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0)【定义】\(A_n:=\{m\in\mathbb{N}: m>n\}\,(A_n^c=\{m\in\mathbb{N}: m\le n\})\)
\(\quad N_{\infty}:=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n\)
1)对任意\(m\in\mathbb{N}\), 只要\(n\ge m\) 就有 \(m\not\in A_n\) 所以
\(\quad\forall m\in\mathbb{N}\,(m\not\in\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=N_{\infty})\)
\(\quad\)故\(N_{\infty}\)不含任何自然数,即\(N_{\infty}=\varnothing\quad\square\)
2)据定义 \(A_m=\mathbb{N}-A_m^c\) 将\(\le m\)的自然数从\(\mathbb{N}\)排除.
所以\(N_{\infty}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{k=1}^\infty A_k\) 排除一切\(n\in\mathbb{N}\)
\(\therefore\;\;N_{\infty}=\varnothing.\)
3)从 \(1\sim 2\)) 知道 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,\ldots\}\subset A_m\,(\forall m\in\mathbb{N})\)
\(\quad\)推不出\(N_{\infty}\ne\varnothing.\) 这连个门外汉都知道.
4) \(\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}B_n\subseteq\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}C_n,\,\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}B_n\subseteq\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}C_n\,(B_n\subseteq C_n).\)
\(\quad\)参见周民强【实变函数论】我们有
\(\quad\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}B_n=\{m\mid \forall n\,\exists k\ge n\,(m\in B_k)\}\)
\(\qquad\subseteq\{m\mid \forall n\,\exists k\ge n\,(m\in C_k)\}=\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}C_n\)
\(\quad\)仿此证下极限集的包含关系.
\(\quad\)进而对收敛集列,\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}B_n\subseteq\lim_{n\to\infty}C_n\,(B_n\subseteq C_n).\)
5)据 4)立得 \(\varnothing\subseteq\displaystyle N_{\infty}\subseteq\lim_{n\to\infty}[n,\infty)=\varnothing\)
6)\(\because\;\{m\}\subseteq A_m^c,\;\;\therefore\;\mathbb{N}=\displaystyle\bigcup_{m\in\mathbb{N}}\{m\}\subseteq\bigcup_{m\in\mathbb{N}}A_m^c\subseteq\mathbb{N}\)
\(\therefore\;\;\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n^c=\mathbb{N},\) 进而\(\;N_{\infty}=\varnothing\,(德摩根).\)
【注记】集合不是数域中的数, 集合的无穷交, 无穷并以及极限集
的算法不能过分依赖初等微积分的直觉。
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