测度论积分定义的最核心问题

luyuanhong

测度论积分定义的最核心问题

原创 有無嘢啊 马是我的 2024 年 06 月 14 日 17:00 中国香港

在已知非负简单函数积分定义的前提下，系列文章《比起黎曼积分，测度论的积分美多了》、《一口气讲完测度论的积分定义》都给出了非负可测函数积分的一种定义方法：



并且指出该定义带来的问题：

《一口气讲完测度论的积分定义》提出的问题 3

对于满足条件的不同非负简单函数序列，按式 (1) 定义得到的积分值会是相同的吗？

同时也给出积分的另一种定义方法：



这篇文章将尝试解决定义 1 、问题 3 、定义 2 这三者之间的关系。

1. 最关键的结论

要处理定义 1 、问题 3 以及定义 2 之间的关系，一定要先弄懂下面这个关键的结论。


  




2. 结论 1 的重要性

结论 1 的重要性在于它有助于解决系列文章《一口气讲完测度论的积分定义》所提出的问题 3 。为此，我们先看一下相关推论：


  
也就是说，对于任意不同的非负简单函数序列，只要它们的极限函数相等，那么不管序列中的函数差距有多大，它们的积分值数列的极限值还是会相等。

这时再看定义 1 中的积分定义，即使是不同的非负简单函数序列，它们都收敛于同一个函数，根据上述推论可知，这些序列各自的积分值数列的极限值都是相等的。这种情况下，即使是用不同的函数序列来计算，但得到的积分值都是相等的。这样问题 3 不就解决了吗？



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