[讨论]我与一棵小草关于“改进坎泊交换”一文的对话

雷明85639720

这是我与一棵小草在网上的讨论记录。


上面给您的那个调色连还不是我用来作证明用的加点调色法，只是让您体会它有多么麻烦---想变就变，无定法，别人看不懂，只有我自己能看懂。同时这也间接说明了由于方法不同，是可以避免产生通到v的链，使点1由r改为g的。
真正用到“加点调色”，您一试就感觉出来它的作用了。那是谁都能做到的事！
3月7日，我回复：
朋友，请注意：
1、有两条交叉链的链长都是大于1的。
2、不对具体的图，你在某一个边上增加一个顶点，并用不同于该边两端点顶点所着的颜色着上（如r），然后再变动该边任一端点顶点的颜色，使该边两端成为同一颜色。这时你认为就空出了一种颜色（g或b），但你想没有想到，这个增加的顶点（已着r）在具体的图中，有没有可能以别的链的形式，又连通到v呢，我好象在那次回复中已经提出了这一问题，不知你注意了没有。
3、你既是随意的交换的，那么就不能叫做坎泊方法的改进，因为你这种所谓方法不能用因定的文字格式来描述它。
4、你很随便的就能对赫渥特图进行4—着色，说明了该图是4—可着色的，并且是容易着色的。但我们的著有图论书的大数学家却只说该图不是不可4—着色，但却没有一个人认真的去着一着，看是不是能4—色；他们是不是明明能对其进行4—着色却有意的不向书上写呢；不知他们道底是在想干什么。他们如果把这个图进行了4—着色，那他们就无法说明赫渥特否定坎泊就是对的了，赫渥特肯定就是错的了。他们总是抱着一个信条，前人说过的，写到书上的东西就一定是对的，认为它不对就是大逆不道。启不知早就已经有了赫渥特“否定”坎泊的一事实了。所以他们干脆就只说能四着色，而不给出实例，也不说四色猜测就是错的，同时还能说明赫渥特对坎泊的否定是对的，这不是两全其美吗。
                                 雷明，2012,3,7,
3月7日，一棵小草回复：
雷明，你好：
先回复第4条。我记得已回复过这个内容。大数学家的观点没有错：该图不是不可4--着色。他们也不是没有人认真的着一着，如果不着怎么能说“不是不可4--着色”呢？我个人认为，他们也是随意着一着；采用的方法各不相同，甚至有可能把原来图的着色都去掉，自己随意去着----果然是四色。然后才敢写上“不是不可4--着色”！但是他们是不会用肯泊的方法四着色的。他们的方法（不用肯泊的方法虽然行得通）写出来没有任何价值，怎么能写出来呢？他们若这样做了，岂不让人笑掉大牙！因为他们已看出来，希伍德反例图本身证明了【用肯泊的方法】是不行的（1-4及3-5交换）。大数学家用自己的方法给反例图4--着色也不能改变希伍德否定肯泊的对错！
回复第3条：请看下面， 观察图中的二色链:2（b)至4（g)及2（b）至5（y)。1）如果有一条二色链是不连通的，则立即可调出一对同色；与原有的一对同色及另一单色使五邻点构成三色，可空出一色給待着色顶点。2）如果这两条中有一条是连通的，则可不必去看另一条的情况。在连通的这条链上，从某个端点起的第一条边上取（重新找）一点，着上与边的端点（如b、g）不同的第三色，然后将这个端点的颜色（如b)调为另一个端点的颜色-----重新制造出一对同色(如gg)！最后，使五邻点着三色(如r、g、y)，空出四色中的一色（如b)给待着色顶点。这里哪有随意性？你知道我是怎样受到您的启发的吗？因为我没有认识到“一个点”也是一条“特殊的链”。严格地说一个点不是链。但是视为特殊未尝不可！我看中了它的作用----改变交换方向 。肯泊原来只对不连通二色链去交换，现在因受您的这一启发---有办法了----可以对【连通的二色链】交换了！
回复第2条：又连通到v?不可能！怎么能考虑到v呢！
3月8日，我回复：
朋友，你好！
1、既然“他们是不会用肯泊的方法四着色的。他们的方法（不用肯泊的方法虽然行得通）写出来没有任何价值，怎么能写出来呢？他们若这样做了，岂不让人笑掉大牙！因为他们已看出来，希伍德反例图本身证明了【用肯泊的方法】是不行的（1-4及3-5交换）。大数学家用自己的方法给反例图4--着色也不能改变希伍德否定肯泊的对错！”那么你现在随意的给H—图进行4—着色，又能说明什么问题呢，还不是说明了H—图是能够4—着色的吗。他们在书中写上一个实例也不就进一步证明了“该图不是不可4—着色”的结论是正确的吗，可为什么这么容易做到的事却又都做不到呢。你现在把你的着色写了出来，用你的话说，不也是“岂不让人笑掉大牙！”吗。难道你、我，还有别人，在赫渥特着色的基础上，仍用坎泊的颜色交换法对其进行了4—着色，还不能说明赫渥特是错的吗，为什么你也要随着大流仍抱着一个信条不放呢。不用坎泊的方法，用别的方法只要能证明猜测是正确还是错误也不是不可以的，为什么还非得用坎泊的方法呢。赫渥特说坎泊的方法行不通，难道就不再去研究别的方法了吗。我还认为我的方法，既能对H—图进行4—着色，又用的是坎泊的颜色交换技术，把坎泊没有进行证明的一种特殊情况进行了4—着色，说明了5 —轮构形也是所谓的“可约”构形，能够得出四色猜测是正确的结论。
