[讨论]评一棵小草的《简单图的色数计算的新理念》

雷明85639720

       评一棵小草的
《简单图的色数计算的新理念》
          雷  明
（二○一○年五月二十五日）
    你终于走上了我所说的图顶点同化的道路上来了。一个图同化的最终结果心是一个完全图K（n），这就是原图的最小完全同态。K（n）中的这n个顶点分别都代表着原图中的若干个互不相邻的顶点，可以说原图的最小顶独立数就是n。由于同一个顶独立集内的顶点均不相邻，所以可以着同一颜色。原图有n个顶独立集，着色时至少就得用n种颜色，其色数也就是n。但你这里仍与黎鸣有相同的不足之处，仍然解释不了为什么偶轮同化的最终结果是K（3），而奇轮同化的最终结果却是K（3），当然也就解释不了为什么偶轮的色数是3，而奇轮的色数却是4。原因还是由于你直接用了图顶点同化的最终结果是完全图K（n），而没有研究K（n）中的n与图的密度ω是什么关系。你只能得出平面图的色数是不大于4的，但不能判断一个具体平面图的色数具体是多少。也就更不能进一步导出线色数与全色数的界了。请你再参见我的有关用图论法证明四色猜测的论文。雷明，2010，5，25，于长安。
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和一棵小草讨论四色问题
雷  明
（二○一○年六月四日）
一、对为什么有的图的色数大于其密度的讨论：
1、5月25日：我对一棵小草《简单图的色数计算的新理念》一文的评论：
你终于走上了我所说的图顶点同化的道路上来了。一个图同化的最终结果心是一个完全图K（n），这就是原图的最小完全同态。K（n）中的这n个顶点分别都代表着原图中的若干个互不相邻的顶点，可以说原图的最小顶独立数就是n。由于同一个顶独立集内的顶点均不相邻，所以可以着同一颜色。原图有n个顶独立集，着色时至少就得用n种颜色，其色数也就是n。但你这里仍与黎鸣有相同的不足之处，仍然解释不了为什么偶轮同化的最终结果是K（3），而奇轮同化的最终结果却是K（4），当然也就解释不了为什么偶轮的色数是3，而奇轮的色数却是4。原因还是由于你直接用了图顶点同化的最终结果是完全图K（n），而没有研究K（n）中的n与图的密度ω是什么关系。你只能得出平面图的色数是不大于4的，但不能判断一个具体平面图的色数具体是多少。也就更不能进一步导出线色数与全色数的界了。请你再参见我的有关用图论法证明四色猜测的论文。雷明，2010，5，25，于长安。
2、5月26日：我留言
你虽能看出5—轮的色数是4，但不能知道为什么是4，为什么色数比其密度多了1；你也可以看出偶轮的色数是3，同样也不知道其色数为什么正好与其密度相同。雷明，2010，5，26 ，于长安。
3、5月27日：一棵小草留言
向您请教，若有时间也请您把其中的道理写在评论里，供大家学习交流。
我不是看出来5—轮图的色数。我是强调要掌握“具体的操作过程”。欢迎你继续评论。
4、5月29日：一棵小草留言
对于5--轮图，因选的最大团为k(3)，在同化后还有一点不能进去，其实该点成了K（3）的完全相邻的点！故色数比密度多1；而偶轮则与此相反。
5、6月2日：我回复
一棵小草：这个问题我只所以没有直接写出来，不是我不愿写，而是不可能用一两句说得清楚的，所以我回复你时建议你去看我的有着图论法证明四色猜测的文章。我可以简单的说，我得到的图（任意图）的色数是：γ＝ω＋S，其中γ是色数，ω是图的密度，S是图中某个最大团外不可同化道路的条数。由于轮的密度是3，而只有奇轮中才含有一条不可同化道路（注意只有1条，偶轮中是没有的），所以奇轮的色数是γ＝ω＋S＝3＋1＝4，偶轮的色数是γ＝ω＋S＝3＋0＝3；对于密度是2的圈来说，奇圈中也有这样一条不可同化道路，而偶圈则没有。所以奇圈的色数是γ＝ω＋S＝2＋1＝3，偶圈的色数是γ＝ω＋S＝2＋0＝2。我说，你还是要看看我的有关文章的。雷明，2010，6，2，于长安

