与张彧典先生交换汉斯刊登的两篇有关四色问题的文章

雷明85639720

与张彧典先生交换汉斯刊登的两篇有关四色问题的文章
雷  明
（二○二一年七月三日）

老张朋友：
现在我把我看了汉斯2019年所发表的两篇有关四色猜测证明的文章后的感想与你进行交换：
先说韓文镇的文章：
1、由于我以前同样也认为泰特猜测——无割边的3—正则平面图的可3—边着色与其可4—面着色是等价的——是正确的，所以也就认为韩文镇的证明也应是没有问题的。但他的文章很多地方我是看不明白的，不知道他是在说什么。这可能是因为我们的证明方法不同，我一时还进入不了他的思路中去的原因吧。我只是向他提出了要他把文字写得一定要让读者能看明白的要求，并指出了很多要他如何修改文字的地方。
2、我以前看的文件是他发表了的论文，还是别的文件，我也记不清了。但我这次看了汉斯上发表的他的文章，感到文字还是那样，并没有什么改动。虽与我以前看到的有小的出入，但差别很小。所以我就认为我们以前交换意见时，他的文章可能还没有发表出来。
3、最近我又对我的有关证明泰特猜想的文章又进行了认真的着磨，认为泰特猜想还是有一定的问题，我对其又持相反的态度，似乎又对泰特猜想又持否定态度了。怎么能把一个是对“边”的着色与一个是对“面”的着色说成是“等价”的呢？至少这个用词“等价”是不正确的。即就是可3—边着色的无割边的3—正则平面图是可以进行可4—面着色的，也不能用“等价”一词来说明。这明明是不同的两回事嘛，所以不能是“等价”的。从这一点上我对泰特猜想是持否定态度的。
4、我是这样想的，如果任何3—正则平面图都是可3—边着色的，那么图中一定有由四种情况的颜色的边所围成的面：由两种颜色的边围成的面有三种，即 ① 1、2两种颜色的边，② 1、3两种颜色的边，③ 2、3两种颜色的边所围成的偶数边面和 ④ 由1、2、3三种颜色所围成的奇数边面，共四种。把每种情况的面各用一种颜色代表，看上去，似乎是四种情况的面，各用一种颜色，是理所当然的。似乎泰特猜想也是有一定道理的。
5、但仔细一想，难道就没有相同颜色的边围成的面相邻吗？难道就不能有用1、2两种颜色的边构成的两个偶数边面共用一条1色边（或2色边）相邻吗？难道也不能有用三种颜色的边构成的两个奇数边面共用一条1色边（或2色边，或3色边）相邻吗？若存在这种种况时，这两个面该怎么着色呢？并且我们也不可能证明在可3—边着色的3—正则平面图中，用相同的两种颜色的边所围成的偶数边面相互相邻的情况是不存在的，也不能证明可3—边着色的3—正则平面图中，三种颜色的边所围成的奇数边面相互相邻的情况是不存在的。正四面体所对应的图，就是这种情况。正四面体的四个面都是由三种颜色围成的三边形面，且两两面均是相邻的。在这种情况下总不能把正面体的四个面都着成同一种颜色吧。还有正十二面体，每一个面也都是由三种颜色的边围成的，也总不能把正十二面体的各个面都着成同一种颜色嘛！
6、但我又想，虽然用自已的思路对泰特猜想是持否定态度的，在边着色与面着色之间是不能用“等价”一词的。但有没有可以用别的办法，从别的角度去证明可3—边着色的无割边的3—正则平面图一定是可4—面着色的呢？这完全是有可能的。看了韩文镇的论文，我认为他的观点还是可以行得通的。
