[数学分析] 友好的 复分析导读 I

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[数学分析] 友好的 复分析导读 I

原创 O Anqiao Makiror Ouyang 2024年04月19日 16:55 广东

引言

  许久不见，漫长又转瞬即逝的一个月，大家又变强了多少呢？

  在无趣的应试和各种烦人事中，我决定用空闲时间换个心情写复分析了。

  复分析（Complex Analysis）是数学分析的分支，主要研究复数函数的性质，例如解析性、积分、级数等，以及它们在物理、工程、计算机科学等领域中的应用。

  本文内容的顺序会贴合一般复分析学习的大纲，偶尔掺杂点个人的浅见和理解。

  这不是笔记，干不干货不好说，也不是为了某些想速成而应试的笨蛋写的。我并不想严格将内容限于，那种无异于教材注解的刻板的主线，所以请允许我偶尔放飞自我地联系其他数学分支甚至学科的内容。

  本文对读者的建议是至少有初中数学常识。

复数





复解析函数 - 概论

  解析函数这个概念本身可以再被细分为实解析函数（一般我们会说“无穷可微”而非解析）和复解析函数，它们有很多很重要的性质，后者是我们在复分析领域的（可以说是最重要的）研究对象。

  在第一章，我们已经大致了解了作为基础的复数和复平面，现在，我们美好的复分析之旅就从此开始辣！



级数理论

  复函数的级数理论算是复分析里最基础也最重要的部分之一，在我们之后研究解析函数、亚纯函数和黎曼曲面等方面会发挥很重要的作用。



Next

  作为复分析的 P1 ，本文内容量并不大，虽然字数差不多但都是一些基础中的基础（亦称皮毛，但是很重要），之后我可能也会类似地适当在微信平台减少单篇文章的内容（写文章的时间和速度不变）。这是因为之前有不少读者跟我反映单篇文章内容太多，以及从我自身出发，在太长的时间跨度中写同一篇东西的确会多少让我失去兴趣，这是不好的。

  还有，由于我写文章的时间点很离散，经常记忆错乱地心血来潮地写点不合乎顺序的东西，而为它们写的说明，我经常想在以正式的 PDF 发到 Blog 上时去掉。因此我之后可能会选择以同样的精力投入，在微信减少单篇文章内容，以及在一定的进度后将文章以有目录的 PDF 的形式发到 Blog 上，篇章号不变（例如两篇微信文章 xxx I 和 xxx II 合并，在博客编号则会是 xxx I-II）

  简单点说，就是我要把微信当成文章草稿库，爱发多发。把文章整理好，完善，废话说明都去掉，再扔到博客。

  至于复分析基础文章的后续，应该重点就是共形映射、傅里叶变换、复积分这三兄贵，由于理论交叉来交叉去，“说完这又要扯那” 的很麻烦，我还是得斟酌一下后续内容的组织。

引用资料

  写完才发现我好像也没参考什么，仅列点曾用的教材（一般概念可以参考 Wiki ）：

1. Lars V. Ahlfors. Complex ANALYSIS

2. 钟玉泉 《复变函数论》

Ouyang Anqiao 01:36 13/04/2024

gzanqiao@hotmail.com

O Anqiao