人类精神的最高胜利，不读这本书将错过太多

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人类精神的最高胜利，不读这本书将错过太多

来源：北京大学出版社

作者：小北

在人类文明的漫长征途中，有些发现和创新，如同璀璨的星辰，照亮了知识的夜空，引领着我们穿越无知的迷雾，照亮了前行的道路。

在这片灿烂的星海中，有一颗格外耀眼的星辰——微积分，它不仅是数学王冠上的明珠，更是人类理性思考能力的巅峰之作。



恩格斯曾如此评价道：“在一切理论成就中，未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。”

莱布尼兹的微积分如同一把神奇的钥匙，开启了通往现代科学的大门，在数学、工程、物理、经济学等众多领域中发挥着不可替代的作用，也是数学史上的一次重要革命。

而在这背后，莱布尼兹和牛顿关于微积分优先权的争论闻名世界，这场争论在牛顿、莱布尼兹所生活的时代，甚至在他们去世后的很多年都很激烈，中间也发生了很多趣事。

走近这段历史，走进莱布尼兹创建微积分的过程以及他在微积分优先权争论期间为自己做出的申辩，不仅是对数学史的一次深入了解，更是对人类智慧和创造力的一次礼赞。

1  莱布尼兹丰富多彩的一生

莱布尼兹诞生于德国莱比锡的一个书香之家，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲同样出身于学术世家。在这样的家庭氛围中，莱布尼兹自幼就展现出了非凡的学习天赋。

他 8 岁正式上学，但在此之前，就已经在家中开始了自己的学习生涯，展现出惊人的阅读能力，并养成了哲学思考的习惯。


8 岁时，莱布尼兹进入尼古拉学校，开始正式上学，并在这里学习了 6 年。但他在入学之前就已经接触过学校所开设课程的许多内容，这使他学习起来十分轻松。

莱布尼兹的学习之路并非一帆风顺。他早年经历了家庭变故，父亲的去世给他带来了不小的影响，但并没有阻止他继续前进的脚步。

在莱比锡大学，他不仅学习了拉丁文、希腊文、修辞学等传统课程，还对哲学、数学等学科产生了浓厚兴趣。他的学术视野极为广泛，从古典文化到文艺复兴后的哲学和科学，无不涉猎。

莱布尼兹的才华得到了认可，他17岁就获得了哲学硕士学位，20 岁就完成了《论组合术》的数学论文，这奠定了他在组合数学研究者中的地位。

然而，莱比锡大学以他太年轻为由，拒绝授予他博士学位。这并没有使他气馁，他转学到阿尔特多夫大学，并在那里以出色的表现获得了法学博士学位。


1690 年版《论组合术》的卷首插画。

在学术上取得成就的同时，莱布尼兹也开始了他的社会生涯。他加入玫瑰十字兄弟会担任秘书，开始与社会各界建立联系。积极参与政治和外交活动，成为美因茨选帝侯的重要幕僚。

莱布尼兹的学术兴趣极为广泛，他不仅在数学和哲学上有深刻的见解，在物理学、化学、生物学等领域也有独到的贡献。

在巴黎期间，莱布尼兹的学术生涯达到了一个新的高度。他结识了许多世界一流的思想家和科学家，如惠更斯、阿尔诺、马勒伯朗士等，这些交流对他的学术思想产生了深远的影响。他在这一时期最重要的科学贡献是初步创建了微积分，并成功研制出了第一台能够进行四则运算的手摇木制计算器。


莱布尼兹 1690 年制造的手摇计算器，现存于德国汉诺威的莱布尼兹图书馆。

莱布尼兹给他的祖国赢得了荣耀，然而，在莱布尼兹去世时，德国人还对此毫无认识，无论是在汉诺威还是在柏林，都没有人纪念他。只有法国巴黎科学院发表了一篇庄严悼词，向这位伟大的德国学者、柏林科学院的创始人和首任院长表示敬意。

但无论如何，这位数学、哲学、科学的巨匠，他的名字将在历史的长河中熠熠生辉。

2  加减、乘除之后又一对互逆关系？

在那个科学和技术迅速发展的年代，微积分的诞生如同一场及时雨，滋润了干涸的土地，为解决当时科学界面临的难题提供了强有力的工具。


莱布尼兹是百科全书式的伟大学者，是“样样皆通”的大师。

数学的广阔天地中，加减乘除是我们最熟悉的基本运算，构成了我们解决问题的基石。然而，当我们试图探索更深层次的问题时，这些基本工具就显得力不从心了。

在 17 世纪，随着科技的飞速发展，人们面临着描述和分析变化的复杂性，传统的数学工具已无法满足需求。正是在这样的背景下，微积分应运而生，它不仅为我们提供了新的数学语言，更开启了探索未知世界的大门。

