一条漏网大鱼

yangchuanju

一条漏网大鱼
太阳先生梦寐以求地多方寻求素数公式，今天怎么把到手的一条大鱼给放走了？

整数a>0,k>0,满足条件式(2^k-2)/k=a的k必定是素数！（起码k小于等于61时k是素数）
整数c>0,k>0,满足条件式(3^k-3)/k=c的k必定是素数！（当k=6时条件式成立，但6不是素数）
若必须同时满足两条件：
整数a>0,c>0,k>0,满足条件式(2^k-2)/k=a,(3^k-3)/k=c的k必定是素数！（起码k小于等于61时k是素数）

思考？至今世上无人找到“素数公式”，难道如此简单的一个或两个条件式真的是素数公式吗？

yangchuanju

验证数据一：
k        (2^k-2)/k=2*[2^(k-1)-1]/k=2*(2-1)*[2^(k-2)+2^(k-3)+…+1]/k=2[2^(k-2)+2^(k-3)+…+1]/k
4        2^3-1=2^2+2^1+1=7        2*7=14不能被4整除
5        2^4-1=2^3+2^2+2^1+1=15        2*15=30能被5整除
6        31        10.33333333
7        63        18
8        127        31.75
9        255        56.66666667
10        511        102.2
11        1023        186

k        （3^k-3）/k=3*[3^(k-1)-1]/k=3*(3-1)*[3^(k-2)+3^(k-3)+…+1]/k=6*[3^(k-2)+3^(k-3)+…+1]/k
4        3^3-1=2*(9+3+1)=26        3*26=78不能被4整除
5        3^4-1=2*(27+9+3+1)=80        3*80=240能被5整除
6        3^5-1=2*(81+27+9+3+1)=242        3*242=726能被6整除

yangchuanju

验证数据二（k=1-32）：
k        (2^k-2)/k        可整除k        (2^k-3)/k        可整除k
1        0        1        0        1
2        1        2        3        2
3        2        3        8        3
4        3.5        —        19.5        —
5        6        5        48        5
6        10.33333333        —        121        6
7        18        7        312        7
8        31.75        —        819.75        —
9        56.66666667        —        2186.666667        —
10        102.2        —        5904.6        —
11        186        11        16104        11
12        341.1666667        —        44286.5        —
13        630        13        122640        13
14        1170.142857        —        341640.4286        —
15        2184.4        —        956593.6        —
16        4095.875        —        2690419.875        —
17        7710        17        7596480        17
18        14563.44444        —        21523360.33        —
19        27594        19        61171656        19
20        52428.7        —        174339219.9        —
21        99864.28571        —        498112057.1        —
22        190650.0909        —        1426411800.273         —
23        364722        23        4093181688.000         23
24        699050.5833        —        11767897353.250         —
25        1342177.2        —        33891544377.600         —
26        2581110.077        —        97764070320.231         —
27        4971026.889        —        282429536480.889         —
28        9586980.5        —        817028301962.786         —
29        18512790        29        2366564736720.000         29
30        35791394.07        —        6863037736488.200         —
31        69273666        31        19924948267224.000         31
32        134217727.9        —        57906880901619.900         —

