陶哲轩｜数学不仅仅是严谨和证明

luyuanhong · 发表于 2024-12-18 19:12

陶哲轩｜数学不仅仅是严谨和证明

原文发表于陶哲轩的博客

GPT 译现实拼图 2024 年 12 月 17 日 11:39 中国香港

每个主要银河文明的历史往往会经历三个不同且可识别的阶段，即生存、探索和精致阶段，也称为“如何”、“为什么”和“在哪里”阶段。例如，第一个阶段的特征是问题“我们如何进食？”，第二个阶段的特征是问题“我们为什么进食？”，而第三个阶段的特征是问题“我们在哪里吃午饭？” （道格拉斯·亚当斯，《银河系漫游指南》）

可以大致将数学教育分为三个阶段：

前严谨阶段：在这个阶段，数学以非正式、直观的方式教授，基于例子、模糊的概念和粗略的解释。（例如，微积分通常首先以斜率、面积、变化率等形式介绍。）这一阶段更侧重于计算而不是理论。通常持续到本科早期。

严谨阶段：在这个阶段，为了“正确地”进行数学学习，需要以更加精确和正式的方式进行工作和思考（例如，通过在微积分中使用 ε 和 δ 来重新学习）。这一阶段主要关注理论；并期望学习者能够自如地操纵抽象的数学对象，而不必过多关注这些对象实际上“意味着什么”。通常发生在本科后期和研究生早期。

后严谨阶段：在这个阶段，学习者已经熟悉了自己选择领域中所有严谨的基础，现在准备重新审视和完善自己之前的直觉，但这次是以严谨理论为支撑的直觉。（例如，在这个阶段，可以通过类比标量微积分来快速且准确地进行向量微积分的计算，或使用非正式和半严谨的无穷小、大 O 符号等，并在需要时将所有这些计算转化为严谨的论证。）这一阶段主要关注应用、直觉和“整体图景”，通常发生在研究生后期及以后。

从第一个阶段过渡到第二个阶段是众所周知的相当痛苦的过程，因为可怕的“证明类问题”成为了许多数学本科生的噩梦。（参见 “There's more to maths than grades and exams and methods“）但是，从第二个阶段过渡到第三个阶段同样重要，不应被忽视。

当然，掌握严谨的思维方式是至关重要的，因为这使你有纪律地避免许多常见错误和清除许多误解。不幸的是，这也会导致“模糊”或“直观”的思维（如启发式推理、从例子中谨慎地推断、或与物理学等其他背景的类比）被贬低为“不严谨的”。太多时候，人们最终丢弃了最初的直觉，只能在正式的层面上处理数学，从而停滞在数学教育的第二个阶段。（其中一个影响是，这会影响一个人阅读数学论文的能力；过于字面化的心态可能在遇到论文中的一个错别字或模糊之处时导致“编译错误”。）

严谨的目的不是摧毁所有的直觉；而是用它来摧毁错误的直觉，同时澄清和提升好的直觉。只有将严谨的形式主义和好的直觉结合起来，才能应对复杂的数学问题；前者用于正确处理细节，后者用于正确处理整体图景。没有其中之一，你将花费大量时间在黑暗中摸索（这可能是有益的，但效率非常低）。因此，一旦你完全掌握了严谨的数学思维，你应该重新审视你的直觉，并利用新的思维技巧来测试和完善这些直觉，而不是丢弃它们。一种方法是问自己一些看似愚蠢的问题（参见ask yourself dumb questions）；另一种方法是重新学习你的领域（参见relearn your field.）。

理想的状态是，每个启发式论证自然地暗示其严谨对应物，反之亦然。这样，你就能够同时使用大脑的两个半球来解决数学问题——即，以你在“现实生活”中已经使用的方式。

另请参见：

● 比尔·瑟斯顿（Bill Thurston）的文章《论数学中的证明与进展》 “On proof and progress in mathematics”；

● 亨利·庞加莱（Henri Poincare）的《数学中的直觉与逻辑》“Intuition and logic in mathematics”；

● 斯蒂芬·弗莱（Stephen Fry）关于语言不仅仅是语法和拼写的类比现象的演讲；

● 柯尔伯格（Kohlberg）的道德发展阶段（其中指出（除其他事项外）道德不仅仅是习俗和社会认可）“stages of moral development” ；

● 布卢姆的学习分类学 “Bloom's taxonomy of learning”.

