变分法基础

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变分法基础

原创 埃及王子 埃王的小巢 2024 年 05 月 31 日 01:38 海南

前言

新开一个系列讲最小作用量原理，前面两章铺垫数学背景，即变分法基础。

注意：所有内容均以个人理解讲述，可能存在不严谨等问题，具体学习还请参阅专业教材[1]。

函数

我们知道，函数 y = f(x) 是输入一个数 x ，经过映射 f : x |→ y = f(x) 后，输出一个数 y ，即给一个数得到一个数，这是基本的函数。

泛函

泛函与函数不同，他像一个机器，接收我们输入的函数，它返回一个数。这里要与“函数”区分开：

● 函数是接收“数”输出“数”。

● 泛函是接收“函数”输出“数”。

这里给出几个具体的例子帮助理解：

最速降线问题：给定小球运动的轨道 y(x) ，我们可以得到他的运动时间 t 。这里 t 是的 y(x) 泛函。我们输入函数 y(x)（即轨道），得到一个数 t 。

理想气体准静态过程对外做功：给定气体过程方程 p(V) ，我们可以得到他在过程中对外做的功 W 。在这里，W 是 p(V) 的泛函。

对于泛函，有别于函数 f ，通常我们使用 S 来表述，即：



微分

对于函数，我们为了研究其变化率，引入微分的概念：



导数

有了微分我们可以进一步定义变化率：



变分

类似的，在泛函中，自变量是一个函数，我们自然会想到自变量发生微小变化时所带来的泛函发生的变化，于是引出函数的变分：



我们可以做一个简单的直观证明，如下图所示：


变分与微分运算可交换顺序

我们研究 A 点到 B' 点的变化。有两条路径可走：



结束

我们简单介绍了泛函和变分的概念，接下来我们会进一步引出泛函导数与泛函极值等问题。

写在最后

句子表述或相关证明也许存在问题，欢迎指出和讨论。

参考资料：

[1] 《经典力学》/高显，科学出版社，2023.9

埃王的小巢