自学一年成为数学家的天才

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自学一年成为数学家的天才

原创 蔡驰南 蔡爸谈数学 2024 年 06 月 21 日 12:38 浙江

数学界一直不缺天才，但他仅仅自学一年，就跻身一流数学家之列，算得上世界纪录保持者。

他就是大名鼎鼎的拉格朗日，一个在高等数学与普通物理中不断出现的名字。



拉格朗日出生于 1736 年，那一年欧拉刚解决了科尼斯堡七桥问题，这还只是他与欧拉缘分的开始。

他生在意大利都灵，原本家庭富裕。父亲打算将他培养成律师。结果投资失败，一夜返贫，导致拉格朗日的童年在贫困中度过。律师之路是走不下去了，于是到了都灵大学，改学拉丁语。


意大利都灵

拉格朗日读书时对数学并不感兴趣，尤其是代数计算，让他觉得枯燥乏味。

直到 17 岁那年，偶然看到哈雷（牛顿的贵人）的一篇科普读物，介绍了牛顿的微积分，并提到“研究几何光学时，数学分析（微积分）方法也许更好”。他一下子着了迷。数学热情被点燃，开始猛读阿涅西与欧拉的著作，自学数学分析。


与拉格朗日亦师亦友的欧拉

不到一年时间，他就将自己在数学分析中的新发现寄给偶像欧拉，没想到欧拉回信了，告诉他研究的成果半个世纪前伯努利与莱布尼茨就已经提出过。

这个消息非但没有打击到拉格朗日，反而极大地激励了他。他意识到自己可能真有数学天赋，仅仅用了一年，居然达到了一流数学家的水平。只是缺乏信息优势，选题不够前沿。

于是，他决定挑战公认的数学难题。他关注到法国科学院正公开征集“等周问题”的答案。

这是一个由来已久的古希腊问题，就是给定一个长度固定的绳子，如何围出面积最大的图形来。


传说古希腊时期狄多女王建造迦太基城就与该问题有关

直觉告诉我们那就是圆形，但要证明却不容易。

仅仅过去半年，拉格朗日就用数学分析的方法，开创性地给出了证明，并将这一成果又寄给了欧拉。这一次，连欧拉都震惊了，对他大加赞赏。


拉格朗日乘数法，用以解决有约束条件下的函数极值问题

19 岁还没毕业的他就得到了数学大神的认可，直接被破格升为副教授。次年，经欧拉推荐，成为柏林科学院通讯院士。

之后，他更是一发不可收拾，研究最速降线和等时线问题，并与欧拉交流，欧拉发现拉格朗日给出的等式更简洁，从此拉格朗日与自己偶像的名字永远联系在了一起，那就是变分法中的“欧拉-拉格朗日方程”。


欧拉-拉格朗日方程

他还与欧拉一起发现了三体问题中的特殊解，就是地球与太阳的引力平衡点——拉格朗日点，其中欧拉找到了 3 个，拉格朗日找到了另外 2 个。如今美国的韦伯太空望远镜，就停在其中的一个拉格朗日点上。


拉格朗日点，L1～L3 为欧拉找到的，L4 和 L5 为拉格朗日找到的，现在韦伯望远镜在 L2 位置上

1766 年起，他接替了去俄国的欧拉，在柏林科学院待了整整 20 年，得到了腓特烈二世的全力资助。

在分析领域已入化境的他还有一个更大的目标，就是彻底改写牛顿的力学著作。

1780 年，他开始撰写巨著《分析力学》，并于 8 年后发表。他将牛顿力学浓缩成了一个微分方程，完全不依赖几何推理。他甚至在开篇时写道：“在这本书里不会找到任何图表”。


欧拉-拉格朗日方程是分析力学的核心

1786 年，腓特烈二世去世，他满怀抑郁地离开了德国，来到了法国科学院，虽然他一生最高产的黄金时间已过，但依然受到了极大的尊重。拿破仑掌权后，更是重视科学人才，将他封为伯爵。

拉格朗日一生遇到过无数贵人，包括欧拉、达朗贝尔、拉瓦锡、腓特烈二世和拿破仑等，但他最应该感谢的是自己，因为他凭一己之力创造了自学成才的神话。



清华大学出版社的《数学的历程》一书，不但介绍了这些数学家的传奇故事，还梳理了背后的数学思想脉络，是一本非常扎实的科普读物。有思维，有故事，通俗易懂，十分友好。

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