2、你说“回复第2条：又连通到v?不可能！怎么能考虑到v呢！”我想不能这么简单的回答，你要有证明才可以，没有考虑到就是不对嘛，不去考虑更是不对的。我认为你的结论是不对的。现在就用你所引用的H—图来说明，你图中有“2（兰b）—10（黄y）—3（红r）链（或“2（兰b）—9（绿g）—16（红r）—25（绿g）—19（红r）—7（绿g）—1（红r）链”），当你把顶点10（黄y）改成10（红r）时，是不是要继续把顶点3（红r）又要改成3（黄y）呢，5 —轮的5 个轮沿顶点仍是用了4 种颜色，这能空出来颜色吗。同样你若把顶点9（绿g）改成9（红r），也将会产生一条“9（红r）—16（绿g）—25（红r）—19（绿g）—7（红r）—1（绿g）链，顶点1又成了绿（g）色，与顶点v邻接的5 个顶点仍然是用了4 种颜色，你能空出颜色给v吗。不过这样一来，虽然图中仍没有空出颜色给v，但却使图中再不存在两条相交叉的连通链了，为下一步的交换，空出颜色给v又打下了基础，你可以再试着交换一次。所以我说在这种有两条相交叉的连通链存在的情况下，第一步必须是破坏该链的连通性或者交叉性，再进行一次别的交换才能空出颜色给v，这就是这种特殊情况下的解决办法。也是对砍泊证明中不足的补充的完善。
3、你这种对某条链不交换到底，而是在交换之中又突然停止，改用别的交换的办法，只能说是你现在对坎泊的颜色交换技术运用得非常灵活，也只能说明H—图是可以4—着色的。而不能说明赫渥特对坎泊的证明的否定是错误的。赫渥特说按交换两条关于红（r）色色链的交换行不通，行不通非得要一条死胡洞钻到底吗，不能再找别的交换办法吗。现在这种办法已经找到了，不就说明了赫渥特是错的了吗。
                        雷明，2012,3,8
3月8日，一棵小草当天回复：
雷明朋友，你好：我的这一篇文章主要是从一般性（最上面的图）出发，对改进的方法（叫不叫改进是另一回事）进行证明！写出来的方法是“在该链上从端点2（b)起的第一条边（2--9）上取一点并着与b和g皆不同的第三色---r色，随即将端点2的b色改为g色，......”这是结合反例图举例子。看清楚，这是在2--9的边上重新找点。我只是在文后的交流中给出了调色链，那里接25漏掉了19（g)；这链没有在边上取点！我不承认这是肯泊的方法（我已经表示过不争论这些了），我想，您是能感觉出来的。我并不主张研究反例图四着色，因为这并不是个问题！也没有人说它不能4--着色。在图论中出现反例图，那是作为证明肯泊的方法行不通，肯本人已承认这一点！您的连续发表已引证详实的资料说明了这一点。很早我们就交流过。通过对您的文章的学习，我一次又一次看到图论著作者对肯泊的第二情形没有证明提出质疑，并说这也是肯泊失败的地方！不搞清什么是肯泊的方法怎么去完善它？给反例图四着色这本身不能说希伍德是错的、也不能说他是对的。不用肯泊的方法现在先不谈（我文章已写下伏笔）。摆在我们面前的困难是如何对一般情形（五邻点四着色转化为三着色）给出证明，不是对一个具体图去着色。您想，我为什么用“岂不让人笑掉大牙”来说这件事？您在图论的书上是不会见到大数学家写出反例图的四着色的。我既然认识到了，我为什么不告诉我的朋友呢！
您把2）使用的调色链（这里将两步并作一步）改过来。也就是：2(g)--9(r)--16(g)--25 (r)--19(g)--7(b)--1(仍r)；原图中的已给出的一对同色点为什么不用？！
最后一点，您和我及其他人都在找办法，我不反对。您说的先破链再交换，若能对一般的图都好用，那就是成功的办法；只对希伍德反例图好用还不算成功。如何把特殊情况下的办法过渡到一般情况，那是需要改进的。
我说肯泊的方法有深远意义，就是在历史条件的局限下又不能用归纳法，在这种情况下，他的方法是非常精妙的。他选取的两种情形，是很有艺术的。请您对照现有的归纳法程序想一想，也许会对您认识问题有帮助。让您见笑了。
3月8日，我继续回复：
朋友：
1、H—图能够4—着色，我们已统一了认识，也不必要再在如何对其进行4—着色上争论了，但我为了对你的观点提出不同的看法，我不去用具体的图行吗，我已用了具体H—图，你还都不肯接受，我还敢不具体吗；