7、韩文镇在对可3—边着色的无割边的3—正则平面图（地图）进行研究时，不但发现了其对偶图（极大平面图）中的每个三角形面的三条边也正好也都是用了三种颜色，而且还发现了一个规律：① 对偶图中每种单一色线（即由同一种颜色的边所构成的道路）的条数都是大于等于2的；② 如果单一色线上带有圈时，该圈一定是偶圈；③ 圈内的顶点也一定构成了一条单一色线；④ 但圈内的这条单一色线与圈外的其他同种颜色的单一色线却是不相连通的。韩文镇并且看到了，若把相邻的两条单一色线上的各个顶点分别着上A、B二色和C、D二色时，正好把地图的对偶图中的顶点着完，即正好把地图中的面着色完成了。而图中的顶点，也没有相邻两顶点用同一种颜色的情况。这正好弥补了我在前面说的不能证明在可3—边着色的3—正则平面图中，由相同颜色的边所围成的面相互相邻是不存在的问题。
8、因此，我现在认为：一个平面图的边着色与其面着色是没有任何关系的。边着色要求的是连接着同一个顶点的边都一定是不同的颜色，或者说两条相关联的边不用同一种颜色；而面着色则要求的是两个相邻的面不用同一种颜色，而却没有说与同一个面相邻的所有面都得要用不同的颜色。韩文镇的证明中，在所做的可3—边着色的无割边的3—正则平面图的对偶图中，却出现了单一色线，即连续的多条边都用了同一颜色的情况，所以这是不符合边着色的要求的，不是地图的对偶图的边着色图。更不能说地图的对偶图也是可3—边着色的。但韩文镇用这样的图来分析问题，我认为还是可以的。
9、只能说无割边的3—正则平面图（地图）的面着色与其对偶图——极大平面图的顶点着色是等价的，因为该两种图是相互对偶的图。地图中的顶点就是极大图中的面，地图中的面则是极大图中的顶点；而极大图中的顶点就是地图中的面，极大图中的面则是地图中的顶点。地图中的顶点数与其对偶图中的面数是相等的；而地图中的面数则与其对偶图中的顶点数是相等的。直接把地图中的边着色搬到其对偶图——极大平面图——上去所得到的图，并不是极大图的边着色图。因为图中出现了同一颜色的边连接着同一个顶点，这是不附合边着色的规定的。
10、四色问题研究的是顶点着色（平面图着色）和面着色（地图着色）的问题，而不是边着色的问题，并与边着色无任何关系。所以不能认为证明了无割边的3—正则平面图（地图）的可3—边着色的问题，就等于证明了其可4—面着色的问题，也不能认为就等于证明了地图的对偶图——极大平面图——的顶点可4—着色的问题。而只能说，因为可3边着色的无割边的3—正则平面图（地图）是可以4—面着色的，所以也就简接的证明了四色猜测是正确的。
11、韩文镇证明的第二部分，即证明任何无割边的3—正则平面图一定都是可3—边着色时，前面都说得都比较明白，但在面文字上就有点不明白了。比如下面的话：
“另外，上图10如果点1与点7连接，偶数环不与点9、15连接，那么这根连接线可以在环外部，但环上的点与环外的点之间的连接线还是会保有以上性质，就是线数是偶数，同一色线也是偶数。
“值得一提的并不是所有3-正则图都存在环内无点且无线的偶数环，例如正12面体，每个面都是5条边，都是奇数环，但如果考虑环内无点且有线的情况，等同于我们把相邻的两个奇数环拼接成一个偶数环，这样在3-正则图里就必然可以找到偶数环了。
“我们把3-正则图中环内无点的偶数环、偶数环上点之间的所有连接线，以及偶数环与外部点连接线数的一半(消除的点、线数量关系必须保证x = 2y/3)看做一个基本单元。”就不知在说什么，有点看不明白。
我看了我以前曾对韩文镇的文章的评论，即与韩文镇的意见交换，最大的问题仍是这里所说的一部分看不明白，可是韩文镇在发表时一点也没有改动。所以我仍是看不明白的。因此，我并不认为韩文镇就证明了任何无割边的3—正则平面图都是可3—边着色的。你尽管证明了可3—着色的无割边的3—正则平面图也是可4面着色的，但你却没有最终证明四色猜测是正确的。
老张朋友，你说一说我说的有没有道理呢？
附：我以前与韩文镇的交换的意见：
第一次交换的意见：
韩文镇朋友：
