George Lusztig 荣获 2022 沃尔夫数学奖

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George Lusztig 荣获 2022 沃尔夫数学奖

数学经纬网 2022-02-09 23:07

据沃尔夫奖官方网站消息，罗马尼亚裔美国数学家 George Lusztig 由于在表示论及相关领域的开创性贡献获得 2022 沃尔夫数学奖（Wolf Prize in Mathematics, 2022）。


George Lusztig，来源：https://wolffund.org.il/2022/02/08/george-lusztig/

Lusztig ，美籍罗马尼亚数学家，研究几何有限约化群的表示理论和代数群。Lusztig 的工作具有高度的独创性、包含宽泛的主题、卓越的精湛技术，并且深入到所涉及问题的核心。Lusztig 的开创性贡献标志着他是我们这个时代最伟大的数学家之一。

他对数学的热情始于小时候。事实上，正是中小学的数学竞赛让他意识到自己在数学方面的天赋。8 年级时，他代表罗马尼亚参加了 1962 年和 1963 年的国际数学奥林匹克竞赛（IMO），两次获得银牌。Lusztig 于 1968 年毕业于布加勒斯特大学，1971 年在 Michael Atiyah 和 William Browder 的指导下从普林斯顿大学毕业，获得硕士和博士学位。在 1974-77 年在华威大学被聘为教授，之后他于 1978 年加入麻省理工学院数学系。1999-2009 年，他被任命为麻省理工学院 Norbert Wiener 教授。

Lusztig 以其在表示论方面的工作而闻名，尤其是对与代数群密切相关的对象的研究，如有限约化群、Hecke 代数、P-进群、量子群和 Weyl 群。他基本上为现代表示论铺平了道路。这包括一些基本的新概念，包括特征标层（character sheaves）、“Deligne-Lusztig”簇和“Kazhdan-Lusztig”多项式。

Lusztig 的第一个突破是 1975 年左右与 Deligne 一同构建了 Deligne-Lusztig 表示。然后，他得到了有限域上约化群的不可约表示的完整描述。Lusztig 对有限约化群的特征标表的描述是 20 世纪由单独数学家做出的最非凡的成就之一。为了实现他的目标，他发展了一整套至今仍被数百名数学家使用的技术。其亮点包括平展上同调的使用；对偶群的作用；相交上同调的使用，以及随后的特征标层理论，近似特征标（almost characters），以及非交换傅里叶变换。

1979 年，Kazhdan 和 Lusztig 定义了 Coxeter 群的 Hecke 代数的“Kazhdan-Lusztig”基，并提出了“Kazhdan-Lusztig”猜想。“Kazhdan-Lusztig”猜想直接导致了“Beilinson-Bernstein”局部化定理，40 年后，它仍然是我们理解 约化李代数表示的最有力工具。Lusztig 与 Vogan 的合作引入了“Kazhdan-Lusztig”算法的变体，生成了“Lusztig-Vogan”多项式。这些多项式是我们理解实约化群及其酉表示的基础。

在 1990 年代，Lusztig 对量子群论做出了开创性的贡献。他的贡献包括引入典范基；引入 Lusztig 形式（允许单位根，与模表示建立联系）；量子 Frobenius 和小量子群；以及与仿射李代数的表示论的联系。Lusztig 的典范基理论（以及 Kashiwara 的晶体基的平行理论）在组合学和表示论方面取得了深刻的成果。最近通过“范畴化”在表示论和低维拓扑方面取得了重大进展；这项工作的根源可以追溯到 Lusztig 通过箭图模上的偏曲层（perverse sheaves on quiver moduli）对量子群进行的几何分类。



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