【科普】新的数学证明了一种“负曲率时空”是不稳定的

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【科普】新的数学证明了一种“负曲率时空”是不稳定的

原创 Steve Nadis 梧桐阅览 2024 年 09 月 26 日 08:00 湖北

爱因斯坦方程描述了三种典型的时空结构。2020 年，这三种结构中的一种已被数学家证明本质上是不稳定的——这在量子引力研究中非常重要。

该证明涉及向 AdS 时空中注入少量物质，类似于将一块石头扔进池塘。波纹向外扩散并反弹，最终以某种方式相互作用，形成了一个黑洞。

四年前（2016 年），还是普林斯顿大学的研究生时，Georgios Moschidis 接手了一个看似不会有结果的问题。他的导师要求他从数学上证明某种时空结构是不稳定的——换句话说，证明该时空结构在受到任何微小扰动后，最终会崩溃。

他的导师、数学家 Mihalis Dafermos 知道这个任务有多难。“你可能会花很多时间，毫无进展地碰壁。”Dafermos 说道。他和 Gustav Holzegel 于 2006 年提出了这一不稳定性猜想。“我从未想过这个猜想能被证明。”但他还是鼓励 Moschidis 一试。Moschidis 当时已经做了足够的工作可以获得博士学位，所以为何不尝试一些更大的挑战呢？

Dafermos 对 Moschidis 的信任得到了回报。从 2017 年开始的一系列进展一直持续至今，Moschidis 已经证明了一种称为反德西特空间（AdS 空间）的典型爱因斯坦时空结构是不稳定的。向 AdS 空间中投放一小部分物质，最终会形成黑洞。

斯坦福大学数学家 Jonathan Luk 称 Moschidis 的工作“令人惊叹……他发现了一种非常普遍的不稳定性机制。”这种机制可以应用于与 AdS 无关的其他情境，其中物质或能量被困在没有出口的物理系统中。Dafermos 称他前学生的工作“极其出色”，并且是“近年来广义相对论数学中最原创的研究”。

尽管我们并不生活在反德西特宇宙中（对此应该感到庆幸，否则我们将不存在），但这项研究对我们理解从湍流到引力理论与量子力学之间的神秘联系都有重要意义。

引力的波动

不稳定性猜想——以及其背后的整个思想体系——可追溯到爱因斯坦的广义相对论方程，这些方程精确描述了质量和能量如何影响时空的曲率。在真（时）空中，即使没有任何物质存在，时空仍然可以是弯曲的，重力也可以存在，因为真（时）空本身具有能量密度，这通过所谓的“宇宙常数”来描述。事实证明，空旷的时空并不是真正的空无一物。

爱因斯坦真空方程的三个最简单的解是最对称的解——即那些时空曲率在任何地方都是相同的解。在闵可夫斯基时空中，宇宙常数为零，宇宙是完全平坦的；在德西特时空中，宇宙常数为正值，宇宙呈球形；而当宇宙常数为负值时，就得到反德西特时空，其形状像马鞍。在早期的宇宙学研究中，科学家们曾经疑惑，这三种时空中哪一种描述了我们的宇宙。



然而，数学家们则更关注这些时空是否真正稳定。如果你以某种方式扰动真空时空——比如向系统中注入一些物质或引入引力波——它会最终趋于稳定，会回到接近原始状态吗？还是会演变成完全不同的状态？这就像往池塘里扔一块石头：波纹会逐渐减弱，还是会汇聚成海啸？

1986 年，一位数学家证明了德西特时空是稳定的。1993 年，一对数学家同样证明了闵可夫斯基时空的稳定性。而 AdS 问题则拖延了更长时间。普遍共识是，AdS 时空不像其他两种结构那样稳定，这意味着数学家需要采用全新的方法。

“很多数学工具是为解决稳定性问题而开发的。”Dafermos 说。“但不稳定性完全是另一个领域——尤其是这种类型的不稳定性。”这类问题具有非线性特性，因此情况本质上非常复杂，计算也极其棘手。

研究人员怀疑 AdS 时空可能是不稳定的，因为他们认为它的边界是反射性的，从而“使其像一面镜子，任何击中它的波都会反射回来。”Dafermos 解释道。

“从物理角度看，边界的反射性是有道理的。”位于新泽西州普林斯顿高等研究院的物理学家 Juan Maldacena 说道。这部分是由于 AdS 空间的曲率，但更简单的解释是：这一假设符合能量守恒定律。

如果边界确实是反射性的，任何物质或能量都无法从 AdS 时空中逸出。因此，投入系统中的任何物质或能量可能会被集中，甚至达到形成黑洞的程度。问题是：这真的会发生吗？如果会，是什么机制导致物质和能量聚集到如此程度，而不是保持分散状态？


加州大学伯克利分校的数学家 Georgios Moschidis 成功处理了爱因斯坦方程中的复杂非线性效应

Moschidis 想象自己站在 AdS 时空的中央，这就像站在一个巨大的球体内，其边缘或边界位于无限远处。如果你从那里发送光信号，它会向外传播，并在有限的时间内到达边界。这种传输之所以可能，是由于一个众所周知的相对论效应：尽管到边界的空间距离确实是无限的，但对于以接近光速传播的波或物体来说，时间会变慢。因此，站在 AdS 时空中央的观察者会看到光线在有限时间内到达边界（虽然这需要一些耐心）。

Moschidis 没有使用光线，而是将一种在广义相对论模型中常用的物质放入了 AdS 空间中——所谓的爱因斯坦-弗拉索夫粒子。这些粒子在时空中创造了同心的物质波，类似于池塘中的水波。