1、要把从3—正则图的可3—边着色转换至与其对应的极大图中对应边的染色情况进一步说清楚，以防引起误会，不要让大家认为你是在说极大图也是可3—边着色的。因为图的边着色时，同一个顶点是不容许有相同颜色的边出现的，而你的加粗边中的顶点都是连有相同颜色的边的。
2、下面这一段话“仔细观察以上3图，我们可以把图中同一色线的加粗线归为两类，两类线之间存在另外2色的连接线，而同一类之间不存在连接线，因此我们依然可以一类线的顶点交替染A、B两色，另一类线交替染C、D两色，从而实现极大图的顶点染4色。”我还没有看明白。“我们可以把图中同一色线的加粗线归为两类”，是哪两类呢，要说明白；接着你又说“两类线之间存在另外2色的连接线”，是哪两类线之间？哪2色呢？你接着又说“而同一类之间不存在连接线”这就更难理解了，不知是在说什么？我认为你这里的“两类”和“同一类”中的“类”字应改成“根”或“条”字比较合适。把你这段话是否可以改成：“仔细观察以上3图，可以看出图中同一色线（如A）的加粗线至少有两条以上，每两条之间必然存在存在另外2色（如B，C二色）的连接线，因此我们依然可以某一条线的顶点交替染A、B两色，以另一条线交替染C、D两色，从而实现极大图的顶点染4色。”而去掉了你中间的“而同一类之间不存在连接线”一句。你看是否合适？
3、你说“所以，可以确定给定任意极大图，如果对极大图内所有三边形边线进行3色区分，那么同一色线构成的每条连续线均为两色可染连续线。”要改成“所以，可以确定由任意3—正则平面图的可3—边着色转化成的对偶图（极大平面图）的带有色的边着色图中，同一色线构成的每条连续线均为两色可染连续线。”我认为这样较好些，因为你说的“可以确定给定任意极大图，如果对极大图内所有三边形边线进行3色区分”容易让大家理解为是你认为任意的极大图都是可3—边着色的。
4、接上一个问题，你在以上对“同一色线构成的每条连续线均为两色可染连续线”的证明，很难懂，是否再改动一下。
5、还有一段话：“还有一点要说明，我们上文说两色连续线的点、线关系，同一根两色可染连续线连线数y大于或等于点v − 1，也就是说y最小值是v − 1，而极大图我们染色后同一色线的数量Ya = Y/3 = V − 2，如此则在一个我们给线染色后的极大图中至少会存在两条不连通的同一色线的两色可染连续线，如此才能满足两色可染连续线的点、线关系。”也是看不明白的。
6、此后至《4、证明步骤二》之前，也一下子看不明白。是不是可以这样：既然极大图中的加粗单色线路有多条，可以把各条相间的任一条的顶点也相间的着A、B二色，另一条的顶点也相间的着C、D二色，那么，各条单色线路中的任一色顶点就只能与另一条单色线路中的两种颜色的顶点相邻，并与本条单色线路中的另一种颜色的顶点相邻，只与三种颜色相邻，再不可能与其他颜色相邻了，且图中的加粗边中的顶点已全部包括了图中的所有顶点，这所有的顶点，都着上了A、B、C、D四种颜色之一，没的剩余。这就说明了极大图是可4—着色的。说明了泰特猜想的3—正则平面图的可3—边着色与极大平面图的可4—顶点着色，也即3—正则平面图的可4—面着色是等价的。4—可着色的极大图经去点或减边后得到的任意平面图中的颜色数，只会减少，而不会再增加，所以这就证明了泰特的猜想是正确的。
7、不知是否证确，请批评指正。第二部分的证明，看后再评论。
第二次交换的意见：
小韩朋友：
看了你的证明的第二部分，再提如下意见：
1、为了更明确的说明“另外，上图10如果点1与点7连接，偶数环不与点9、15连接，那么这根连接线可以在环外部，但环上的点与环外的点之间的连接线还是会保有以上性质，就是线数是偶数，同一色线也是偶数。”一句话，有必要增加一个图，可能更好一些。在原图10的后面增加一个图（如图1）。

