四色猜测的简单证明方法

雷明85639720

四色猜测的简单证明方法
雷  明
（二○二一年五月二四日）

现在研究四色问题主要是研究含有双环交叉链的5—轮不可避免构形的可约性问题，因为除此以外的不含双环交叉链的不可避免构形（K—构形）坎泊在1879年已经解决。图1，图2和图3这三个图都是BAB型的5—轮构形，其中都含有双环交叉的连通链A—C和A—D，也就是因为有了这样的双环交叉链，才使得构形的待着色顶点V好象显得无色可着了，这样的构形就是H—构形。

V无色可着的原因是因为从任何一个同色顶点B交换了与其对角顶点的颜色构成的色链后，都会新生成从另一个同色顶点B到其对角顶点的连通链，使得不能连续的移去两个同色B。既然是这样，要使以上三图的构形可约，就必须至少使双环交叉的连通链A—C或A—D之一条断开，使构形转化成坎泊已证明过了是可约的K—构形。
从以上三图中可以看出，双环交叉链有四个顶点是关键的顶点，即两链的共同起始顶点（着A色）和交叉顶点（也着A色），以及两链的两个末端顶点C和D。这四个顶点中，只要有一个顶点的颜色发生了改变，双环交叉的两链中就至少有一条会产生断开，图也就转化成不含双环交叉链的可约的K—构形了。
但这四个顶点颜色的改变是要有条件的。如果构形中含有经过了关键顶点C和D的环形的C—D链（如图1），则该环一定把另外两个关键顶点A分隔在环的内、外两侧，交换该环任一侧的经过了关键顶点A的A—B链，构形中就不存在双环交叉链了（如图4）；如果构形中含有至少经过了一个关键顶点A的A—B环形链（如图2），则该环也就把经过了另外两个关键顶点C和D所构成的C—D链和其他的C—D链分隔在了环的两侧，交换经过了关键顶点C和D的C—D链，构形中也就不存在双环交叉链了（如图5）。如果两种经过了关键顶点的环形链同时都存在，则用其中的任何一种办法都是可以解决的。

以上这种解决有经过了关键顶点的环形链的构形的交换方法，因为其交换的目的主要是为了使双环交叉链断开，所以就叫做断链交换法。
还有一种根本就不存在经过关键顶点的环形链的情况的构形（如图3），这时就得采用转型交换法进行解决了。因为该构形中，A—C链，A—D链，A—B链，C—D链，都不能交换，而B—C链和B—D链又不能连续的交换，所以就只有先交换一条关于B的链了。但交换该链后，构形峰点的位置和颜色都会发生改变，由原来的BAB型变成DCD型或CDC型，所以才把这种交换叫做转型交换法。然后再看转型后所得到的构形是个什么样的构形，是否可约。
对图3分别进行了逆时针方向和顺时针方向转型后的图分别是一个无经过关键顶点的环形链的构形（如图6）和一个含有经过了关键顶点的环形链的可约的H—构形（如图7）。

可以证明，这种交换最多进行5次，就可以使图转化成可以连续的移去两个同色的可约的K—构形，再进行两次空出颜色的交换，就可空出两个同色给V着上；或者转化成含有经过了关键顶点的环形链的H—构形，再进行一次断链交换，也就可以转化成可约的K—构形。
证明的原理是这样的：对于图3无论是进行了逆时针方向，还是顺时针方向的转型交换，在中途即就是转化成了可以连续的移去另一个同色的构形，但只要在平面图范围内能构造出从另一个同色到其对角顶点的连通链，就先人为的构造一条这样的链，使构形仍是一个H—构形而继续的转型。等到在平面图范围内不可能再构造从另一个同色顶点到其对角顶点的连通链时为止。这时一共是进行了5次转型。
但为什么最大的转型次数是5呢？因为5—轮构形中有5个围栏顶点，每转型一次，构形的峰点就变换一个地方，5个围栏顶点都作了一次峰点时，最大也就只是转型5次，就是一个周期，就应可以空出颜色来了。
以上我们研究无环形链的构形的转型交换时，都是用的对角链的交换，现在再用邻角链进行交换试一试，看一看是什么情况。以前对B—C（或B—D）链进行交换时是从右（或左）B开始进行交换的，现在则要从左（或右）B开始进行交换。
对图3的构形顺时针方向从右B对邻角链B—D进行转型交换时，一次交换得到的就是一个只有一条连通链A—C的BCB型的可约的K—构形（如图8），问题就可得到解决。当对图3的构形逆时针方向从左B对邻角链B—C进行转型交换时，第一次交换得到的则是一个含有经过了关键顶点的环形链A—C的BDB型的H—构形（如图9）。应该说问题也就得到了解决，再用一次断链交换法，就可以解决问题。

但是，我们还想再继续把同方向的邻角链交换进行下去，看最后道底是个什么样子的情况；第二次交换得到的则又是一个无经过关键顶点的环形链的BCB型的H—构形（如图10）；第三次交换得到的却是一个只有一条连通链的BAB型的可约的K—构形（如图11），再进行一次空出颜色的交换，就可以使问题得到最终的解决。

可以看出，邻角链转型交换的结果，各次交换得到的都是双B夹×型的构形，只有A、C、D三种颜色轮流作构形的峰点，三次交换则是一个周期。正好第三次交换得到的是一个BAB型的构形，与原构形的类型是相同的。所以这种转型交换的方法最大的转型次数也就只是3次。这种交换也是一种转型交换，但要比前一种对角链转型交换简单得多。不但最大交换次数只是3次，而不是5次，而且最后的空出颜色的交换也只需要一次，而不再需要进行两次了。
现在，各种情况下的H—构形都已经是可约的了，加上坎泊已证明了的K—构形都是可约的，平面图的所有不可避免构形就都是可约的了。四色猜测也就被证明是正确的了。

雷  明
二○二一年五月二十四日于长安

注：此文已于二○二一年五月二十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：
http://www.chinaphd.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4408

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wangyangke

雷明、王若仲、鲁思顺，程中战在哥德巴赫猜想方面的层次——

雷明垫底；雷明，一个叙述不清楚哥猜的人，说他的哥猜证明没有错误还不行，非得要说他证明了哥猜；
王若仲，讲义讲义，终究是屁；沉溺筛除、四则证哥猜；
鲁思顺坐——座中；有三愚蠢四无知之美实；
程中战居上，言语随意，有啥说啥；虽不足和不全面或者坠为错误，倒也不失奇妙。

雷明85639720

wangyangke，你狂吠吧！

雷明85639720

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