连乘积(p-1）/（p-2）的由来

yangchuanju

yangchuanju在lusishun《连乘积（1-3/p）式子的由来》22楼有一贴：
以1230为例，并按单计哥猜数筛选
先将1-1230内的奇数一分为二，后半部倒序排列，再斩头去尾（不管1229是不是素数，1+1229都不符合要求）；
由于1230不是4的倍数，最后要补上一个615；1230的平方根是35.1，最大筛分素数31；
用素数3筛分时要保留3，用素数5筛分时要保留5，依次类推。
最终得到55组和等于1230的素数对：                                       
7        1223        197        1033        433        797
13        1217        199        1031        443        787
17        1213        211        1019        457        773
29        1201        233        997        461        769
37        1193        239        991        479        751
43        1187        263        967        487        743
59        1171        277        953        491        739
67        1163        283        947        503        727
79        1151        293        937        521        709
101        1129        311        919        547        683
107        1123        347        883        557        673
113        1117        349        881        569        661
127        1103        353        877        571        659
137        1093        367        863        577        653
139        1091        373        857        587        643
167        1063        401        829        599        631
179        1051        409        821        613        617
181        1049        419        811               
191        1039        421        809               
其中隐含着连乘积（1-2/p）。                       

24、25楼lusisun随之“和贴”：
【和贴一】1230/2·（1-1/2）（1-1/3）（1-1/5）（1-2/7）（1-2/11）（1-2/13）（1-2/17）（1-2/19）（1-2/23）（1-2/29）（1-2/31）=50.9150479

【和贴二】因为2，3，5是1230的约数，所以只需筛一次，即可，11，13，17，19，23，29，31不是1230的约数，所以需筛除二次。


若将1-1/p改成1-1/p=（1-1/p）*(1-2/p) / (1-2/p)= (1-2/p)*(1-1/p)/(1-2/p)=(1-2/p)*(p-1)/(p-2)
lusishun筛分式可变为：
1230/2（1-1/2）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）（1-2/11）（1-2/13）（1-2/17）（1-2/19）（1-2/23）（1-2/29）（1-2/31）*（3-1）/（3-2）*（5-1）/（5-2）=n/4*∏（1-2/p）*∏（p-1）/（p-2）
前一个连乘号中的p取尽偶数n平方根以内所有素数，后一个连乘号只取偶数n的奇素因子即可。
后一个连乘积就是偶数哥猜数的波动因子表达式。

嗷！连乘积(p-1）/（p-2）就是这样得来的！
lusishun已经连发4个“由来”贴，这一贴就算是lusishun的第5个由来贴吧！

lusishun

您之功劳，老lu哪敢受用。您的探讨，您的功劳。

lusishun

老杨先生，对倍数含量的定义，没有怀疑了吧？

白新岭

大概是这个理。不过并不完全正确。至于筛除几个比较合适，取决于偶数本身，这里也是用到了素数的性质，偶数所含素数因子，并不一定小于其平方根，组成偶数的素数对中的素数已然。但是如果用偶数平方根内的素数筛除组成偶数的自然数对，其目的是把合数的组和式去掉，构成偶数的自然数对，是两个自然数，筛除1筛，（从小到大，只是保证了，组成数对的之一为素数，不能保证第二个同时是素数，所以需要第二筛，来保证第二个是素数，它们是同时满足才可以构成素数对），这就有了∏（1-2/p）这个连乘积式子，它的主项是N（至于它问什么非是偶数，而不是奇数，取决于素数2），这是一种表面肤浅的认识，并不能完全解释偶数的素数对构成。要想更深刻的认识偶数素数对的构成机制，就必须另寻其他办法和数学工具。
对于∏(p-1)/(p-2)这个连乘积式的由来，也可以用这种肤浅的认识简单的介绍一下（并不是真正的成因），x+y=2n，正常情况下，x，y是占着两个不同的P的余数类，当n含有素数P时，则它们可以取素数P的余数0外的所有其他余数类，这时只需要去掉一个剩余类即可，但是连乘积式∏（1-2/p）是一视同仁，都去掉了（素数P的）两个剩余类，这样的情况下，就去多了，为了还原真像，所以把原来多去的补回来，就有了连乘积式∏(p-1)/(p-2)。
这只是表面上，肤浅的解释。真正原因，必须看透，理解了哈代-李特伍尔德给出的歌猜渐近公式后，才能彻底明白其来龙去脉，也才有机会证明歌猜，孪猜。
再一个问题，如果你能理解哈代-李特伍尔德给的歌猜渐近公式中，系数之和/n（全体自然数）=1（不要安极限理解，这是一个等式，只不过等式左边是无限项的和而已，意思是说，证明等式成立，而不是证明左式的极限是1，它们有本质上的区别），当然你需补上偶数2和偶数4前的系数，它们的系数与偶数8的相同。
在两个素数差的公式中，也存在此等式关系，这也是歌猜，孪猜是同一类素数问题的原因。

白新岭

算歪打正着吧。能从lusishun那里（半瓶子醋中）领会到一些知识，也为你感到骄傲，有超长的领会能力，和创新能力。特别是数据方面，更是独占一格。在这个发达的网络时代，没有知识产权，是不敢公布自己的创作品的。无法保证抄袭，盗取之类事情的发生。只能留给人们美丽的结果，和优美而富有含义的数学公式，不能显示推导过程，及自己的新数学工具（为解决素数问题而生的新数学工具）。

lusishun

两筛，三筛，四筛……魅力无穷，其理论依据更是魅力无穷，理论依据已经找到，大家可以任意在其任意发挥，计算哥猜数对，孪猜数对，多生素数组，都可近似求的，是不是有更为精细的公式，大家可以探索。发挥

大傻8888888

    根据yangchuanju先生连乘积(p-1）/（p-2）的“由来”，可以很直观的看出∏（p-1）/（p-2）中的p取偶数n平方根以内整除n的素数，而不包括大于偶数n平方根整除n的素数，这是因为∏(1-2/p)的p只取偶数n平方根以内所有的素数的缘故。

大傻8888888

发表于 2020-10-24 16:24
所有二生素数N（q，q+n）的公式如下：
    当N趋近无限大时N以内二生素数（q，q+n）个数的主项前系数为：2cΠ[（P-1）/（P-2）](其中p和q都是素数，P能整除n，n是大于等于2的一个确定的任意大偶数，p≥3，q≥3，p≠q，c是孪生素数常数)主项为N/（lnN）^2。同时二生素数（q，q+n）在q和q+n之间可以有若干个素数也可以没有一个素数。所以当N趋近无限大时N以内二生素数（q，q+n）个数为2cΠ[（P-1）/（P-2）]N/（lnN）^2。
      上面的n=2，就是孪生素数的表达式2cN/（lnN）^2
有意思的是二生素数N（q，q+n）的公式前面也有Π[（P-1）/（P-2）]，不过p只是能整除两素数之差n罢了。

yangchuanju

白新岭 发表于 2021-6-28 18:46
算歪打正着吧。能从lusishun那里（半瓶子醋中）领会到一些知识，也为你感到骄傲，有超长的领会能力，和创新 ...

白新岭老师好！
在本帖的8楼，大傻先生给出了一个及其简单的二生素数个数计算公式，他的公式对否，请判定！