2、下面这句话要进一步想办法说明白一些。“我们把3-正则图中环内无点的偶数环、偶数环上点之间的所有连接线，以及偶数环与外部点连接线数的一半(消除的点、线数量关系必须保证x = 2y/3)看做一个基本单元。”为什么要把……的一半看做……呢？为什么“消除的点、线数量关系必须保证x = 2y/3”呢？这一点是看不明白的！
3、你说“按照这样一步一步消除的办法，我们最终会得到点数x = 4或者6的3-正则图，这些3-正则图都已经证明是3色可染的。”这一点是要用证明来说明的，不光是有一个图操作得到了一个K4图就行了的。
4、你这一段话“要注意的是一种特殊情况，我们消除的单元是3色可染的，因为在恢复过程中偶数环与外部点连接线的颜色的限定，偶数环并不全都是3色可染，但此时要形成新的3-正则平面图，会存在偶数环外部同一个点发出两条线与偶数环上两个不同的点连接，此时这两条线互换颜色将不影响上一个3-正则平面图染色，互换颜色后将可以对偶数环的线3染色；如果既不存在同一个点发出两条线也限定颜色造成偶数环线3色不可染，此时将无法形成下一个3-正则平面图，而我们每一个单元都是从3-正则平面图上消去的，所以恢复过程中不会出现此类状况。”最好是配上图说明就更好了。我相信你说的是有一定道理的，但我因为不能看明白，所以才叫你配图的。我想别的读者可能与我会有同样的感觉的。
5、《4.4. 举例演示3-正则图染色步骤》中，不能只用一个具体的图进行，最好是用非具体的、能代表一般的图，但我也想不出什么好办法。只要你前面能证明用一步一步消去偶数环的办法最后得到一个可3—边着色的K4图，我想这里用了具体的图，也是可以的，因为这里只是一个验证而已。
6、还要证明后面一步一步恢复时，所得到的3—正则图也一定是能够3—边着色的。
7、我个人的看法，你的最后“总结第二阶段的证明”和“结论”中的文字说得比前面的证明要好理解得多，是否前面的正文文字还需要加工一下。总之，我们写文章主要的还是要给读者看的，要以读者的需要为标准。这也就是写文章的市场营销观念。
第三次交换的意见：
看韩文镇文章的凝点：
1、“仔细观察以上3图，我们可以把图中同一色线的加粗线归为两类，两类线之间存在另外2色的连接线，而同一类之间不存在连接线，因此我们依然可以一类线的顶点交替染A、B两色，另一类线交替染C、D两色，从而实现极大图的顶点染4色。”请指明各类同一色线的特征，才能正确的识别。实际上同一色线的加粗线一定是大于等于两条的，两条之间一定存在另外二色的连接线。根本就不存在“同一类之间不存在连接线”的情况。如果同有一条同一色线中带有环，则该环一定是偶环，不可能是奇环。
2、“以上图2~5，各图加粗线每一条都是两色可染连续线，但所有极大图中的线按照我们给定规则3染色，是不是同一色线中的任意一条线都是两色可染连续线？我们只需要证明最重要的一点，那就是没有奇数环。”这里应说清楚每条加粗线都是同一色线，这里要证明的则是该线是不是可以用两种颜色对其顶点着色的。
3、“当一个极大图被一个奇数环分为内外两部分时，不管存在多少顶点，环内外分别存在的三边形个数都必将是一个奇数；同理被偶数环分为两部分时，环内外三边形的个数都必将是一个偶数。”这样的结论至少要用图来说明。并且要说明为什么会是这样？你虽然有图，但没有指出图中那里是环内，那里是环外？好没有指出图中那些是环内的三边形，那些是环外的三边形？
4、“因此，当我们对一个极大图中所有三边形的边线都用A、B、C三色染色完毕时，同一色线所构成的环必将不会出现奇数环，只能是偶数环。所以，可以确定给定任意极大图，如果对极大图内所有三边形边线进行3色区分，那么同一色线构成的每条连续线均为两色可染连续线。”得出这一结论的证明部分还是说得不太清楚。