2、什么是坎泊交换技术，我认为就是在一条由两种颜色够成的链上把两种颜色相互交换一下位置。至于从什么地方开始起进行交换，以及是否把一条链一直交换完毕，中间是否可以再改换成对别的链的交换，这都是由着色人自已进行的，不一定强求非一定要怎么做。但任何人给图着色时，都是少不了要用这一交换方法的，比如说阿贝尔也就是用了坎泊的颜色交换技术的。坎泊不但提出了颜色交换技术，同时也提出了“交替”着色法，就是在要所着色的道路中，要用两种颜色交替去着色，中途不增加第三种颜色，除非该道路是一条奇数个顶点的回路（即圈）。看似简单，可不按它进行，可能就会多用颜色数的；
3、你的所谓改进，是在连通链上任找一点，着上不同于该链的另一颜色，然后再对该链的一侧进行交换，然后再对我所说的另一条链进行交换，但又不进行到底，中途又改另一种交换，所以就产生了一个2(绿g)--9(红r)--16(绿g)--25 (红r)--19(绿g)--7(兰b)--1(仍红r)链（按我上一回复中交换到底则是2(绿g)--9(红r)--16(绿g)--25 (红r)--19(绿g)--7(红r)--1(绿g)链），你的办法的确也空出了一种颜色给v。你这样我也就没有什么可说的了。但你这种换来换去，只能是你自已明白，别人——阅读的人是不会明白的。你这样办，只能是对某图着色时是可以的，作为一种严密的证明还是不行的，好象还得要交代什么似的。
4、你在把9（绿g）改成9（红r）时，这实际上也是在进行着一种关红（r）—绿链的交换，可你这一交换并没有进行到底，而是到了顶点7（g）时，突然变成了红（r）—兰（b）链的交换，并且也只是进行了这一个顶点的交换，使顶点7着上了兰（b），而不再交换下去了（又停了）。然后，再从2（兰b）起进行交换兰（b）—绿（g）链（该链也只有一个顶点2）,使成2（绿g）。接着就应说明从9（绿g）开始对红（r）—绿（g）链进行交换时，不要进行到底（因为到底后的确是空不出颜色的），中途可以改变成交换另的链。否则别人就会用你画的图来否定你的。要知道否定一个命题只要有一个例子就可以了。
5、是的，你说你作为证明不用具体的图，要有代表性，但对我所提的问题，你认为是“不可能”的，却未进行证明。这不光是我，只要是认真的研究你的文章的人，都会提出这样的问题的。我要对你的方法提出问题，提出不同的意见，我必须要用具体进行说明，要不然你一定会要我举出实例来的，所以我不用具体的图是不行的。正象我说的既然大家都认为H—图是4—可着色的，为什么那么多写书的“巨人”没有人能给出一个实例一样（文献上只有近年来许寿椿教授才给出了一个实例）。象你说的大家都会给H—图4—着色，“他们的方法（不用肯泊的方法虽然行得通）写出来没有任何价值，怎么能写出来呢？他们若这样做了，岂不让人笑掉大牙！”难道许教授就不怕这些吗，难道许教授的书都没有价值吗，你是不是也在笑话许教授呢。
6、关于什么是坎泊交换，我们的看法看来是不同的，我认为交换从那里开始都没有什么关系，只要是对某链中的颜色进行交换就是坎泊交换；而你可能认为坎泊的交换就是只从5—轮的轮沿顶点开始进行交换，从别的地方开始进行交换，你就认为不是坎泊的交换了，是自已创造的方法。我认为你这种看法是不对的，因为无论从那里开始，其交换的实质都是相同的，都是把某条链中的两种颜色进行交换。
7、我的论文中已经有了5—轮在有两条既连通又相交叉的链的一般证明方法，不知你看了没有，那里用的就不是具体的图，你所引用的我连续发表的四十二中的图，也是一个5—轮在有两条既连通又相交叉的链的情况下的一个4—着色的例子。希望你能对此提出意见。你的方法其实质也是在先从别的顶点（非5—轮轮沿上的顶点）把连通链变成不通，然后再从轮轮沿上的顶点进行交换，才空出颜色的。你的过程实质上还是在使用着坎泊的颜色交换技术。我的交换也是从一个非5—轮轮沿上的顶点（两链的交叉顶点）开始的，以达到两链的不连通，然后也是再从5—轮轮沿上的顶点进行交换最后空出颜色给v的。其中的关键问题都是要想办法把连通链变得不连通。
8、我们两个只所以能交换得来，主要是因为我看到你很虚心，没有看到你象别人那样，大吵大闹，宣称自已解决了难题，什么第一个，悬赏多少万元，要别人从中挑毛病等等。说实话，我对这些人的文章几乎没有进行过任何评论，而对于你的文章，只要发现我认为是有毛病的地方，我一定是会发贴与你交换的。只是我有时语言生硬一点，直来直去，说了过头的话，请你谅解。我想你一定是在网上没有发现我自吹自擂的语句的。
9、网上认识你，很好，我们也能交换得来，能说到一起去，我也很高兴。我也希望我们以后继续的交流下去，这对我们都是一个提高。我关于对待研究四色猜测的看法，我想你已经看过了我给黎明先生的信的，一定也是了解了的。所以我是不会象有些人那样自吹自擂的，但对于一些不谈具体问题，只要看见了别人在研究四色问题，就一概否定别人的人，我是一定要给以还击的。
