不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c的整数解

yangchuanju · 发表于 2024-7-16 11:56

不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c的整数解

不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c总有许多整数解，
方程中的a、c都是整数（正负整数及0），m是正整数；
令b=2m+1，则b是正奇数3,5,7,9,11,13,15,17……，其中包括素数和奇合数。

令m=1,2,3,5,6,8,9……，b=3,5,7,11,13,17,19……是素数；
令m=4,7,10,12,13,14,16,17……，b=9,15,21,25,27,30,33,35……是合数；
其中b=9=3*3,25=5*5,27=3*3*3,49=7*7等是幂数。

yangchuanju · 发表于 2024-7-16 11:57

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-7-16 11:58 编辑

当b是素数或幂数时，每b个a之中总有2个方程有整数解，且两个有整数解方程的a值是相邻的：
a b 3 5 7 9 11
1 0 f f f f
2 1 0 f f f
3 f 1 0 f f
4 5 f 1 0 f
5 8 f f 1 0
6 f f f f 1
7 16 9 f f f
8 21 12 f f f
9 f f f f f
10 33 f 13 f f
11 40 f 16 f f
12 f 28 f f f
13 56 33 f 17 f
14 65 f f 20 f
15 f f f f f
16 85 f f f 21
17 96 57 40 f 24
18 f 64 45 f f

yangchuanju · 发表于 2024-7-16 12:05

以b=11（素数），m=5为例，当a=-17，-16，-6，-5，5，6，16，17，27，28……时c都是整数，不定方程有整数解；
为什么整数解循环出现？
令a2=a1+11k，则a2^2=(a1+11k)^2=a1^2+22k^a1+121k^2；当a1^2-m^2是11的整倍数时，a2^2-m^2=a1^2+22k^a1+121k^2-m^2也必然是11的整倍数，可整除，有整数解。
为什么整数解相邻出现？
a^2-m^2=5^2-5^2=0，0可以被11整除；6^2-5^2=36-25=11，11可以被11整除；(a+1)^2-m^2=6^2-5^2=11，故两个整除解相邻出现。

由于(-a)^2=a^2，故不定方程的整数解是关于a=0对称分布；每b个连续的整数a之中一定有2个相邻的整数解；
其余的b-2的a对应的a^2-m^2都不能被b=2m+1整除，不再有整数解。
a m b a^2-m^2 c
-20 5 11 375 34.09090909
-19 5 11 336 30.54545455
-18 5 11 299 27.18181818
-17 5 11 264 24
-16 5 11 231 21
-15 5 11 200 18.18181818
-14 5 11 171 15.54545455
-13 5 11 144 13.09090909
-12 5 11 119 10.81818182
-11 5 11 96 8.727272727
-10 5 11 75 6.818181818
-9 5 11 56 5.090909091
-8 5 11 39 3.545454545
-7 5 11 24 2.181818182
-6 5 11 11 1
-5 5 11 0 0
-4 5 11 -9 -0.818181818
-3 5 11 -16 -1.454545455
-2 5 11 -21 -1.909090909
-1 5 11 -24 -2.181818182
0 5 11 -25 -2.272727273
1 5 11 -24 -2.181818182
2 5 11 -21 -1.909090909
3 5 11 -16 -1.454545455
4 5 11 -9 -0.818181818
5 5 11 0 0
6 5 11 11 1
7 5 11 24 2.181818182
8 5 11 39 3.545454545
9 5 11 56 5.090909091
10 5 11 75 6.818181818
11 5 11 96 8.727272727
12 5 11 119 10.81818182
13 5 11 144 13.09090909
14 5 11 171 15.54545455
15 5 11 200 18.18181818
16 5 11 231 21
17 5 11 264 24
18 5 11 299 27.18181818
19 5 11 336 30.54545455
20 5 11 375 34.09090909
21 5 11 416 37.81818182
22 5 11 459 41.72727273
23 5 11 504 45.81818182
24 5 11 551 50.09090909
25 5 11 600 54.54545455
26 5 11 651 59.18181818
27 5 11 704 64
28 5 11 759 69
29 5 11 816 74.18181818
30 5 11 875 79.54545455
31 5 11 936 85.09090909
32 5 11 999 90.81818182

