\(\Large\bigcap_{n=1}^\infty\{m\in\mathbb{N}: m>n\}=\phi\textbf{及有关话题}\)

elim

令\(A_n=\{m\in\mathbb{N}:m>n\},\;N_\infty=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{x\mid x\in A_n\,(\forall n\in\mathbb{N})\}\)
因\(\{A_n\}\)没有公共元素(反证法: 若有某\(k\)属于每个\(A_n\), 则\(k\in A_k,\; k> k\) 矛盾!)
故由定义，所论无穷交没有成员, 即 \(\color{red}{N_\infty=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\phi\qquad(1)}\)
这是集论中仅凭定义就能得到的简单而基本的事实.
【反驳1】\(k\not\in A_k\) 但 \(k+j\in A_k\,(j=1,2,\ldots)\) 凭什么说 \(N_\infty=\phi\)?
【答】我们由假定存在集列 \(A_1,A_2,\ldots\) 的公共元\(k\)得到了矛盾,
\(\qquad\,\)说明这样的\(k\)不存在。即证明了集列 \(A_1,A_2,\ldots\) 没有公共元.
\(\qquad\,k+j\in A_k\,\small(j=1,2,\ldots)\) 这个事实否定不了\(\{A_n\}\)无公共元的事实。
【反驳2】\(N_\infty=\phi\)的上述论证本质上是逐点排查法(循环论证)，臭便骗术！
【答】逐点排查法是外延公理的直接应用, 无可推翻, 也不可能有真正的反例.
\(\qquad\,\)逐点排查法的结论与所涉集合如何得到无关，故没有循环论证之嫌.
\(\qquad\,\)集合运算均由一阶逻辑定义，故本质上都是量词谓词演算的结果.
\(\qquad\,\)因而没有简单划一的算法. 而\(N_\infty\)无成员一眼便能从定义得出。
\(\qquad\,\)臭便或骤变骗术这类说法是没有数学定义的口水仗帽子，没有理由
\(\qquad\,\)称骤变与逐点排查法等价，我们也没有见到使用骤变说行骗的例证.
\(\qquad\,\)这个反驳根本没有否定\(\color{red}{(1)}\)，只是骂了街.
给他人带帽子玩不是做数学，拿出\(N_\infty\)计算结果的论证才是硬道理
【反驳3】\(\{A_n\}\)单调降，故\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\lim_{n\to\infty}A_n=\{\omega+1,\omega+2,\ldots\}\ne\phi\)
【回应】因\(\{A_n\}\)降, \(\displaystyle\bigcup_{k=n}^\infty A_k=A_n,\;\bigcap_{k=n}^\infty A_k=\bigcap_{k=m}^\infty A_k\,(\forall m,n\in\mathbb{N})\)
\(\therefore\qquad\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}A_k=\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_k,\quad\color{red}{\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{k=1}^\infty A_k.\quad(2)}\)
\(\qquad\quad\)但 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\{\omega+1,\omega+2,\ldots\}\) 是经不起验证的：
\(\qquad\quad\)若 \(\omega+1\in\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n\), 则 \(\omega+1\in A_1\subset\mathbb{N}\) 于是 \( A_{\omega+1}\) 有定义
\(\qquad\quad\)且 \(\omega+1\not\in A_{\omega+1}\) 进而 \(\omega+1\not\in\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n\) 可见无论\(\omega+j\)是啥
\(\qquad\quad\)假定\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n\)非空就导致矛盾.
【反驳4】\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,\ldots\}=\{\lim_{n\to\infty}(n+j)\mid j=1,2,\ldots\}\)
\(\qquad\quad=\{\omega+1,\omega+2,\ldots\}\qquad(\dagger)\) 是完全合法的，何错之有？
【回应】据前面的【反驳】及【回应】知道, 只有改变\(A_n\)的定义为
\(\qquad\quad A_n=\{m\in\mathbb{N}^*:m>n\}\,(n\in\mathbb{N})\), 全序集\(\mathbb{N}^*(\supset\mathbb{N})\)
\(\qquad\quad\)满足 \(\mathbb{N}^*=\mathbb{N}\cup\{\omega+1,\omega+2,\ldots\}\), 才会有所论合法性.
\(\qquad\quad\)易见无法定义\(\mathbb{N}^*\)成为半环，使\(\mathbb{N}\hookrightarrow\mathbb{N}^*\)为保序半环嵌入.
\(\qquad\quad\)\(\mathbb{N}^*\)也无法保序扩张成\(\mathbb{R}\). 故绝无论文书著用\(\mathbb{N}^*\)取代\(\mathbb{N}\).
\(\qquad\quad\)排除\(\mathbb{N}^*\)后若还要问,如何定义\(\omega,\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n+j)\)使\((\dagger)\)成立?
\(\qquad\quad(1),(2)\)表明无论怎样定义\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n+j),\quad(\dagger)\)  都无法成立．

待续．

elim

对主贴作了不少修订．谢谢关注．欢迎参与讨论．
还有很多要说要梳理，几天后忙完别的事情再见！