现在再说邹山中的文章：
12、另一篇是邹山中的。首先他在地图中定义了一个“边界是由两种不同的颜色结合后的线段”的“边界”的定义和由“三个或更多个相邻区域两两相交的结合处”就是“交点”的定义。并且说“如果有n个这样的区域结合，则称为n个区域的交点”，接着又说“我们可以”从交点上的“放射线的数量来得知有几个区域在此相交，有n条放射线时，我们便可知道有n个区域在此相交。”且定义了n的取值范围是“n≥3”。
13、邹山中的证明中一直说用的是“地图”，且一直说的是对地图中的面进行的面着色。所以他的证明应该说与图论是没有任何牵连的。但他却没有把什么是地图弄明白，他的“边界”是由两个不同颜色的面相交得到的，这是对特殊的平面图——地图——面上着色的结果；但他的“交点”的构成中的“放谢线”的条数却是“大于等于3”的，这又成了对任意平面图而言的。地图中的“交点”所连结的边界线的条数都是等于3的，即所谓的“三界点”（也就是说地图中只有三个区域两两相交的“交点”，而没有三个以上的区域两两相交的“交点”）。特殊的地图，比如只有三个区域的海岛的地图，与海洋一起，虽然是四个两两均相邻区域，但却不是一个“交点”，而有四个“交点”，而每一个“交点”也是由三个区域两两相交而成的，而不是由四个区域相交而成的。因此他所说的“地图”实际上是与地图不相符合的。他说“交点”“有n条放射线时，我们便可知道有n个区域在此相交”。这也说得不严密。因为我们知道，地图中只有三个区域在一处相交，而没有大于三个的区域在一处相交的可能。
14、从他说的“交点”上的“放谢线”数是大于等于3看，他所说的“地图”也可以认为是一个任意的平面图。这样的平面图，按照邹山中的观点，在把各个“交点”进行“膨胀”后，的确是一个边界数大于等于3的区域，这些区域都可以着上与画地图的纸一样的颜色（基本颜色）。比如在世界地图中，把里海这个区域（海洋的“飞地”），按邹山中的观点进行“收缩”后，就是一个由多个国家两两相邻的“交点”，这就是邹先生所说的“地图”。把这个“交点”再进行“膨胀”后，就是邹先生所说的“被封闭的基色区”，当然这一区域着上与海洋相同的颜色是完全可以的。
15、邹先生认为，不管边界数是多少的区域，其外围的区域最多只能占用三种颜色，加上本身再用一种颜色，正好就是四种颜色。但他这个结论只是从一个个的以单个区域为中心中的轮中得出的。而没有把地图中的所有区域看成是一个整体时，再分析四种颜色能不能够用的问题。所以他的证明是不完全的。其实质上等于没有证明。哪一个人不明白任何单个的轮只用四种颜色就一定够用了呢？这还要他进行证明吗？这不是也在硬凑合吗？

最后再说汉斯出版社：
16、你们登这样的两篇文章，不管其观点正确与否，都是在百花齐放，百家争鸣，有利于科学技术事业的发展。而我的文章与他们的文章研究的是同一个问题，为什么就不能发表呢？你们为什么以“论文不符合我刊刊登的范畴，抱歉目前尚不能接收此类稿件，请您投递至他处”和“不是说方向范畴的问题。不是我们可收稿的形式体裁。”为由，拒绝接收我的稿件呢？你们要求的“形式”与“体裁”是什么呢？我向你们索要了几次，为什么都不见你们回复呢？难道我不能与他们一样在你们这块阵地上进行交流，相互争鸣吗？请你们回答！

雷  明
二○二一年七月三日于长安

注：此文已于二○二一年七月八日在《中国博士网》上发表过，网址是：
http://www.chinaphd.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4420