yangchuanju · 发表于 2024-7-16 12:11

再以b=15=3*5，m=7为例，当a-23，-22，-17，-13，-8，-7,7,8,13,17,22,23……时c都是整数，不定方程有整数解；
由于(-a)^2=a^2，故不定方程的整数解是关于a=0对称分布；每15个连续的整数a之中一定有4个整数解，其中2个是相邻的；
其中当a的绝对值小于m时，有2个负整数解：a=±2，m=7，b=15=3*5，c=-3。

a m b a^2-m^2 c
-24 7 15 527 35.13333333
-23 7 15 480 32
-22 7 15 435 29
-21 7 15 392 26.13333333
-20 7 15 351 23.4
-19 7 15 312 20.8
-18 7 15 275 18.33333333
-17 7 15 240 16
-16 7 15 207 13.8
-15 7 15 176 11.73333333
-14 7 15 147 9.8
-13 7 15 120 8
-12 7 15 95 6.333333333
-11 7 15 72 4.8
-10 7 15 51 3.4
-9 7 15 32 2.133333333
-8 7 15 15 1
-7 7 15 0 0
-6 7 15 -13 -0.866666667
-5 7 15 -24 -1.6
-4 7 15 -33 -2.2
-3 7 15 -40 -2.666666667
-2 7 15 -45 -3
-1 7 15 -48 -3.2
0 7 15 -49 -3.266666667
1 7 15 -48 -3.2
2 7 15 -45 -3
3 7 15 -40 -2.666666667
4 7 15 -33 -2.2
5 7 15 -24 -1.6
6 7 15 -13 -0.866666667
7 7 15 0 0
8 7 15 15 1
9 7 15 32 2.133333333
10 7 15 51 3.4
11 7 15 72 4.8
12 7 15 95 6.333333333
13 7 15 120 8
14 7 15 147 9.8
15 7 15 176 11.73333333
16 7 15 207 13.8
17 7 15 240 16
18 7 15 275 18.33333333
19 7 15 312 20.8
20 7 15 351 23.4
21 7 15 392 26.13333333
22 7 15 435 29
23 7 15 480 32
24 7 15 527 35.13333333
25 7 15 576 38.4
26 7 15 627 41.8
27 7 15 680 45.33333333
28 7 15 735 49
29 7 15 792 52.8
30 7 15 851 56.73333333
31 7 15 912 60.8
32 7 15 975 65
33 7 15 1040 69.33333333
34 7 15 1107 73.8
35 7 15 1176 78.4
36 7 15 1247 83.13333333
37 7 15 1320 88
38 7 15 1395 93
39 7 15 1472 98.13333333
40 7 15 1551 103.4
41 7 15 1632 108.8
42 7 15 1715 114.3333333
43 7 15 1800 120
44 7 15 1887 125.8
45 7 15 1976 131.7333333
46 7 15 2067 137.8
47 7 15 2160 144
48 7 15 2255 150.3333333
49 7 15 2352 156.8
50 7 15 2451 163.4
51 7 15 2552 170.1333333
52 7 15 2655 177
53 7 15 2760 184
54 7 15 2867 191.1333333
55 7 15 2976 198.4
56 7 15 3087 205.8
57 7 15 3200 213.3333333
58 7 15 3315 221
59 7 15 3432 228.8
60 7 15 3551 236.7333333
61 7 15 3672 244.8
62 7 15 3795 253
63 7 15 3920 261.3333333
64 7 15 4047 269.8
65 7 15 4176 278.4
66 7 15 4307 287.1333333
67 7 15 4440 296
68 7 15 4575 305
69 7 15 4712 314.1333333
70 7 15 4851 323.4

yangchuanju · 发表于 2024-7-16 12:12

太阳先生猜想（求证）：
对于素数或幂数b，不定方程没有负整数解；只有b是异素因子合数（不含幂数）时，不定方程才有负整数解；
可能是正确的。
然而反过去的逆命题——
如果不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c没有负整数解，则b是素数；如果不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c有负整数解，则b是合数；
就不一定是正确的啦，尽管没有找到反例；至少一些幂数也是没有整数解的。

yangchuanju · 发表于 2024-7-16 12:17

将不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c中的(2m+1)改成(2m-1)，有相同的性质和结论。

