四色定理

费尔马1

一个中心国的周围有偶数(或奇数)个邻国，当为奇数个邻国时，这些邻国最多用三种颜色(设这三种颜色为1、2、3)，而且3可以只填一个国，其它的国全部填1、2间隔，当这些邻国再向外围邻国时，3可以调到只属于一个邻国，这些邻国的某个国家最多相邻三种颜色，所以，该国可用颜色4，(原来的中心国也是4)，如此反复，就可以只用四种颜色填充所有的国家。
图略。

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设平面上某个区域内有n个“中心国”单位，每个中心国的最外圈都是最多只有三种颜色，中心国与中心国之间的“空隙”采用第四种颜色，所形成的整个地图的最外圈一定可以是三种颜色，所以，这个地图还可以继续向外扩充。总之，在填色的时候，保持最外圈最多采用三种颜色，这张地图就可以采用四种颜色永远填充下去。
前三种颜色称为“实战色”，第四种颜色称为“急动色”，不到万不得已，一般不采用第四种颜色。这是填充颜色的规则。

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关于四色定理的证明，以学生看来，填充方法就是证明过程。
为什么要用四种颜色呢？一维是线，二维是平面，在平面内，最简单的图形是三角形，最复杂的图形是圆，因为两条线段构成一个角，三条线段才能构成一个能计算面积的平面图形，我们把一个三角形看成是一个中心国，他的周围有三个邻国，这就需要四种颜色。
把一个圆看成是一个中心国，他的周围有n个邻国，这也需要四种颜色。可见四种颜色是由于邻国的个数的奇偶性决定的，大的地图是由多个中心国单位圈组合而成的。