微积分的诞生并非偶然，它是科学发展历史长河中的必然产物。早在古希腊时期，数学家们就已经开始探索求面积和体积的方法，阿基米德的“穷竭法”就是积分思想的雏形。

而在 16 世纪，随着天文学和物理学的发展，如何描述行星运动的轨迹，如何计算物体在重力作用下的速度和距离，这些问题迫切需要新的数学工具来解决。

在这一历史进程中，无数数学家对求解曲线下面积、求曲线的切线等几何问题进行了深入研究。卡瓦列里原理、帕斯卡的“积分三角形”、巴罗的微分三角形等，都是微积分发展史上的重要里程碑。这些方法虽然在特定问题上取得了成功，但它们还未能抓住问题的本质，即微分和积分的互逆关系。

莱布尼兹以其卓越的创造力和深邃的洞察力，站在了前人的肩膀上，开创了微积分的新纪元。他不仅深入研究了前人的成果，更提出了一系列革命性的概念和符号。


1684 年，他发表第一篇微分学论文 《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，定义了微分，并采用微分符号。这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。


1686 年，他发表积分学论文 《深奥的几何与不可分量 及无限的分析》，论述了微分与积分的互逆关系，正式使用积分符号 ∫ 。

莱布尼兹将“无穷小量”引入数学，用 dx 表示变量的微小增量，用 ∫ 表示积分，这些符号至今仍然是微积分中的核心元素。

莱布尼兹的伟大之处在于他发现了微分和积分之间的互逆关系，这可以被看作是继加减、乘除之后的第三对基本数学运算的互逆关系。

我们熟悉的微积分基本定理，就是莱布尼兹提出的，这一定理表明了微分和积分的相互关系，为未来的科学探索提供了强大的工具。

莱布尼兹的工作不仅限于理论的构建，他还将其应用于实际问题的解决，如物理学中的运动定律、经济学中的优化问题等。

可以说，微积分的发明，是数学史上的一次巨大飞跃，它不仅为我们提供了一种新的思维方式，更为我们探索世界的奥秘提供了强大的工具。


汉诺威选帝侯索菲娅将月桂花环戴在莱布尼兹头上 (汉诺威新市政厅墙上的雕塑)。

加减、乘除之后，微积分的互逆关系——微分与积分，成了我们理解变化、描述动态世界的关键。

3  牛顿和莱布尼兹谁先创建了微积分？

然而，微积分的创建并非一帆风顺。在这一过程中，莱布尼兹与牛顿之间的优先权之争，成了科学史上一段引人入胜的佳话。两位科学巨人的思想碰撞，不仅是对个人荣誉的争夺，更是触及了国家和民族的自豪感。

1699 年，瑞士学者尼古拉斯·法蒂奥·丢勒尔首次公开提出牛顿是微积分的“第一发明人”，而莱布尼兹是“第二发明人”。这一言论引发了激烈的辩论，牛顿和莱布尼兹都被卷入了这场风波。

1712 年，英国皇家学会成立了专门委员会来调查此事，而牛顿当时正是学会的主席。1713 年，委员会的报告确认牛顿是微积分的“第一发明人”，这一结论引起了莱布尼兹的强烈不满。他向英国皇家学会提出申诉，并发表了《微积分的历史和起源》，详细叙述了自己研究微积分的过程。


英国皇家学会出具的报告


莱布尼兹指责调查委员会不公的文章

尽管牛顿和莱布尼兹都被公认为微积分的创始人，但他们的方法和符号体系有着明显的不同。

首先，牛顿对微积分的研究是从力学或运动学的角度，从速度概念开始，他考虑了速度的变化问题。莱布尼兹则更多地从几何学的角度，从求切线问题开始，突出了切线概念。

其次，牛顿作为物理学家和力学家，他的工作方式是经验的、具体的和谨慎的，他将微积分成功地应用到许多具体问题以推广他的研究成果，并从实际应用中证明微积分方法的价值。

最后，牛顿在使用符号方面不甚用心，他的符号系统虽然直观，但在表达上较为复杂。而莱布尼兹则发展出了一套更为简洁和系统的符号体系，一直被沿用至今。

牛顿和莱布尼兹的通信记录显示，他们在微积分上的发现几乎是同时的。牛顿在 1665 年发明了微分学，并在 1666 年建立了积分学。而莱布尼兹则在 1673 年开始研究微积分，并在 1675—1676 年间建立了微分学和积分学。两人都发现了微分和积分的互逆关系，但莱布尼兹更早地将这一关系公之于众。


牛顿关于微积分的第一次公开表述，出现在 1687 年出版的巨著《自然哲学之数学原理》中。图为“科学元典丛书”中《牛顿微积分》和《自然哲学之数学原理》的封面。

牛顿和莱布尼兹的优先权之争，虽然在当时引起了巨大的争议，但随着时间的推移，人们逐渐认识到，两位科学家都是微积分的共同创建者。他们的工作不仅为数学领域带来了革命性的变化，更为现代科学的发展奠定了坚实的基础。

今天，当我们使用微积分来解决各种问题时，我们应该铭记这两位伟大科学家的贡献，是他们的智慧和努力，让我们能够站在巨人的肩膀上，看得更远，理解得更深。


左：牛顿，右：莱布尼兹



《莱布尼兹微积分》

[德] 莱布尼兹 著 李保滨 译

科学元典 2024 年 07 月 16 日 19:59 安徽