yangchuanju

验证数据二（k=33-61）：
k        2^k-2  （2^k-2)/k        k        3^k-3  (3^k-3)/k        可整除k
33        8589934590.000         33        5559060566555520        ——
—        260301048.182         —        168456380804712.727        ——
34        17179869182.000         34        16677181699666566        ——
—        505290270.059         —        490505344107840.176        ——
35        34359738366.000         35        50031545098999704        ——
—        981706810.457         —        1429472717114277.257        ——
36        68719476734.000         36        150094635296999118        ——
—        1908874353.722         —        4169295424916642.166        ——
37        137438953470.000         37        450283905890997360        ——
—        3714566310.000         —        1216983529435128        37
38        274877906942.000         38        1350851717672992086        ——
—        7233629130.053         —        35548729412447160.157        ——
39        549755813886.000         39        4052555153018976264        ——
—        14096302920.154         —        103911670590230160.615        ——
40        1099511627774.000         40        12157665459056928798        ——
—        27487790694.350         —        303941636476423219.95        ——
41        2199023255550.000         41        36472996377170786400        ——
—        53634713550.000         —        889585277491970400        41
42        4398046511102.000         42        109418989131512359206        ——
—        104715393121.476         —        2605214026940770457.285        ——
43        8796093022206.000         43        328256967394537077624        ——
—        204560302842.000         —        7633882962663652968        43
44        17592186044414.000         44        984770902183611232878        ——
—        399822410100.318         —        22381156867809346201.772        ——
45        35184372088830.000         45        2954312706550833698640        ——
—        781874935307.333         —        65651393478907415525.333        ——
46        70368744177662.000         46        8862938119652501095926        ——
—        1529755308210.040         —        192672567818532632520.130        ——
47        140737488355326.000         47        26588814358957503287784        ——
—        2994414645858.000         —        565719454445904325272        47
48        281474976710654.000         48        79766443076872509863360        ——
—        5864062014805.290         —        1661800897434843955486.666        ——
49        562949953421310.000         49        239299329230617529590080        ——
—        11488774559618.600         —        4883659780216684277348.571        ——
50        1125899906842620.000         50        717897987691852588770246        ——
—        22517998136852.400         —        14357959753837051775404.92        ——
51        2251799813685250.000         51        2153693963075557766310744        ——
—        44152937523240.100         —        42229293393638387574720.470        ——
52        4503599627370490.000         52        6461081889226673298932238        ——
—        86607685141740.300         —        124251574792820640364081.5        ——
53        9007199254740990        53        19383245667680019896796720        ——
—        16994715574983        —        365721616371321130128240        53
54        18014398509481982        54        58149737003040059690390166        ——
—        333599972397814.481        —        1076846981537778883155373.44        ——
55        36028797018963966        55        174449211009120179071170504        ——
—        655069036708435.745        —        3171803836529457801294009.16        ——
56        72057594037927934        56        523347633027360537213511518        ——
—        1286742750677284.535        —        9345493446917152450241277.10        ——
57        144115188075855870        57        1570042899082081611640534560        ——
—        2528336632909752.105        —        27544612264597923011237448.42        ——
58        288230376151711742        58        4710128697246244834921603686        ——
—        4969489243995030.034        —        81209115469762841981406960.10        ——
59        576460752303423486        59        14130386091738734504764811064        ——
—        9770521225481754        —        239498069351503974657030696        59
60        1152921504606846974        60        42391158275216203514294433198        ——
—        19215358410114116.233        —        706519304586936725238240553.3        ——
61        2305843009213693950        61        127173474825648610542883299600        ——
—        37800705069076950        —        2084811062715550992506283600        61

yangchuanju

为什么代数式(2^k-2)/k只在k是素数时才是整数（整除）？
已被验证，存在少量反例。

2^k-2=2*[2^(k-1)-1]，当k大于2时2不能整除k，若能整除则一定发生在2^(k-1)-1因式中。
我们知道，2^p-1之中含有许多素数——梅森素数，其中的指数p是素数。
当k是素数时，k-1一定不再是素数；但当k不是素数时，k-1也可能是素数，也有可能是合数。

当k=1时，2^1-2=0；当k=2时，2^2-2=2；不讨论。
当k=3时，2^3-2=2*(2^2-1)=2*(2-1)*(2+1)=2*1*3=2*3,(2^3-2)/3=2，整除发生；
当k=4时，2^4-2=2*(2^3-1)=2*(2-1)*(2^2+2+1)=2*1*7=2*7,(2^3-2)/4不能整除；
当k=5时，2^5-2=2*(2^4-1)=2*(2^2-1)*(2^2+1)=2*3*5,(2^5-2)/5=30/5=6，整除发生；
当k=6时，2^6-2=2*(2^5-1)=2*(2-1)*(2^5-1)=2*1*(2^4+2^3+2^2+2+1)=2*31,(2^6-2)/6不能整除；
当k=7时，2^7-2=2*(2^6-1)=2*(2^3-1)*(2^3+1)=2*7*9,(2^7-2)/7=2*9=18，整除又发生；
……
上面的几次整除分别发生在k=3,5,7时，加上(2^2-2)/2=2/2=1也是可整除的，
依此猜想（推测）当k是素数时(2^k-2)可以被k整除。
继续验证下去，在k小于等于61时，只有k=11,13,17,19，……61时才可整除；
当k≤61不是素数时均不能整除。