太阳 · 发表于 2024-7-16 18:01

判断大素数非常困难，难度极大，也找不到捷径路线可走

yangchuanju · 发表于 2024-7-17 21:10

不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c的整数解和负整数解的组数
猜想不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c总有许多组整数解：
如果分母2m+1=b是素数p或p的某次方，则每b个连续a中总有2个整数解，且相邻；
如果分母2m+1=b是合数pq或p^s*q^t，则每b个连续a中总有4个整数解，且其中的2个相邻；
如果分母2m+1=b是三合数pqr或三合幂数p^s*q^t*r^u，则每b个连续a中总有8个整数解，且其中的2个相邻；
如果分母2m+1=b是四合数或四合幂数，则每b个连续a中总有16个整数解，且其中的2个相邻；
如果分母2m+1=b是五合数或五合幂数，则每b个连续a中总有32个整数解，且其中的2个相邻；
如果分母2m+1=b是六合数或六合幂数，则每b个连续a中总有64个整数解，且其中的2个相邻；
……
取b个连续a值【-(b-1)/2——0——(b-1)/2】，其间有2个、4个、8个……整数解，两端总都是0，其余是负整数解：
该段连续b个a值中若只有2个整数解c1=0,c2=0【素数或单素数的幂数（p或p^s)即如此】，则该段中不会再有负整数解；
该段连续b个a值中若有4个整数解c1=0,c2<0,c3<0,c4=0【二合数或二合数的幂数（pq或p^s*q^t)即如此】，则该段中还有2个负整数解；当a只取正整数时，有1个负整数解；
该段连续b个a值中若有8个整数解c1=0,c2至c7<0,c8=0【三合数或三合数的幂数（pqr或p^s*q^t*r^u)即如此】，则该段中还有6个负整数解；当a只取正整数时，有3个负整数解；
该段连续b个a值中若有16个整数解c1=0,c2至c15<0,c16=0【四合数或四合数的幂数（如1155=3*5*7*11)即如此】，则该段中还有14个负整数解；当a只取正整数时，有7个负整数解；
该段连续b个a值中若有32个整数解c1=0,c2至c31<0,c32=0【五合数或五合数的幂数（如15015=3*5*7*11*13)即如此】，则该段中还有30个负整数解；当a只取正整数时，有15个负整数解；
该段连续b个a值中若有64个整数解c1=0,c2至c63<0,c64=0【六合数或六合数的幂数（如255255=3*5*7*11*13*17)即如此】，则该段中还有62个负整数解；当a只取正整数时，有31个负整数解；
……

yangchuanju · 发表于 2024-7-17 21:11

没有负整数解的m和b：
m b 负整数解个数分解式
1 3 0 3 is prime
2 5 0 5 is prime
3 7 0 7 is prime
4 9 0 9=3*3
5 11 0 11 is prime
6 13 0 13 is prime
8 17 0 17 is prime
9 19 0 19 is prime
11 23 0 23 is prime
12 25 0 25=5*5
13 27 0 27=3*3*3
14 29 0 29 is prime
15 31 0 31 is prime
18 37 0 37 is prime
20 41 0 41 is prime
21 43 0 43 is prime
23 47 0 47 is prime
24 49 0 49=7*7
26 53 0 53 is prime
……

