Furstenberg和Smale教授荣获2006/7年度沃尔夫数学奖[国际数学进展]

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Furstenberg和Smale教授荣获2006/7年度沃尔夫数学奖

来源：沃尔夫基金会官方网站 www.wolffund.org.il
校对：尚在久研究员 翻译：魏敏
Stephen J. Smale教授在20世纪50年代末60年代初微分拓扑发展初期对这一领域做出了巨大贡献。他那时关于球在欧几里得空间中浸入的结果仍然引起当今数学家们的关注，关于他所谓的球面“反转”的最新影像作品就见证了这一点。他对五维和五维以上情形庞加莱猜想的证明是20世纪的伟大数学成就之一。他的h-配边定理已经成为微分几何中或许是最基础的工具。
二十世纪60年代，Smale教授重塑了动力系统世界的面貌。他关于双曲系统的理论仍然是继庞加莱之后动力系统的主要进展之一。他在这一时期的工作也为后来所谓的“混沌学说”提供了数学理论基础。他在二十世纪60年代初期的工作戏剧性地改变了无限维流形的分析和拓扑学的研究，那就是他的无穷维Morse临界点理论（现以“Palais-Smale理论”闻名）和他的无穷维Sard定理。
二十世纪70年代，Smale教授的注意力转向力学和经济学，他将拓扑学和动力系统的思想运用其中。例如，在力学中他的“修正势”的概念在相对平衡点的稳定性和分支方面的新近发展中起到了关键性的作用。在经济学方面，Smale教授运用他自己发展的关于多目标最优化的一个抽象理论，给出了Pareto最优的存在性条件，并把此Pareto最优集用微分同胚于Pareto均衡集的状态构成的一个子流形来刻画。他还证明了在非常弱的假设下一般均衡的存在性，而且还为计算这种均衡状态发展了可用的算法。
正是此项工作使得Smale教授从80年代初开始从事计算理论和计算数学的研究，这是他学术生涯的最长阶段。与关注直接求解具体问题的科学计算主流研究相反，他发展了一套连续计算的算法理论和复杂性分析方法（类似于计算机科学家发展的离散计算的算法理论及其分析方法），并且针对许多具体问题设计、分析了具体算法，其中若干分析方法成为运用深刻的数学理论研究数值计算的典范。

Harry Furstenberg教授是一位精通概率论、遍历理论和拓扑动力学的大师。他的主要贡献在于将遍历论思想应用于数论和组合数学，以及将概率论思想应用于李群及其离散子群。
在概率论方面，Furstenberg教授引领了随机矩阵乘积理论的研究，他率先阐明了随机矩阵乘积的极限行为与李群的深刻的结构定理之间的紧密联系，这一结果以及受其主要影响而发展起来的所有后续工作已经作为一个专门分支不仅在概率论方面，而且在统计物理和其它领域显示了重要影响。
在拓扑动力系统方面，Furstenberg教授通过引进全新的技术证明了极小distal流的结构定理，使本领域发生了变革。他关于负常曲率曲面上极限圆流是唯一遍历的定理已成为李群作用所定义的动力系统理论的主要内容。在齐次空间上随机过程的研究方面，他引进了平稳方法，对该方法的研究导致他定义了现在被称之为群的Furstenberg边界的概念。他关于群上随机游走的渐近行为的研究，对该领域中诸如李群中格的研究和李群作用的上闭链等后续工作产生了持久的影响。
在遍历理论方面，Furstenberg教授发展了动态嵌入的基本概念，由此导致他的遍历理论在组合数学中极具洞察力的应用，如关于算术级数的Szemeredi定理一个新的证明及其各种深入推广。