【新教材增加】百分位数

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【新教材增加】百分位数

原创 麦思 yhy 麦思解题 2024 年 05 月 23 日 22:00 云南

1. 百分位数的定义

一般地，一组数据的第 p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p% 的数据小于或等于这个值，且至少有 (100-p)% 的数据大于或等于这个值。

2. 未分组数据的第 p 百分位数

（1）按从小到大排列原始数据；

（2）计算 i = n × p% ；

（3）若 i 不是整数，而大于 i 的比邻整数为 j（向上取整）, 则第 p 百分位数为第 j 项数据；

（4）若 i 是整数，则第 p 百分位数为第 i 项与第 (i+1) 项数据的平均数。

3. 四分位数

将所有数值按从小到大排序并分成四等份，处于三个分割点位置的得分就是四分位数。 最小的四分位数称为下四分位数或第一四分位数（即第 25 百分位数）；中点位置的四分位数就是中位数（即第 50 百分位数）；最大的四分位数称为上四分位数或第三四分位数（即第 75 百分位数）。



4. 分组数据的第 p 百分位数

（1）确定第 p 百分位数在区间 [a,b) 内；

（2）用 fa ，fb 分别表示向上累计至点 a ，b 的百分比，则有

，

计算方法类比线段的定比分点的定义（亦即面积之比等于宽之比）。特别地，在频率分布直方图中，第 p 百分位数左侧的小矩形面积之和等于 p% 。

5. 练习

（1）数据 1,3,8,5 的中位数是 ______ ，第 80 百分数是 ______ ，下四分位数是 ______ 。

解：将原始数据从小到大排序 1,3,5,8 共四个数据。中位数为第二个和第三个数据的平均数为 4 ；计算 i = 4 × 80% = 3.2 ，则第 80 白分位数是第四个数据为 8 ；计算  i = 4 × 25% = 3.2 ，则下四分位数是第一和第二个数据的平均数为 2 。

（2）求下列频率分布直方图中的第 60 百分位数（结果保留整数）。



解析：数据小于 30 的占比为 ( 0.01 + 0.07 ) × 5 = 0.4 ；数据小于 35 的占比为( 0.01 + 0.07 + 0.06 ) × 5 = 0.7 。

所以第 60 百分位数位于区间 [30,35) 内，记为 x 。

法一：由 ( x - 30 )／(35-30) = ( 0.6 - 0.4 )／( 0.7 - 0.4 ) ，得 x ≈ 33 。

法二：由 0.4 + ( x - 30 ) × 0.06 = 0.6 ，得 x ≈ 33 。

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