10、是否我俩关于你的《改进》一文的辨论就可以到此结束。
                                雷明，2012,3,8
3月9日，一棵小草回复：
雷明朋友：您看，我们的观点有些本来是不同的，为什么能说得来？在我本人来说，我不为面子，只为四色真理！我没有自吹的理由，在科学目前我仅仅是一个学生。我之所以不厌其烦地把我的观点、特别是认识到是对的观点讲给您，就是要不被别人笑话我们！我之所以严谨地做学问，读您的文章；是因为您确实给我解决了疑难------启发了我。
还有一个原因，我觉得过去说过的好像您有“没有搞懂的地方”----这是我的感觉。如：什么是反例，它有什么作用？“是肯泊证明方法的反例”是什么意思？对同一句话理解的出入造成很大的偏离。它直接影响了我们的交流。
关于许教授的一个四着色实例问题，好像我看过：大概是他用计算机来给出的吧！在哪？您的文章中有吗？
您让我看的那部分，回头就看去。
3月11日，一查小草回答：
雷鸣朋友：不是不回答，回答的方式不一样。您认为可以连通到v,我则认为5邻点都不能让它到。那得需要加以控制呀。您说的情形并不是必然的结果。当您用我给您的调色链后，您又感动如何？疑问消失了吧。您是希伍德反例图的研究者，看我的调色链都感到：说变就变，没有规律可寻。您想别人哪能看得懂呢？为了解决这样纇似的问题，现在我告诉您：加点，然后调色；或两步合并边调边加，只改动两个点，您看简单不？由于它不只是对付反例图，还可以对付其他的图。因此就有了用处了！
这个方法可以理解为加辅助点法。但加的点不能去掉！
3月11日，一棵小草又回答：
雷明朋友：回复第3、4点。正因为如此方法作为严密的证明还是不行的，又加之换来换去别人看不明白，所以要想克复这一弊端必须：加点、调色！这就是我改进的道理！
3月12日，一棵小草又回复：
雷明，你好：回答第5点，我用举出的调色链已经回答；
回答第6点，看法不同是正常的，但是它影响后续解决的问题。
在回答第7点，这又联系到第6点了，还是“不争论”。我同意您的看法。
3月13日，一棵小草（刘福）回复我：
为什么必须去证明：图的5邻点4着色可调色为3着色。因为这相当于归纳法的第二步，在肯泊当年受图论知识的局限，这一思想基于不可避免集的约束下，具有很高的艺术性。解决了这一问题，就可以用较少的知识去证明较难的四色问题！
3月14日，我回复：
坎泊交换的目的也是为了把与v邻接的顶点由已着上的4种颜色变成3种，空出一种颜色给v着上，特别是对于5—轮构形更是要求要能做到这一点，可惜的是坎泊当年只把5—轮构形外有两条连通的、但不相交叉的链交换成功，而却没有把5—轮构形外有两条连通的、并且相交叉的链没有交换成功，这就让赫渥特指出了这一漏洞，并且坎泊对赫渥特的图也不能进行4—着色，所以他也就只能承认自已是“弄错了”。但我们现在对坎泊不能交换的这一情况不但能交换成功，空出一种颜色给v，而且也能给赫渥特的图进行4—着色，这当然可以说是对坎泊证明的一个补充和完善。雷明，2012,3,14
3月14日，我回复一棵小草：
一棵小草又发表了他的对《改进》的《解读》，其中用了我所画的图进行举例，所以我回复：
朋友，你把我画的赫渥特图中的顶点8改成了b色，实际上这就是从两交叉链的交叉点（顶点8）开始进行b—r链的交换，这样一交换，原来的两条既连通又相交叉的链就变成了既不连通，也不相交叉了吗，你再把顶点5改成b，空出g的过程不就是还是在进行一次b—g链的交换吗，这与我说的方法是完全相同嘛。你只不过是叫法不同而已，我不认为这是对坎泊方法的改进，如果是改进我早就这样叫了。雷明，2012,3,14，
3月14日，一棵小草回复：
雷明：我看了：你把我画的赫渥特图中的顶点8改成了b【应为r】色，实际上这就是从两交叉链的交叉点（顶点8）开始进行b—r链的交换，这样一交换，原来的两条既连通又相交叉的链就变成了既不连通，也不相交叉了吗，你再把顶点5【应为4】改成b，空出g的过程不就是还是在进行一次b—g链的交换吗，这与我说的方法是完全相同嘛。【我并没有这样去调色！】你只不过是叫法不同而已【我叫加点调色】，我不认为这是对坎泊方法的改进，如果是改进我早就这样叫了。雷明，2012,3，14
如果说，您对自己的方法也不认为是对肯泊方法的改进，那我认为我的“加点调色”法更没有理由叫肯泊方法的改进。那就暂时叫加点调色吧！
我写出文章的目的，是征求大家的检验：加点法是否可用？有什么优缺点。
3月14 日，我回复：