例当k=11时，2^11-2=2046,
2046=P1 * P1 * P2 * P2
P1 = 2
P1 = 3
P2 = 11
P2 = 31
2046可以被11整除。

2^11-2=2*(2^10-1)=2*(2^5-1)*(2^5+1)=2*31*33，33可被11整除，故2^11-2可被11整除。
类似地2^13-2=2*(2^12-1)=2*(2^6-1)*(2^6+1)=2*63*65，65可被13整除，故2^13-2可被13整除。
当k是奇素数时，k-1是偶数，设k-1=2t，则2^k-2=2*[2^(k-1)-1]=2*(2^t-1)*(2^t+1)，
其中第二因式2^t-1=2^(t-1)+2^(t-2)+…+2+1=1,3,7,15,31,63,127,255,511,1023……，
第三因子2^t+1=3*[2^(t-1)-2^(t-2)+…-2+1]=3,5,9,17,33,65,129,257,513,1025……；
原式的分母k=2t+1含在哪个因式中需视具体情况（数值）确定。

采用同样的方法处理(3^k-3)/k也会得到类似的结论，只有当k是素数时才有整除发生。
请注意：当k=6时(3^6-3)/6=726/6=121整除发生，暂且作为反例处理。
上述两式先行验证至k=61，均成立。

思考：既然(3^k-3)/k存在反例k=6，那么(2^k-2)/k中有没有反例：
(3^k-3)/k中有没有更大的反例？
有没有不是素数的k使得(2^k-2)/k,(3^k-3)/k都能整除？

有人已经验证这样的反例是存在的，当k=2465,2821等合数时(2^k-2)/k,(3^k-3)/k都能整除。
猜想只有当k是素数时(2^k-2)和(3^k-3)可以被k整除不正确！

yangchuanju

大鱼窜网跑掉了，跑就跑了吧，没有什么可吝惜的！
2^n-1之中含有许多素数，此类素数都集中在2^p-1中，式中p是素数，被赋予专用名称——梅森数；
梅森数并非都是素数，其中只有少量素数，又被赋予另一个专有名词——梅森素数。

2^k-2稍加变形就是2^n-1类的数字，因为2^k-2=2*[2^(k-1)-1]，令k-1=n，则2^k-2=2*[2^n-1]；其中没有素数，都是合数（偶数）。这些偶数中有一些含有因子k，有一些不含因子k；即(2^k-2)/k可能是整数，也可能不是整数。
什么情况下(2^k-2)/k是整数呢？（即2^k-2可被k整除）
在小范围内试验（k≤61）表明，当k是素数时，(2^k-2)/k是整数；当k不是素数时，(2^k-2)/k不是整数。
已经被证明，当k取较大的2465和2821等合数时(2^k-2)/k是整数，暂且认为它们是“反例”。

一度认为(2^k-2)/k是一个大家都梦味以求的“素数公式”，其实非也。
且不说其中存在反例，单就(2^k-2)/k而言，它大部分时候不是整数（更不是素数）；只有k是素数时(2^k-2)/k才是整数。
当k是素数时(2^k-2)/k是素数吗？答案是否定的，不是！（有没有(2^k-2)/k型的素数待探讨）
那分子(2^k-2)就更不是素数啦。

既然(2^k-2)和(2^k-2)/k都不是素数，那条大鱼跑就跑了吧，根本没什么可吝惜的！