有一组负整数解的m和b：
m b 负整数解个数分解式
7 15 1 15=3*5
10 21 1 21=3*7
16 33 1 33=3*11
17 35 1 35=5*7
19 39 1 39=3*13
22 45 1 45=3*3*5
25 51 1 51=3*17
27 55 1 55=5*11
28 57 1 57=3*19
31 63 1 63=3*3*7
32 65 1 65=5*13
34 69 1 69=3*23
37 75 1 75=3*5*5
38 77 1 77=7*11
42 85 1 85=5*17
43 87 1 87=3*29
45 91 1 91=7*13
46 93 1 93=3*31
47 95 1 95=5*19
49 99 1 99=3*3*11
……

有三组负整数解的m和b：
m b 负整数解个数分解式
52 105 3 105=3*5*7
82 165 3 165=3*5*11
97 195 3 195=3*5*13
115 231 3 231=3*7*11
127 255 3 255=3*5*17
136 273 3 273=3*7*13
142 285 3 285=3*5*19
157 315 3 315=3*3*5*7
172 345 3 345=3*5*23
178 357 3 357=3*7*17
192 385 3 385=5*7*11
199 399 3 399=3*7*19
214 429 3 429=3*11*13
217 435 3 435=3*5*29
227 455 3 455=5*7*13
232 465 3 465=3*5*31
241 483 3 483=3*7*23
247 495 3 495=3*3*5*11
262 525 3 525=3*5*5*7
277 555 3 555=3*5*37
280 561 3 561=3*11*17
292 585 3 585=3*3*5*13
297 595 3 595=5*7*17
304 609 3 609=3*7*29
307 615 3 615=3*5*41
313 627 3 627=3*11*19
322 645 3 645=3*5*43
325 651 3 651=3*7*31
331 663 3 663=3*13*17
332 665 3 665=5*7*19
……

有七组负整数解的m和b：
m b 负整数解个数分解式
577 1155 7 1155=3*5*7*11
682 1365 7 1365=3*5*7*13
892 1785 7 1785=3*5*7*17
997 1995 7 1995=3*5*7*19
1072 2145 7 2145=3*5*11*13
1207 2415 7 2415=3*5*7*23
1402 2805 7 2805=3*5*11*17
1501 3003 7 3003=3*7*11*13
1522 3045 7 3045=3*5*7*29
1567 3135 7 3135=3*5*11*19
1627 3255 7 3255=3*5*7*31
1657 3315 7 3315=3*5*13*17
1732 3465 7 3465=3*3*5*7*11
1852 3705 7 3705=3*5*13*19
1897 3795 7 3795=3*5*11*23
1942 3885 7 3885=3*5*7*37
1963 3927 7 3927=3*7*11*17
2047 4095 7 4095=3*3*5*7*13
2152 4305 7 4305=3*5*7*41
2194 4389 7 4389=3*7*11*19
2242 4485 7 4485=3*5*13*23
2257 4515 7 4515=3*5*7*43
2320 4641 7 4641=3*7*13*17
2392 4785 7 4785=3*5*11*29
2422 4845 7 4845=3*5*17*19
2467 4935 7 4935=3*5*7*47
2502 5005 7 5005=5*7*11*13
2557 5115 7 5115=3*5*11*31
2593 5187 7 5187=3*7*13*19
2656 5313 7 5313=3*7*11*23
2677 5355 7 5355=3*3*5*7*17
2782 5565 7 5565=3*5*7*53
2827 5655 7 5655=3*5*13*29
2887 5775 7 5775=3*5*5*7*11
2932 5865 7 5865=3*5*17*23
2992 5985 7 5985=3*3*5*7*19

yangchuanju · 发表于 2024-7-17 21:20

m=7507，b=15015=3*5*7*11的15组负整数解及0解：
a c
137 -3752
578 -3731
787 -3712
1138 -3667
1502 -3603
2503 -3336
3217 -3064
3503 -2936
4427 -2448
4582 -2355
4868 -2175
5428 -1791
5792 -1519
6143 -1240
6793 -680
7507 0

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