你改了我评论的两处错，是对的，一是顶点8应是由b色改成了r色，二是把顶点4（不是5）由g色改成了b色，空出g色给v。但实际上把顶点5由y色改成b色，也就空出了y色给v了。这是相同的道理，你也不要说你“并没有这样去调色！”两种方法都是可以空出颜色给v的。我认为不需要“加点”就可以通过“调色”，也就是通过坎泊的颜色交换技术，破坏两链的交叉性与连通性，就可达到再从5—轮的轮沿顶点进行一次交换即可空出一种颜色的目的。这里所用的方法并没有跑出坎泊创造的颜色交换技术，所以我认为不应该用什么改进之类的词语。雷明2012,3,14
3月15日，一棵小草：
雷明你好：您的方法完全能给反例图四着色，这是无疑的。请问：用您的方法能去证明5邻点四着色可以转化为3着色吗？
3月15日，我回复：
一棵小草，我决没有说你是抄我之意，我只是说你那样交换的过程及结果与我的方法的过程和结果都是完全一样的，包括交换的起始顶点都是相同的。其目的都是达到了破坏两链的交叉性与连通性的目的嘛。至于我的证明，可能是你还没有看到，你可以看看我的《赫渥特图的4—着色》（连续发表上已有），看我的方法和你的方法是不是一模一样的，看我的着色模式中有没有你那个模式。另一个是看看我有关的5—轮构形的4—着色（在连续发表中也有），就是用一般方法证明5—轮的可约性的，用的就不是具体图。其实你看的续发表之四十二也是证明5—轮构形是可以4—着色的方法。我想我这个办法比你的简单，还能写成文字来叙述，启不更好吗。这个方法的实质还是破坏两链的交叉性与连通性，起点仍是两链的交叉顶点。雷明，2012,3,15
3月16日，一棵小草回复：
雷明你好：我看了您的5轮构形的4-着色，您说的“用的就不是具体图”是指图2那三个图吧!我怎么就看不出它“不是具体图”呢？请您用我的这篇文章中的图4来代替“不是具体图”，把您的方法写在下面。
3月16日，我回复：
朋友，你如果认为我用的图是就具体的图那也没办法了，我只能再次给你说一下，我用的图中除了中间的5—轮（也可以只画出5—度顶点，不画轮沿上的边）是具体的外，其他的在5—轮以外的那两条相交叉且连通的链其上可以有很多的顶点，只是图中没有画出来罢了。我所画的图实际上与李建中译的书中的那个5—星是相同的图，都是一个一般的图而不是具体的。可李书中作者不能对其进行4—着色，认为是一个反例，然而该图的确是可以4—着色的，当然就不能再说是反例了呀。雷明，2012,3,16,
3月17日，回复我：
雷明：截至目前您介绍出来的李建中书的图都属具体图之类，它都不能作为“证明”5邻区域所使用，只能用来作检验用。
3月14日，一棵小草留言：
雷明，你好：很满意，谢谢您。我在网上看【图论的例和反例】在图1.12.3的反例后面的括号中有"Heawood1890;Saaty1972"字样，可估计出这本书是较早的。雷明同志，这说明到1976年计算机给出四色证明的时候，关于5邻点（肯泊坚信那一段话）的问题还没有人给出证明！这是很好的信息。图论的著作者只是指出了这个问题而已！回过头来再看【例】的第10 页，在谈到用于解决四色问题的方法时 ，在引出5邻点那段话前的冒号之前“证明”两字就加了引号。这是该书潜在地指出肯泊坚信的那段话需要给出证明。希望我们都不要望风捕影，脚踏实地开拓我们的研究视野。
3月14日，一棵小草又留言：
雷明你好：在研究中也不要迷信书本。你比如，您的之42中，第4部分说到李建中翻译的【导引】书中的“图4-4，d”明显不是反例！可译出来的是反例。您已用您过去的方法证明了它是4色的。
3月16日，我回复：
朋友：
你的留言中说我的之42 中的问题，我还还明白是什么意思，书作者把那个5—轮不能4—着色，认为是一个反例，而我已对它进行了4—着色，当然它就不是反例了呀。他不能4—着色，不等于别人也不能4—着色。我本来就没有迷信他那本书，而是指出他是错的，为什么你又说要我“在研究中也不要迷信书本”呢。
再前一个留言中，你说到“希望我们都不要望风捕影，脚踏实地开拓我们的研究视野。”这主要是指什么呢，是不是我又是迷信了书本呢。至于坎泊的“坚信”，也不能说不正确，只是他当时没有给出证明罢了，我们现在给出证明还不行吗，这难道不是对砍泊的证明的补充和完善吗。雷明，2012,3,16,
3月17日，一棵小草回复我：
雷明，你好：我承认您肯定不会迷信书本的。我的用意是提醒您一定要看懂原书上是在说是“什么（方面的）反例”？我以我的知识来看，那个图既不是肯泊证明的反例、当然也不是四色的反例！我没有这本书，希望您看好书！您准书上说的是什么反例后，告诉我；然后我再进一步学习，发表见解（前留言的看法是初步的，认为该图论著作者的专业水平值得怀疑）。
您说肯泊坚信的（那段话）是对还是错？
3月17日，我再次回复一棵小草：
朋友：
