的色数包含了右图的色数，即左边的四种一定包含了右边的三种，怎么能说“研究右图的染色情况就包含了左图的染色情况”呢。你所说的“研究右图的染色情况就包含了左图的染色情况”道底是什么含意呢。本来右边的4—棱锥或者是所有棱数是偶数的棱锥体的色数是3，你却为什么要用四种颜色去给它着色呢，这一点我也弄不明白。要是象你这样说的话，你给色数是4的左图用5 种，6种或更多种颜色染色时，那将会有更多的染色模式存在，那是不是也就得出了左图的染色情况也就包含了右图的染色情况吗。朋友，我们在这里研究的是猜测的证明问题，不是在研究用若干种颜色给某个图的着色模式的问题。雷明
5 月14 日技术员回复：
24楼的两图如果说不等价，就认为它们不等价，但右图在红色和蓝色不变的情况的有且只有4种染色情况，但左图在红色和蓝色不变的情况的有且只有2种染色情况，右图包含了左图的染色情况。也就是说4棱锥包含3棱柱的染色情况。雷老师，我以上描述的对吗？
5 月14 日我回复：
技术员朋友：
你从与我的讨论开始到目前已提出了三个问题，但这三个问题一个也没有向读者讲清楚，不能使人一目了然。
1、首先你提出了任何平面图都可化简为面数不多于4的（或顶点数不多于4）图，可你说明时用的是具体的图，并且也没有说明为什是这样的结果。你这一问题，应该说仍然与猜测本身的提法是相同的。你把几个图化简的结果得到了面数不多于4 的图，也等同于对个别图着色的结果色数不多于4 一样。现在的主要问题是不要用具体的图去证明你的命题是正确的，但你没有做到。你把两个不相邻的面化简为一个面，这正好说明了不相邻的面是可以着上相同的颜色的，其实质与我的同化（同化一词是图论里的术语，可见《图论的例和反例》一书）概念是相同的，顶点着色时，两个不相邻的顶点也是可以着以相同颜色的。你是面着色，我是顶点着色，但由于平面图的对偶图仍是平面图，所以对平面图的面着色也就相当于对其对偶图（也是平面图）的顶点着色，所以我说你的化简与我的同化是相同的概念。
2、你后来又提出了一个等价的问题，什么是等价，如何把两个不同的图看成是等价的，条件是什么，你都没有说明白。等价问题与你第一个化简问题又是什么关系，你也没有说明白。
3、最后你又提出了染色模式的包含问题，什么叫染色情况包含，这又与你前两个问题是什么关系，如何运用，等等这一切，你都没有向读者讲清楚，怎么能理解你的理论呢。光你自已明白是不行的，关键是要大多数的读者都能明白。
雷明，2012,5,14于长安
5 月14 日技术员回复我：
他先画了几个图，然后说：右图在红色和蓝色不变的情况的有且只有4种染色情况，但左图和中图在红色和蓝色不变的情况的有且只有2种染色情况，右图包含了左图和中图的染色情况。也就是说5棱锥包含4棱柱的染色情况。以此类推，雷老师懂我意思了吗？<+
5 月14 日我又回复：
你5月14日的回复中说的，我认为是不对的。你为什么首先固定兰色和红色不动呢，为什么又只变的其它的颜色呢，为什么不只固定一种颜色而变动其他三种颜色呢，或者同时固定三种颜色而只变动一种颜色呢。你总要有个交代，为什么要固定某种颜色，因定几种，变动几种，如何变动。你这样固定某几种颜色，又变化另外的颜色，到底是想说明什么问题呢，没有目的变来变去是为了什么，红黄兰绿只是个颜色符号而已，你用1、2、3、4代表不也是可以的吗，这时你又固定那个，变动那个呢。我不明白你到底是想说明什么问题呢。我昨天已说过，4—棱锥的色数是3，你却用了四种颜色，这是不合适的。为了说明你说的不对，我有意说了左图如果用5色，6 色或更多种颜色染色，着色模式将会更多，那左图不就又包含了右图的染色情况吗。你不要以为3—棱柱只有5 个面，我用6 种或更多种是错了，我是因为你说了3—棱柱和4—棱锥不同的图可以等价，我才这么说的。3—棱柱的面少，不会再换一个更多面的多面体吗。
与你几天来的讨论，给我的感觉是，你现在的思想还很混乱，你对你的问题的表达是条理不清的，没办法让别人能看明白你所说的中心意思是什么。看了你这几天所说的所有内容，很难了解你的中心问题是在说什么，一会儿是化简，一会儿是等价，一会儿又是染色情况包含，弄复我越加糊涂了，我也不知该怎么回复你了。雷明
5 月14 日晚继续回复：
你32楼的的左图是一个什么图呢，其中有两个5—边形面，两个4—边形面，两个3—边形面，这是个4—棱柱吗。4—棱柱的6个面都是4—边形面，为什么这里还有3—边形和5—边形面呢。看一看中图又是一个什么呢，一个5—边形面，两个4—边形面，三个3—边形面，难道这也是一个4—棱柱吗。你把你画的图分析了没有呢，你为什么这么粗心呢。我看这样的问题我也回答不了了。雷明

雷  明
二○一二年五月十五日整理于长安