已知四边形一内角为 60 度，周长为 4 ，求这个四边形面积的最大值

王守恩

已知四边形一内角为60度,  周长为4,  求四边形面积最大值。

ataorj

我手动试了试，四边形ABCD，角B=60度，似乎BA=BC，DA=DB，且BA/DA约=0.61/0.39才有最大面积

王守恩

ataorj 发表于 2024-8-9 14:12
我手动试了试，四边形ABCD，角B=60度，似乎BA=BC，DA=DB，且BA/DA约=0.61/0.39才有最大面积

1. Solve[{2 a + 2 b == 1, a^2 + a^2 - 2 a*a*Cos[Pi/3] == b^2 + b^2 - 2 b*b*Cos[5 Pi/9], a^2 Sin[Pi/3] + b^2 Sin[5 Pi/9] == 2 S, a > 0, b > 0}, {a, b, S}]

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{{a -> 0.30253457818265077122, b -> 0.19746542181734922878, S -> 0.058832531465989257866}}

{{a -> 1/2 - ((1 + I Sqrt[3]) (1/2 (3 + I Sqrt[3]))^(1/3))/(4 3^(2/3)) - (1 - I Sqrt[3])/(2 2^(2/3) (3 (3 + I Sqrt[3]))^(1/3)),
  b -> -((1 - I Sqrt[3])/(2 2^(2/3) (3 (-3 + I Sqrt[3]))^(1/3))) - ((1/2 (-3 + I Sqrt[3]))^(1/3) (1 + I Sqrt[3]))/(4 3^(2/3)),
  S -> -(((-(1/2) (-1)^(17/18) (1 + (-1)^(1/9)) + Sqrt[3] (1 - 1/2 (-1)^(4/9) (-1 + (-1)^(1/9)))) (-3 + (-1)^( 4/9) (-1 + (-1)^(1/9)) + 2 Sqrt[2 (1 - 1/2 (-1)^(4/9) (-1 + (-1)^(1/9)))]))/( 8 (1 - (-1)^(4/9) (-1 + (-1)^(1/9)))^2))}}

君天下2003

王守恩 发表于 2024-8-10 05:24
{{a -> 0.30253457818265077122, b -> 0.19746542181734922878, S -> 0.058832531465989257866}}

{{ ...

有几何证明吗？

ataorj

等周定理
https://www.matongxue.com/parts/2429/

王守恩

已知三边形一内角为60度,  周长为3,  三边形面积最大值=0.4330127。
已知四边形一内角为60度,  周长为4,  四边形面积最大值=0.9413205。
已知五边形一内角为60度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.5464739。
已知六边形一内角为60度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.2737641。
已知七边形一内角为60度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.1282941。
已知八边形一内角为60度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.1117736。
已知九边形一内角为60度,  周长为9,  九边形面积最大值=5.2249376。
......
0.4330127, 0.9413205, 1.5464739, 2.2737641, 3.1282941, 4.1117736, 5.2249376, 6.4681547, 7.8416298, 9.3454862, 10.979802, 12.744630, 14.640007, 16.665958, 18.822502, 21.109654}
四舍五入后得到这样一串数。
0, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 48, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 80, 85, 89, 94, 99, 104, 110, 115,
121, 126, 132, 138, 144, 150, 157, 163, 170, 177, 183, 190, 198, 205, 212, 220, 227, 235, 243, 251, 259, 268, 276, 285, 293, 302, 311, 320,
329, 339, 348, 358, 367, 377, 387, 397, 408, 418, 429, 439, 450, 461, 472, 483, 494, 506, 517, 529, 541, 553, 565, 577, 590, 602, 615, 627,
640, 653, 666, 680, 693, 707, 720, 734, 748, 762, 776, 790, 805, 820, 834, 849, 864, 879, 894, 910, 925, 941, 957, 972, 988, 1005, 1021, ...}

1. Table[NSolve[{(n - 2) a + b == Pi,    (n - 2) x + 2 y == n,    Pi/2 - a == ((n - 2) Pi - Pi/3)/(2 (n - 1)),   x/ Sin[2 a] == R/Cos[a],   
   
2. y/ Sin[b] == R /Sin[Pi/6],    ((n - 2) R^2 Sin[2 a] + 2 y*R*Sin[Pi/6 + b])/2 == S, R > 0, Pi > a > 0, Pi > b > 0}, {a, b, x, y, R, S}], {n, 3, 9}]

