无穷小量的平方运算有什么特别之处么？（已经解决）

wufaxian

数学分析（上下全112讲无级数部分）】 【精准空降到 04:57】 https://www.bilibili.com/video/BV1T5411P7wi/?p=23&share_source=copy_web&vd_source=d0dfc60b858a7a9bfd33436d63b2a370&t=297

老师利用无穷小量的方法来证明Cos(x)的泰勒展开。但是推导过程中有一步涉及到无穷小量的平方计算。我觉得有点问题。不知道是不是无穷小量的平方运算有特殊的运算规则？

\[\cos x=1-2\sin^{2}\frac{x}{z}\]  \[=1-2(\frac{x}{2}+o(\frac{x}{2}))^{2}\]  \[=1-\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}o(x)^{2}-\frac{o(x)\times x}{2}\]

关键是第三步。难道不应该是：\[=1-\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}o(x)^{2}-{o(x)\times x}\]  完全平方公式展开的第二项不是有一个系数2，括号外面不是还有一个系数2 ，这两个2 和完全平方展开后的第二项的1/4 正好全都约掉了么？

wufaxian

以上两种计算结果是无差别的。因为根据无穷小的性质，有界量*无穷小=无穷小。c*o(f(x))=o(f(x))

因此老师的计算结果最终 \[=1-\frac{x^{2}}{2}-o(x^2)\]

我的计算结果是\[=1-\frac{x^{2}}{2}-\frac{3}{2}o(x^2)\]

书中的结果：\[=1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^2)\]

这三者等价！