探讨比尔方程的内在实质

费尔马1

整系数、整次幂、整式方程有正整数解，这样的不定方程也称为丢番图方程。比尔方程就是丢番图方程的一类。
不定方程X^a+Y^b=Z^c，当三个指数a、b、c都大于2时，本来就不存在三个底数X、Y、Z两两互质，这时候解方程就要采用“逐项配方法”。
例如，解不定方程X^3+Y^5=Z^7
先选择一个参数恒等式，例，
a^2+b^2=c^2………………㈠
①  ㈠式两边同乘以a得
a^3+ab^2=ac^2…………㈡
②㈡式两边同乘以(ab^2）^(3k）
必有3k+1=5t，最小解，k=3，t=2
则有 (a^4*b^6）^3+(a^2b^4）^5=(a^5b^9c)^2………………㈢
③㈢式两边同乘以(a^5b^9c)^15k
必有15k+2=7t，解得k=5，t=11
则有，(a^129*b^231c^25）^3+(a^77b^139c^15）^5=(a^55b^99c^11)^7………………㈣
在㈣式中，令X=a^129*b^231c^25
Y=a^77b^139c^15
Z=a^55b^99c^11
则有 X^3+Y^5=Z^7
其中a、b、c为勾股数。
变换开始的“参数恒等式”又可得到其它的解集通式，因此，不定方程X^3+Y^5=Z^7有无穷多个解集通式。每一个解集通式又有无穷多组正整数解。