1、严格的说，李建中所译《导引》中把5—轮画成5—星是错误的，因为星的着色的却两种颜色就够用了，而轮却必须是要至少三种或四种的。如果按他画的那个图，只要把该5—星中着有1、3和4的任何一个非中心顶点改成2 色，就可以空出一种颜色给中心顶点v，因为非中心顶点的星点是互不相邻的。
2、关于我用一般的图（非具体图）对5—轮能够4—着色的证明，请见我的连续发表之48（也可以在《数学中国》网上同样找到，也是之48，这是我的《四色问题与欧拉公式》中的第43节《对赫渥特图的分析》一节）中的第6个问题《5—轮构形可约性的证明》一段。可约性我的理解就是可4—着色。在这里，你说的那三个图是一步步得到的：开始只有5—轮，没有任何连通链；第2 步是只有一条连通链；第3 步是有两条连通链：这里面又分两种情况，一种是由顶点1——4构成的连通链和由顶点3——5构成的连通链相互交叉，只有一个交叉点；二是由顶点2——4构成的连通链和由顶点2——5构成的连通链，这里又有两种情况：一是两链只有一个交叉顶点2，二是链有两个交叉顶点。这第二种情况就是我们所说的坎泊“坚信”能空出颜色但却没有给出证明的一种，后来就叫赫渥特找出了他证明中存在的“漏洞”。至于你说到的那三个图，则是在上面的第二种情况下增加了某些条件后而得到的，应该说不是具体的图。
3、我的方法主要是要破坏链的交叉与连通，从而为空出颜色给v创条件。我这一方法的关链就是找出两链的交叉点，从该点开始进行一次交换，就可破坏两链的交叉性与连通性。这一方法，我已用上面的几句话说得很明白了，不但自已知道如何做，而且别人看了后也知道该怎么做。
4、我看，这个问题我们两个从此就不要再讨论了，反正不管怎么样，大家都能把坎泊没有证明的第二种情况4—着色就行了，最终都达到了同一个目的，各人的方法不同完全是可以的。
雷明，2012,3,17于长安
3月17日，一棵小草回复：
雷明，你好：图中一定存在交叉链吗？
同意第4条。
3月17日，我回复：
图中几乎所有的道路都是相交的。链，这里是指的两种颜色交替着色的道路，对于已用四种颜色着了色，但只有一个顶点未着上已用过的四种颜色之一的图来说，这时的图中当然不一定都存在交叉链。但这种有交叉链的情况一定是会存在的，要解决这一情况下的未着色顶点的着色，就必须要破坏两链的交叉性及连通性。当然了，你的方法只是破坏了其中的一条也是可以的，但你的方法很难用文字把它很好的表述出来，只你知道怎么做，别人是难以想到的。雷明，3,17,
3月17日，一棵小草回复：
雷明，你好：如是说：【这时的图中当然不一定都存在交叉链。但这种有交叉链的情况一定是会存在的】，到底一个图有没有交叉链？没有，你怎么办？
我会让您学会的，所以以前我采用反例图来举例，不会给反例图四着色的人是看不明白我的方法的！您能看明白，但不要老往交叉链上联想（虽然能办到），这样才能更好地读懂。您看，这网上别人没有来看的。
3月17日，我回复：
没有交叉链那不是更好着色了吗，坎泊不是早已证明了吗。难道还非得要有交叉链不成吗。一个只有一个顶点未着色的图中，可能会有交叉链，也可能会没有，两种情况都有可能存在。遇到什么情况，就用什么样的方法解决，灵活的处理，各有各的办法。按你的方法，难道本来只有一条连通的色链，你也非要把它也断开不成吗，难道坎泊以前证明过的方法就不能使用了吗。雷明，3,17,
3月18日，一棵小草留言：
雷明，你好：谢谢您这种认真的精神。学习是互相的，与您交流确实有一种良师益友的感觉。这说明图论著作者为什么不写出具体着色过程的原由。
3月18日，我回复：
谢谢，我们的确是在相互学习。雷明
3月18日，一棵小草发表了《加点调色法》，我当天回复如下：
3月18日，我回复：
很好。是一种方法，具体的说应是一次只交换一个顶点，然后具体再看该交换那个顶点，最且总能遇到待着色顶点外只着了三种颜色的情况，因为平面图中至少要有一个顶点的度是小于等于5的。我把这一方法叫做“破圈着色法”，即破了待着色顶点v外的一个色圈，把这个顶点已着的颜色给v着上，又产生了一个新的待着色顶点，继续把这个待着色顶点外的色圈破掉，给新的待着色顶点着上，如此反复进行，总能找到一个新的待着色顶点外的色圈是只用了三种颜色的，这时就把第四种颜色给最后一个待着色顶点着上即可。这只能是一种着色的方法而已，不能叫做证明。因为这一着色方法，是应用了任何平面图中至少有一个顶点的度是小于等于5 的这一特征，但问题是度为5的待着色顶点，现在还是需要进一步证明是可约的，然后才能应用这一特征。这一着色方法请见我连续发表的之五十二，是《如何给具体图着色》一节中的第六个小问题“破圈着色法”。雷明，3,18,
３月19，一棵小草回复：
雷明：我学习了您的破圈法。谢谢。上贴您说“但问题是度为5的待着色顶点，【现在还是需要进一步证明是可约的】，然后才能应用这一特征。”请问，如何去证明【......】？