补充说明：值得注意的是，处于上述三个数学发展阶段的数学家在他们的数学写作中仍然会犯正式错误。然而，这些错误的性质往往有所不同，具体取决于他们处于哪个阶段：

1. 处于前严谨阶段的数学家经常犯形式错误，因为他们无法理解严谨的数学形式主义是如何实际运作的，而是盲目地应用形式规则或启发式方法。当这些错误被明确指出时，这类数学家往往很难理解并纠正这些错误。

2. 处于严谨阶段的数学家仍然会犯形式错误，因为他们还没有完美掌握形式理解，或者无法进行足够的“合理性检查”来捕捉例如符号错误，或未能正确验证工具中的关键假设。然而，一旦这些错误被指出，这类错误通常可以被发现并修复。

3. 处于后严谨阶段的数学家并非完美无缺，他们在写作中仍然会犯形式错误。但这通常是因为他们在进行高水平的数学推理时不再需要形式主义，而实际上主要是通过直觉进行推理，然后将其（可能不正确地）翻译成正式的数学语言。

这三种错误类型之间的区别可能导致一种现象（这对处于数学发展早期阶段的读者来说往往会感到相当困惑），即后严谨阶段的数学家的数学论证在局部包含许多错别字和其他形式错误，但在整体上是相当合理的，这些局部错误会存在一段时间，然后被其他局部错误抵消。（相比之下，当缺乏坚实的直觉时，一旦在前严谨或严谨阶段的数学家的论证中引入错误，该错误可能会失控，直到最后留下完全的胡言乱语。）有关这些错误的进一步讨论以及如何阅读论文以补偿这些错误，请参见此文章。

我在与 Brady “Numberphile” Haran 的视频中进一步讨论了这个话题。

现实拼图

谢芝灵 · 发表于 2024-12-19 15:26

本帖最后由谢芝灵于 2024-12-19 07:30 编辑

人类数学的不严谨来自人类不会定义数学基础概念.

首先是定义是什么?→ 必须知道未定义.

人类一直用哲学的,或玄学的思想在定义,其实就是没有定义.

"未定义"的定义:\(A\to A\),这个也是扯皮式难范ㄒ�,其实没有定义:用\(A\)在扯皮.

定义的定义: \(\neg A\to A\)

我证明了上面得到的定义定理: 互相界限,不遗漏.

定义 \(A\)必须用定义 \(\neg A\),案例: 定义有理数.
有理数定义(这里仅讨论非负,之后你去加上负号就完备了):
\(x│\left\{ \left\{ a{,}b\right\}\in Z^+{,}\left( a{,}b\right)=1{,}b\ne0\right\}\Rightarrow\ x=\exists\left( \frac{a}{b}\right)\)

用有理数定义得到了无理数定义:
\(x│\left\{ \left\{ a{,}b\right\}\in Z^+{,}\left( a{,}b\right)=1{,}b\ne0\right\}\Rightarrow x\ne\forall\frac{a}{b}\)

也就是定义 \(A\)必须定义 \(\neg A\);用 \(A\)去定义 \(\neg A\).

数学的基础概念,必须定义如下:

逻辑与非逻辑(也就是正确与错误,或正确与矛盾);
数与非数;
有限与无限;
实数与虚数;
有理数与无理数;
直线与曲线;
直线数与曲线数;
欧氏几何与非欧氏几何;
纯数学与现实实用数学.

做到了上面,就证明了不能把曲线转变成数学直线,反之成立;
证明了人类的纯数学只能是欧氏几何做出的;
证明了纯数学不允许微积分,实用数学有微积分,但这个微积分用不着极限理论,牛顿式的微积分理论就行(只要充分小量,没有无穷小量),实用数学针对的就是物质的线,物质的几何空间.物质伸缩性决定了微积分必然存在微小数值的误差,也允许这样的误差存在.
充分小量≠0,充分小量可以做分母,最后的结论中也可以忽略充分小量(允许误差存在).

人类的数学,就是要严谨,
要严谨必须要公理化,
要公理化,必须要定义. 参见上面定义的定义.

		自动登录	找回密码
密码			注册