一般位置的椭圆坐标变换：先平移再旋转

天山草

所谓一般位置的椭圆，是指椭圆的长、短轴或其延长线均不通过坐标系原点的椭圆。这种椭圆如果将椭圆中心移到坐标系原点、并使椭圆轴线旋转到与坐标轴重合，从而使椭圆方程化为标准形式，可以有两种变换方式，一种是先旋转、后平移，另一种是先平移、后旋转。

（问题一）如果是先平移、后旋转，其变换过程非常容易理解，因为一般位置的椭圆的中心坐标有明确的公式，所以可得到椭圆平移后的方程。接下来进行旋转变换时，旋转轴即是坐标系的原点。旋转角度有本论坛陆教授推导出的公式可用（见http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D2），此公式也可见于某些数学手册。

（问题二）但是如果是先旋转、后平移的变换，其旋转角度仍可使用陆教授的公式，但是旋转轴在哪里？是一个我至今没有想明白的问题。

下面先说（问题一），这个问题已得到解决，应该无可争议。



举个例子， 一般位置椭圆 \( 0.96x^2-0.26xy+1.08y^2-8x-8y+30=0 \) 的图像是：



平移后的图像是：



旋转后得到最终的标准图像：



旋转后短轴水平放置的图像：

天山草

（问题二）但是如果是先旋转、后平移的变换，其旋转角度仍可使用陆教授的公式，但是旋转轴在哪里？是一个我至今没有想明白的问题。



举例 : 一般位置椭圆 \( 0.96x^2-0.26xy+1.08y^2-8x-8y+30=0 \)的图像：



先做旋转变换。思考一下，旋转轴可能在哪里？不可能在坐标系原点；在椭圆长轴的延长线上吗？经计算也不对。

【注： 一般位置的椭圆图像，其长轴或短轴（延长线）如果恰好通过坐标系的原点，那么进行旋转变换时，旋转轴就是坐标系的原点】

旋转后的图像：



然后平移得到标准图像：

天山草

关于椭圆的坐标变换，翻到一页前苏联的数学手册，这书距今天有 70 年了，

天山草

椭圆曲线中心表达式中的分母 \(δ=ac-b^2 \)。因此椭圆中心的表达式与 1# 楼的相同。

式中有个 \(tan2α=\frac{2b}{a-c}\)，表示旋转 \(α\) 角， \(sin2α\) 的符号要与  \(2b\) 的符号一致。与此同时，

角度系数  \(k=\frac{c-a+\sqrt{(c-a)^2+4b^2}}{2b} \) 是什么意思？如何使用？

Nicolas2050

一个技校生也搞所谓的问题研究？笑死人了。

ysr

我正告那些狗汉奸:科学真理不可辱，牛屎羊粪不可食，中华民族不可欺！

ysr

我正告那些崇洋媚外的叛徒和狗汉奸:科学真理不可辱，牛屎羊粪不可食，中华民族不可欺！
多行不义必自毙！

Future_maths

关于几何变换的书多的很！

ysr

“社会的发展与进步，从来就不是单靠喊口号就能实现的，你连基本的科学工具都不会使用，在这扯犊子呢？国家靠你这样的人能发展？老老实实的学习本领吧，幸好国家民族是靠千千万万个像我这样的知识分子发展。”？
你是哪根葱？