当物质突然被放入这个时空时，会产生许多同心波，其中前两个波是最大的。由于它们包含最多的物质和能量，我们将重点关注这两个波。第一个波——称为波 1 ——会向外扩展，直到撞击边界，反弹回来，然后在向中心收缩时退回。第二个波，波 2 ，会紧随其后。

当波 1 从边界反弹并开始向中心收缩时，它将与仍在扩展的波 2 相遇。Moschidis 通过爱因斯坦方程确定，在这样的相互作用中，扩展的波（在这种情况下是波 2）总是会将能量传递给收缩的波（波 1）。

在波 1 到达中心后，它将再次开始扩展，并与此时正在收缩的波 2 相遇。这一次，波 1 会将能量传递给波 2。这种循环可以重复很多次。

Moschidis 还意识到另一点：在接近中心的地方，波占据的空间较小，它们携带的能量更集中。因此，在中心附近的相互作用中，波之间的能量交换比在边界附近的相互作用中更多。最终的结果是，波 1 在中心给予波 2 的能量多于波 2 在边界给予波 1 的能量。

经过多次迭代，波 2 越来越大，不断从波 1 获取能量。结果，波 2 的能量密度持续增加。最终，当波 2 向中心收缩时，其能量会变得如此集中，以至于形成一个黑洞。

这就是不稳定性的证明：Moschidis 证明，当他向 AdS 时空中加入哪怕是极其微小的一部分物质时，黑洞（或多个黑洞）将不可避免地形成。然而，根据定义，AdS 时空在任何地方的曲率都是均匀的，这意味着它无法容纳像黑洞这样的空间扭曲物体。“如果你扰动了 AdS 时空，并等待足够长的时间。”Moschidis 说，“最终你会得到一个包含黑洞的不同几何结构，而不再是 AdS 时空。这就是我们所说的不稳定。”

最近，Moschidis 证明了另一种物质扰动（所谓的无质量标量场）也会导致 AdS 不稳定性，并在多次学术演讲中展示了这项尚未发表的研究成果。“因为标量场生成的波是引力波的替代品。”Dafermos 说道，这使 Moschidis 离终极目标——证明在纯真空中 AdS 时空的不稳定性——又迈进了一步，在纯真空中，时空仅仅受到引力的扰动，而没有引入任何物质。

AdS 时空的动荡未来

AdS 时空的不稳定性对我们理解自己的宇宙有着重要影响。首先，由于 AdS 时空是不稳定的，因此它是“你不会在自然界中看到的东西。”Moschidis 说道。

但他也说，“尽管 AdS 不是真实的，它仍然可以引领我们发现和研究真实现象。”

例如，当能量从大尺度集中到小尺度时，会出现湍流—— Moschidis 证明了当 AdS 时空受到扰动时，这种现象会发生。然而，湍流是一种广泛存在的现象（尽管仍未得到很好理解），它出现在各种流体系统中。对于拥有 Moschidis 技能和倾向的人来说，AdS 时空是一个“干净的”、相对简单的系统，这也是为什么他将其视为研究湍流的“良好理论试验场”。在 AdS 环境中，湍流由引力引起，但 Moschidis 认为，他正在开发的数学工具也可以帮助分析出现在流体力学中的湍流。

AdS 还在所谓的 AdS/CFT 对应中占有重要地位——这是将量子力学与引力结合为全包理论的关键线索，即量子引力理论。该对应关系指出，AdS 空间中的引力系统可以等同于少一个维度的非引力量子系统。1997 年揭示该对应关系的 Maldacena 解释说：“我们可以使用一个不包含引力的量子力学系统，而用引力理论来描述它——不是我们宇宙中的引力理论，而是 AdS 宇宙中的引力理论。” 他进一步指出，最近由 Moschidis 证明的 AdS 不稳定性并不影响该对应关系的有效性。

Moschidis 的研究与 AdS/CFT 对应相结合时，也可能有助于阐明更熟悉的粒子相互作用领域。例如，Moschidis 通过对 AdS 时空的小扰动创造了黑洞。通过该对应关系，这一过程与量子系统实现热化过程相对应，即量子系统达到平衡的过程——这是几乎无处不在的现实现象。

“证明 AdS 是不稳定的，”Moschidis 总结道，“并不意味着它是无趣的。”

编者注：

AdS 空间，全称为反德西特空间（Anti-de Sitter Space），是一种特殊的时空几何结构，主要用于理论物理学，尤其是在量子引力和弦论等领域的研究中。

AdS 空间具有以下特点：

● 负的宇宙常数：AdS 空间与我们的宇宙（假设是正宇宙常数的德西特空间）不同，它的宇宙常数为负。这意味着 AdS 空间的几何形状是类似于马鞍状的“负曲率”空间，而不是球面或平面。

● 时空边界：AdS 空间的一个关键特性是它有一个“无限远的边界”，但由于相对论效应，光线或物质可以在有限的时间内到达这个边界并反弹回来。这使得 AdS 空间像一个封闭的系统，类似于一个带有反射边界的容器，任何进入其中的物质或能量都无法逃逸。

● 在引力理论中的应用：AdS 空间广泛用于 AdS/CFT 对应（反德西特/共形场论对应）理论中。这一理论提出，在 AdS 空间中的引力理论等效于边界上一个较低维度的量子场论。这是研究量子引力和弦论的一个重要工具。

● 数学性质：AdS 空间是爱因斯坦方程的一种解。它在研究广义相对论、弦论和黑洞物理等领域中具有重要的理论意义。AdS 空间因其特殊的几何性质，成为物理学家研究时空不稳定性、黑洞形成以及量子力学和引力相互作用的理想“实验场”。

总结来说，AdS 空间是负曲率时空的一种，虽然它与我们现实中的时空不同，但在理论物理中它是研究复杂时空结构和引力的关键工具。

中文翻译编辑校对：酉木木

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