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王守恩

已知三边形一内角为120度,  周长为3,  三边形面积最大值=0.2798002。
已知四边形一内角为120度,  周长为4,  四边形面积最大值=0.9632493。
已知五边形一内角为120度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.7138979。
已知六边形一内角为120度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.5980762。
已知七边形一内角为120度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.6294186。
已知八边形一内角为120度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.8125398。
已知九边形一内角为120度,  周长为9,  九边形面积最大值=6.1494371。
......
0.2798002, 0.9632493, 1.7138979, 2.5980762, 3.6294186, 4.8125398, 6.1494371, 7.6411160, 9.2881381, 11.090842, 13.049442, 15.164085, 17.434869, 19.861867, 22.445131, 25.184700}
四舍五入后得到这样一串数。
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 25, 28, 31, 34, 38, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 66, 70, 75, 80, 85, 90, 96, 101, 107, 113, 119, 125, 131,
138, 145, 151, 158, 165, 173, 180, 188, 195, 203, 211, 220, 228, 237, 245, 254, 263, 272, 282, 291, 301, 310, 320, 330, 341, 351, 362, 372, 383,
394, 405, 417, 428, 440, 452, 464, 476, 488, 501, 513, 526, 539, 552, 565, 579, 592, 606, 620, 634, 648, 662, 677, 691, 706, 721, 736, 751, 767,
782, 798, 814, 830, 846, 862, 879, 896, 912, 929, 947, 964, 981, 999, 1017, 1035, 1053, 1071, 1089, 1108, 1126, 1145, 1164, 1184, 1203, 1222,.}

1. Table[NSolve[{(n - 2) a + b == Pi,    (n - 2) x + 2 y == n,    Pi/2 - a == ((n - 2) Pi - 2 Pi/3)/(2 (n - 1)),   x/ Sin[2 a] == R/Cos[a],   
   
2. y/ Sin[b] == R /Sin[Pi/3],    ((n - 2) R^2 Sin[2 a] + 2 y*R*Sin[Pi/3 + b])/2 == S, R > 0, Pi > a > 0, Pi > b > 0}, {a, b, x, y, R, S}], {n, 3, 9}]

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王守恩

已知三边形一内角为150度,  周长为3,  三边形面积最大值=0.1455419。
已知四边形一内角为150度,  周长为4,  四边形面积最大值=0.8786587。
已知五边形一内角为150度,  周长为5,  五边形面积最大值=1.6552542。
已知六边形一内角为150度,  周长为6,  六边形面积最大值=2.5604645。
已知七边形一内角为150度,  周长为7,  七边形面积最大值=3.6121293,。
已知八边形一内角为150度,  周长为8,  八边形面积最大值=4.8163496。
已知九边形一内角为150度,  周长为9,  九边形面积最大值=6.1757839。
......
0.1455419, 0.8786587, 1.6552542, 2.5604645, 3.6121293, 4.8163496, 6.1757839, 7.6917766, 9.3650811, 11.196152, 13.185282, 15.332663, 17.638433, 20.102688, 22.725499, 25.506920}
四舍五入后得到这样一串数。
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 32, 35, 38, 42, 46, 49, 53, 58, 62, 67, 71, 76, 81, 86, 92, 97, 103, 109, 114, 121, 127, 133,
140, 147, 154, 161, 168, 175, 183, 190, 198, 206, 215, 223, 231, 240, 249, 258, 267, 276, 286, 295, 305, 315, 325, 335, 346, 356, 367, 378, 389,
400, 412, 423, 435, 447, 459, 471, 483, 495, 508, 521, 534, 547, 560, 574, 587, 601, 615, 629, 643, 657, 672, 687, 702, 717, 732, 747, 763, 778,
794, 810, 826, 842, 859, 875, 892, 909, 926, 943, 961, 978, 996, 1014, 1032, 1050, 1068, 1087, 1106, 1124, 1143, 1163, 1182, 1201, 1221, 1241}

1. Table[NSolve[{(n - 2) a + b == Pi,    (n - 2) x + 2 y == n,    Pi/2 - a == ((n - 2) Pi - 5 Pi/6)/(2 (n - 1)),   x/ Sin[2 a] == R/Cos[a],   
   
2. y/ Sin[b] == R /Sin[5 Pi/12],    ((n - 2) R^2 Sin[2 a] + 2 y*R*Sin[5 Pi/12 + b])/2 == S, R > 0, Pi > a > 0, Pi > b > 0}, {a, b, x, y, R, S}], {n, 3, 9}]

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波斯猫猫

题：已知四边形ABCD的内角A=60°,  周长为4,  求四边ABCD的最大面积。

思路：如图，设AB=x，BC=w，CD=z，DA=y，C=α，x+y+z+w=4，

则x^2+y^2-xy=z^2+w^2-2zwcosα，即2zwsinα=√[4z^2w^2-(z^2+w^2-x^2-y^2+xy)^2].

故S(ABCD)=(xysin60°+zwsinα)/2=(√3xy+2zwsinα)/4，

即4S(ABCD)=√3xy+√[4z^2w^2-(z^2+w^2-x^2-y^2+xy)^2].

以下按拉格朗日乘法算，

令F(x,y,z,w)=√3xy+√[4z^2w^2-(z^2+w^2-x^2-y^2+xy)^2]+λ(x+y+z+w-4)，

....(略).

王守恩

波斯猫猫 发表于 2024-8-16 21:42
题：已知四边形ABCD的内角B=60°,  周长为4,  求四边形面积最大值。

谢谢 波斯猫猫 ！借用您的图。

\(△ABD,B=30,D=40,\frac{AB}{\sin40}=\frac{AD}{\sin30},2AB+2AD=4,S=AB*AD\sin70=0.9413205\)

上面错啦！订正一下！
\(△ABD,B=30,D=50,\frac{AB}{\sin50}=\frac{AD}{\sin30},2AB+2AD=4,S=AB*AD\sin80=0.9413205\)