二、对我的《纯理论方法证明四色猜测的一种简单方法》的讨论
1、5月28日：一棵小草评论
其中“反过来，不含有K5图作其分子图的图，则一定是平面图”不妥；若图中有子图K(3,3)，该图也是非平面图。
2、5月29日：一棵小草评论
不知你是否欢迎，我又来提问题；我是麻烦的制作者。为了不断章取义，采取下面的形式。
……大家都很清楚：只要是含有K5图作其分子图的图，一定不是平面图，那么，含有K5图作其分子图的图在同化时也一定会得到一个顶点数大于等于5的完全图Kk【？是在平面内同化？！办不到】；反过来，不含有K5图作其分子图的图，则一定是平面图【不妥，因含有K(3,3)为非平面图】，那么，不含有K5图作其分子图的平面图在同化时也一定不会得到顶点数大于等于5的完全图Kk【？根据什么】。既然平面图同化的最终结果不会得到顶点数大于等于5的完全图Kk，【结论过早】那么，平面图同化的最终结果只能是顶点数小于等于4的完全图了。这个顶点数小于等于4的完全图着色时，最多只要用4种颜色就够了。
以上经同化后所得到的这个顶点数小于等于4的完全图，每个顶点都代表着原图中的若干个【原来是】不相邻的顶点【现在已变成相邻的顶点】，这些不相邻的顶点着同一【现在的着色互不相同】颜色是完全符合要求的。把这个已着了{多大于}【什么意思】4种颜色的完全图按照原同化时的相反方向再展开，又反回到原图时，这个图着色就已经完成了。其着色的结果，所用颜色没有超过四种。这就证明了四色猜测是正确的。
3、6月2日：我回复
㈠ 一棵小草：同化不存在在平面内或不在平面内的问题。不管是平面图还是非平面图，只要是不相邻的两个顶点都是可以同化到一起的。请你再想一想这个问题。雷明，2010，6，2，于长安
㈡ 由于我打字时的疏忽，没有把K3，3图除外，你指出错误的那句话应该为：“反过来，不含有K5图和K3，3图作其分子图的图，则一定是平面图”。
㈢ 一棵小草：“把这个已着了｛多大于｝4种颜色的完全图按照原同化时的相反方向再展开，又反回到原图时，这个图着色就已经完成了。”应为“把这个已着了不多于（或不大于）4种颜色的完全图按照原同化时的相反方向再展开，又反回到原图时，这个图着色就已经完成了。”另外，同化到一起的顶点，不能说它他就成了相邻顶点，他们仍然在原图不相邻。同化到了一起当然就可着同一颜色，因为他们在原图中是不相邻的。雷明，2010，6，2，于长安
㈣ 一棵小草：我一定按你提出的几个问题把我的文章改一下。这是次要的问题，改了后不会影响文章的主要论点的。雷明，2010，6，2，于长安
三、对我的《图论法证明四色猜测的又一种简单方法》的讨论
1、5月29日：一棵小草评论
本人以为该文是在【纯理论方法证明四色猜想的】一文中H猜想的指导下给出的证明。
此文很好，已彰显你的睿智。
你不但是“不用直接着色的方法证明四色问题”的倡导者，也是积极参与的实践者。文章在另一个猜想的前提下利用俩个公式，（1）是完全相邻的顶点、边数关系，包括了平面与非平面情形；（2）是极大平面图的顶点、边数关系。他们联合起来求得平面内完全相邻的顶点数；即平面图的色数。
文章的结果更坚定了我们的信心。
由于利用了猜想，使我们提前不知多少时间获得了新知。
剩下的时间是我们如何去突破猜想达到新的彼岸。
2、6月2日：我回复
谢谢一棵小草的大力支持。雷明，2010，6，2 于长安
3、6月3日：一棵小草留言
     您好，我这几天正在拜读您的文章。因为我的图论底子薄，有学不明白的地方，还得请您多帮助。十分感谢您在百忙中给我发来的留言；它已使我受益匪浅。
4、6月5日：一棵小草的回复
看到了您的回复，我心里明白了，麻烦您了。为了看懂文章，我只能是不耻下问，让您见笑了。
不妨大碍，不必急于修改原文。
5、6月5日：我回复
没关系的，有什么问题只管提出。雷明，2010，6，5，于长安
四、关于顶独立集
1、6月4日：一棵小草发来纸条
您在【图论法证明四色猜想】一文中"这样，任何图的色数γ就等于图的‘最少顶独立集的个数β ’是什么意思？并告知下图的B是几？ ............A---------B .........../..\...../..\ ........../....\.../....\ .........E-------D-------C ..........\......|....../ ...........\.....|...../ ..
    2、6月5日我回复
一棵小草：图的顶独立集是：把图中不相邻的顶点放在一起，所构成的顶点集合，这个集合中的顶点在原图中都是不相邻的。一个图若把一个顶点划为一个集时，原图就有与其顶点数相同数目的顶独立集，但一个图总有一个最少数目的顶独立集，这个最少数目的顶独立集的个数就是该图的最小顶独立集数β。由于各个顶独立集内的顶点在原图中都是不相邻的，所以同一个顶独立集内的顶点着同一种颜色是没有问题的。这样，一个图的最小顶独立集数是多少，该图的色数也就应该是多少。你画的那个图是什么，我看不明白，所以也就不知道其顶独立集是几了。雷明，2010，6，5，于长安。
注：此文于二○一○年六月五日在《数学中国》网站上发表过。