柯西黎曼条件

luyuanhong

柯西黎曼条件

原创 嘉遁蝉雏 复析数理 2024年05月15日 18:04 山西

复函数指的是以复数作为变量的函数，由于复数是由实部和虚部构成的，因此复函数也可以写成实部和虚部都是二元函数的形式来表示。



比如复变函数中的二次函数抛物线可以表示为



下面我们通过观察复变函数的导数和微分，给出柯西黎曼条件。根据导数的定义



极限可以沿着任意方向趋向于 0 ，选择两种不同的趋向如下：   





当复函数可导时，这两个导数是相等的，比较实部和虚部，可以得到：



这就是直角坐标下的柯西黎曼条件，这个条件的逆否命题是，不满足柯西黎曼条件则复函数一定不可导。因此柯西黎曼条件对复函数的可导性、解析性起着很重要的作用，判断一个复函数在区域内是否解析，是否可导，柯西黎曼条件是否满足，就是一个判断的重要方法。不满足柯西黎曼条件，一定不可导，当然也就不解析了，如果在某点满足柯西黎曼条件，就需要用导数的定义，或者其他方法进一步断定是否可导（比如偏导数连续，实部虚部可微分等），前面我们知道二次函数的实部和虚部，它们的偏导数可以计算出来，都是连续的，   



在复平面上处处满足柯西黎曼条件，所以可以得到它是复平面上处处解析的函数。又如复函数



实部虚部函数及其偏导数为   



只在原点满足柯西黎曼条件，用定义判断可以得到在原点的导数为 0 ，



根据柯西黎曼条件，同样可以得到复函数的导数用实部虚部偏导数表示



比如：   



复析数理