由和差化积公式到正弦平方差公式

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由和差化积公式到正弦平方差公式

原创 数之缘 高中数学学习方法研究 2024 年 06 月 12 日 23:51 山东

在三角函数中有一个所谓的正弦平方差公式，其形式为：



这个公式的证明其实很简单，在本号之前的一篇文章中，采用了由左向右证明的方式。

下面将采用由右向左的方式，给出正弦平方差公式的另一种直观证明方式。

证明：



这样，通过分解因式、和差化积、正弦倍角公式，给出了正弦平方差公式的另一种证明方法。

正弦平方差公式的形式很直观，类似于代数中的平方差公式。正弦平方差公式的用处很多，在三角函数恒等变形、解三角形、推导三角形伪降幂公式时都可以用到。

另外，需要指出的是，还有两个所谓的余弦平方差公式，注意其形式又有所区别：



上面第一式是取上文正弦平方差公式的左侧形式，正弦换为余弦得到的；第二式则是取上文的正弦平方差公式的右侧形式，正弦换为余弦得到的。

上述余弦平方差公式容易记错，因此无需记忆，只需了解其推导思路即可。

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