3月19日，我回复一棵小草：
请看我连续发表的之四十八《对赫渥特图的分析》一节中的第５、第６个小问题。这个我好象前两天回复你时已给你说了的，不知你看了没有。雷明３,１９,
3月20日，一棵小草回复我：
雷明同志：多次交流，总感到我们彼此有些概念互不相通。致使沟通受阻。堆积下去没有益处。我首先表态，本人不计较面子。尤其是您感到我的错误的地方，就马上指出来。就事论事，集中解决；然后再继续。
这一次我写的方法就是为了让您看懂。首先，我选了一个您画的图，但我指出只看那些点。因为我的方法若是涉及指出以外的很多点，那就失去了“新方法”（因为之前已了解您的破圈法）的意义了。您先不比联想您的方法（找机会专门沟通）。您看原理，心中想那5个点的颜色“数”；再看将2(b)调为g色，使用了您的什么思想（过去我说过）。现在达到了什么结果---不是5邻点3着色吗！这就是方法本身。至于下面加的那个点，是利用逻辑的力量：1，若没有从2开始的b--g链则不加点；2，因为不是没有就是有b--g链，有这链出现矛盾，故加点就解决了。
我的方法就是这样产生的。您先把方法看明白，然后再说。为什么再说呢？因为后面涉及到什么是证明？证明5邻点怎样证明？如果我涉及到5点外的许多，实际上哪怕一个点都会被指控为并不能算作证明5邻点！您看【数学证明】肯泊的第二情形用的图，为什么只画a 、b、 a、 c 、d 那几个点！
最后希望对方法提出批评意见。
3月20日，我回复：
我说过了，我证明5—轮构形是“可约的”时用的图不是具体图，除了5—轮的6个顶点是不可变的外，其它的顶点全是不固定的。雷明，3,20,
3月21日，一棵小草留言：
雷明：“图4—19，e中也有两条连通且相交叉的对角链b—g和b—y，交叉顶点也着b色，【只能】从交叉顶点2开始进行b—r的交换，也使图中不再存在连通链，再进行一次别的链的交换后，也可空出一种颜色给V着上。”1），依您的【只能】，下一步是什么？2），假设你的图4--19全部“不是具体图”，其中图e必代表某一类图，请指出类中的一个图来（可以写标号）。3），7个图是相互独立的吗？
3月21日，我回复：
“图4—19，e中也有两条连通且相交叉的对角链b—g和b—y，交叉顶点也着b色，只能从交叉顶点2开始进行b—r的交换，也使图中不再存在连通链，再进行一次别的链的交换后，也可空出一种颜色给V着上。”这不明白的说“空出”了“一种颜色给V着上”了吗，还要有什么“下一步”呢。不用“只能”用“也可”也可以。因为前边的图4—19，d中就是从两链的交叉点开始交换的，所以改用“也可”能通顺一点。但你这里指出的没有在点子上，关键的错误你没有指出来，而只说了枝节问题。图4—19，d的图我有点画错了，它的述应该是“图4—19，d中有两条连通且相交叉的对角链r—g和r—y，交叉顶点着r色，可从顶点2或5（或顶点2或4）开始进行b—y或（b—g）链的交换，即可空出b或y（或b或g）给v着上；也可两链相交叉的顶点r开始进行b—r链的交换，使图中不再存在连能链，再进行一次别的链的交换后，也可空出一种颜色给V着上。”图上应在两连通的中部各增加一个顶点，分别着色为g和y，把两链的交叉点的颜色由b改成r就对了。谢谢你提醒了我。我已在我的文搞中改了过来。
那七个图是从5—轮构形开始，一步一步分析而得到的，是在5—轮构形外面可能存在的各种情况，有联系也没有联系，是具体图又不是具体图，你认为它是什么就是什么，反正加上原文后边还有的几种可能外，5—轮构形外面可能存在已着色顶点链的相互关系的情况就再也没有了。
雷明，3,21,
3月22日，一棵小草回复：
雷明：“图4—19，e中也有两条连通且相交叉的对角链b—g和b—y，交叉顶点也着b色，【只能】从交叉顶点2开始进行b—r的交换，也使图中不再存在连通链，再进行一次别的链的交换后，也可空出一种颜色给V着上。”1），依您的【只能】，下一步是什么？具体交换什么链，请您写出来。2），假设你的图4--19全部“不是具体图”，其中图e必代表某一类图，请指出类中的一个图来（可以写标号）。  
3月22日，一棵小草又回复：
图4—19，e......“也使图中不再存在连通链" 能办到吗？下一步呢？意思是说“具体怎样交换”，请您写出来。请教请教，我不会不能装会。劳驾您了！又让您见笑了。我很关心e图的同类图，哪怕给我指出一个也行。尤其今天看到您的图又是具体图又不是具体图，我就更找不到北了。您这样去画图，能覆盖完全吗？我又怎样找原因说服您。
3月23日，我回复：
请你不要认为从顶点2到顶点4的b—g和从顶点2 到顶点5的b—y只是一条边，这里是指一条链，因为它不是一个具体的图。这样从顶点2 进行b—r链的交换后，图中不就不再存在交叉链了吗，下一步交换什么你是非常清楚的。
