已知方程 5x^2+4xy+4y^2-6x-12y+k=0 只有一组实数解，求常数 k 的值

Bathan_Tam

请教思路

波斯猫猫

由条件有，关于x的判别式为0，再有关于y的判别式为0，这样可解得k=9.
易验证y=3/2，x=0.

luyuanhong

题  已知方程 5x^2+4xy+4y^2-6x-12y+k=0 只有一组实数解，求常数 k 的值。

解  5x^2 + 4xy + 4y^2 - 6x - 12y + k

   = 4x^2 + ( x^2 + 4xy + 4y^3 - 6x - 12y + 9 ) + ( k - 9 )

   = 4x^2 + ( x + 2y - 3 )^2 + ( k - 9 ) = 0 。

   从上式可以看出：

（1）当 k = 9 时，方程成为 4x^2 + ( x + 2y - 3 )^2 = 0 。

   可以看出，这时方程要得到实数解，必须有 x = 0 和 x + 2y - 3 = 0 。

   也就是说，这时方程只有 x = 0 和 y = 3/2 这样一组实数解。

（2）当 k＞9 时，方程成为  4x^2 + ( x + 2y - 3 )^2 = -k + 9 ＜ 0 。

   这时方程无实数解。

（3）当 k＜9 时，方程成为  4x^2 + ( x + 2y - 3 )^2 = -k + 9 ＞ 0 。

   这时方程可有无穷多组不同的实数解。

   所以，要使得本题的方程只有一组实数解，必须是 k = 9 。

波斯猫猫

5x^2 + 4xy + 4y^2 - 6x - 12y + k= 0，即 4x^2 + ( x + 2y - 3 )^2 =9-k .

显然，上述关于x和y的方程只有一组实数解的充要条件为k=9.

即，由k=9易推出（x，y）=（0，3/2），反之由（x，y）=（0，3/2）易推出k=9.