同一天我又回复：
图4—19，e不就是代表了能够通过两次交换关于r的链（r—g和r—y），空出r给v着上的一类图吗，这种方法坎泊和赫渥特是早就会用的。但该两条链如果是有两个以上的交叉顶点时，坎泊和赫渥特就都不会给v着色了，于是才有了赫渥特否定坎泊的事，也才有坎泊承认自已“弄错了”的事，也才有赫渥特的所谓的“五色定理”。目前我们不就是在对坎泊与赫渥特都不能解决的问题在进行研究吗，我们不是已经解决了这一类图的着色了吗。我说我的图不是具体图，你硬要说是具体的。你这样一来，把本来我说是链的2—4和2—5就看成了是一条边，当然就会产生你三番五次的问我“第二步”该怎么办的事了。
3月23日，一棵小草回复：
雷明：我看了您3月18日的评论，接着又去看您的【之52】。谢谢您的理解。使我不理解的是，我的方法本没有那么复杂，您却理解成了“破圈法”，您的破圈法还需要涉及到一系列的点，您不觉得太麻烦了吗！您把“破圈法”说成是着色方法。请问：有谁还在用这种方法给一个图（已都着了四色，只一个顶点待着色）去着色呢！
不过，我看您的文章是有耐心的。先把方法学到手，然后再讨论。否则没有共同语言，怎么交流？只能是交而不流！
您认为我的方法真的如“破圈法”一样吗？
3月23日，一棵小草又发一贴：
雷明（超字数了）：
图4—19，e......对只从2进行的b--r交换后"也使图中不再存在连通链" 我看后存在疑问：----能办到吗？连通不是照样存在吗！上贴中“下一步呢？”，意思是说该“具体怎样交换”？请您写出来。请教请教，我不会不能装会。劳驾您了！又让您见笑了。我很关心e图的同类图，哪怕给我指出一个也行。尤其今天看到您的图又是具体图又不是具体图，我就更找不到北了。您这样去画图，能覆盖完全吗？我又怎样找原因去说服您呢？！
至于图d，您自己看出了有毛病。那是您有自知之明，可不能算是我的提醒！我已经在第一时间改过来了。
当我顺便看到您对该文的最初评论时，觉得您好像没有看完似的。您的脑子里是否让“破圈法”给站满了！我与您不同，我看别人的文章前，头脑是一张白纸----在完全为真的状态下去研读，认真提出问题，没发现问题没有理由怀疑。有问题一定搞明白才是。
3月23日，我回复：
   是的，你的方法在赫渥特图中至少是只换了5 个以上的顶点的颜色，而我的方法难道就不能换得更少吗，待着色顶点一定就正好位于图的中心吗，不会处于离图的边沿更近一点的顶点吗。这只是一种方法而已，也可能遇到换色的顶点多，也可能遇到的少，这谁又能说得准呢，想用也可以，不想用，用别的也可以，只要能给平面图着上不多于4种的颜色就行了。你能保证你的方法在以后的具体图中换色的顶点一定就很少吗。方法就是方法，不能说怕步骤多就不是一种方法了。解一元二次方程是用同样的求根公式，可求根公式中根号下部分，有的就好计算，有的就很难计算，有的可能还是无理数，有的可能还不是实数，而成为复数，你能说求根命公式就都不要用了吗。如果不用它，那解一元二次方程该用什么方法呢，用配方法吧，它比用求根公式更麻烦。
3月24日，一棵小草回复：
雷明：您的说明总是通俗易懂。我说话做事常带偏激，比如新调色法，一定是“新”字在前，无论什么图，调色超不出2个点。
3月25日，一棵小草回复：
雷明：谢谢您牺牲休息时间，辛苦地写回复(6、5—轮构形可约性的证明)关于图e,还是在看完您的留言之后才使我搞清楚，您画的“图e既是具体图，又不是具体图”的道理。我愿来只看图形本身，真是有眼无珠啊！等待您的修改，望早日发出来。谢谢。一定第一时间去学习！
3月25日，我回复：
谢谢你。你只要能提出问题，我是一定很认真的对你进行回复的。我也被你的精神有所感动。
3月25日，我在一棵小草转载的关于中南大学刘路破了一项世界难题后评论：
中国人干什么去了，难道中国人的成果都一定要外国人发现吗。陈景润是中国人，成果让外国人发现了，外国人说陈取得了一流成果，中国才在国内宣传；现在的刘路也是中国人，取得的成果先要寄到国外，外国人说是一项重要成果，中国人才承认，才宣传。中国的数学家到那里去了呢，为什么小人物有了成果，都要先寄到国外去呢，人们想了没有这是为什么吗，北京不比美国更近吗，数学所的大人物听到此消息不感到脸红吗。雷明，3,25,
3月26日，一棵小草回复：
雷明：陈景润是个研究生，他的导师是他的主宰。这不是明摆着的问题吗！人已去矣！刘路也是校方找三个科学家分别写推荐信吗。这也不单是科学家本身的问题，科学院领导体制问题。
3月26日，我回复：
体制问题也是人的问题。中国人总是不相信自已民族的人有能力赶超世界水平，所以总是跟在别人后面爬行，另外还有一个怕小人物超过自已的因素在里面作怪。
雷  明 二○一二年四月一日整理于长安