连体四生素数

yangchuanju · 发表于 2021-7-22 10:45

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-22 15:37 编辑

蔡家雄老师认为存在大量的对称10生连续素数
对称10生连续素数 15015x±2, 15015x±4, 15015x±8, 15015x±16, 15015x±32
——虽然：很难搜索，但，可能它也是无限的！！！！！！！！！！！！！！！！
1-----15015x = 40874929095
2-----15015x = 5026032886875
3-----15015x = 5197118661735
4-----15015x = 5798815627605
5-----15015x = 13131879105345

经在网上搜寻，发现：
网页A336966给出20个有5对孪生素数构成的10生素数之首素数
标题是：Primes starting 10-tuples of consecutive primes that have symmetrical gaps about their mean and form 5 pairs of twin primes.
3031329797 5188151387 14168924459 14768184029 18028534367
26697800819 26919220961 29205326387 32544026699 39713433671
45898528799 48263504459 50791655009 66419473031 71525244611
80179195037 83700877199 86767580069 97660776137 108116163479
各个首素数模30余数不相同，说明它们的间距也不相同，可能都不具有对称性。
17 17 29 29 17
29 11 17 29 11
29 29 29 11 11
17 29 29 17 29

例1#，素数连续，各对孪生素数对无其它素数；相当于列中缺41,43,47,49,71,73,77,79可能的孪生素数对：
素数相当于
3031329797 17
3031329799 19
3031329809 29
3031329811 31
3031329839 59
3031329841 61
3031329869 89
3031329871 91
3031329881 101
3031329883 103
A336966中的素数连续，各对孪生素数对无其它素数；素数值较大。

yangchuanju · 发表于 2021-7-22 10:46

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-22 11:58 编辑

网页A261731给出10000个间距不超过210的五对孪生素数构成的10生素数之首素数，前20个如下：
标题是：Initial member of five twin prime pairs with gap 210 between them.
1 1308497 2 3042491 3 3042701 4 7445309 5 20031101
6 31572521 7 44687987 8 54266291 9 141208619 10 182316521
11 237416369 12 357080021 13 448436321 14 611641187 15 699458411
16 761126027 17 774997367 18 794065967 19 836452961 20 915215591

例1#，素数号不连续，各对孪生素数对有其它素数，总跨距210以内；相当于列中缺29,31,47,49,59,61等可能的孪生素数对：
素数号素数相当于
100618 1308497 17
100619 1308499 19
100620 1308521 41
100621 1308523 43
100627 1308581 101
100628 1308583 103
100632 1308611 131
100633 1308613 133
100634 1308647 167
100635 1308649 169
跨距 152
A261731中的素数不连续，各对孪生素数对有其它素数；素数值较小。

yangchuanju · 发表于 2021-7-22 10:47

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-22 11:52 编辑

网页A035793给出10000个恰由五对连续孪生素数构成的十生素数之首素数，前20个如下：
标题是：Start of a string of exactly 5 consecutive (but disjoint) pairs of twin primes.
1 909287    2 2596619    3 9617981    4 12628337    5 18873497
6 21579629    7 25739771    8 34140077    9 39433367    10 62832101
11 67369397    12 84733211    13 90122507    14 102243017    15 132826607
16 140456711    17 142749149    18 180929687    19 201057539    20 212461979

由于各网页的孪生素数对之间的间距要求不同，中间有无其它素数要求不同，故各种有5对孪生素数构成的10生素数是不相同的。

例1#，素数号连续不间断，5孪生素数对之间无其它素数，前后也无另外的孪生素数，相当于列中缺41,43：
素数号素数相当于
71968 909287 17
71969 909289 19
71970 909299 29
71971 909301 31
71972 909317 47
71973 909319 49
71974 909329 59
71975 909331 61
71976 909341 71
71977 909343 73
又例2#，素数号连续不间断，5孪生素数对之间无其它素数，前后也无另外的孪生素数，相当于列中缺41,43和59,61：
素数号素数相当于
189647 2596619 29
189648 2596621 31
189649 2596637 47
189650 2596639 49
189651 2596661 71
189652 2596663 73
189653 2596667 77
189654 2596669 79
189655 2596679 89
189656 2596681 91

yangchuanju · 发表于 2021-7-22 13:12

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-22 15:44 编辑

蔡家雄发表于 2021-7-22 12:37
A066081
a(n) = smallest m such that m+2^j and m-2^j are prime for all 0 < j

对称14、16生素数，只有12、14、16个素数，用素数13检验足够了，用不到素数17和19，故它们的中位数不用17和19整除。
对称12生素数，只有12个素数，用素数11检验足够了，中位数可被11整除不是必须的。

对称8、10生素数，只有8、10个素数，用素数7检验足够了。
8生中位数50943795不能被11整除属正常，10生中位数可被11和13整除是不必要的！

yangchuanju · 发表于 2021-7-22 13:31

5±2=3/7，5不是3的倍数；9±2=7/11，9=3*3；15±2=13/17，15=3*5；21±2=19/23，21=3*7；39±2=37/41，39=3*13；45±2=43/47，45=3*15；……对于对称2生素数，中位数一般是3的倍数（第一个5除外）。

9±2，±4=5/7/11/13，中位数9=3*3；15±2，±4=11/13/17/19，中位数15=3*5；105±2，±4=101/103/107/109，中位数105=3*5*7；195±2，±4=191/193/197/199，中位数195=3*5*13；……对于对称4生素数，中位数一般是3的倍数；因只有4个素数用不到用5检验。

yangchuanju · 发表于 2021-7-22 14:03

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-22 14:59 编辑

对称6生素数n±2，±4，±8

15±2，±4，±8=7/11/13/17/19/23，中位数15=3*5；
105±2，±4，±8=97/101/103/107/109/113，中位数105=3*5*7；
以下符合条件的第2个素数（对应4生最密素数的首素数）、首素数、尾素数和中位数是：
p2 p1 p8 中位数
16061 16057 16073 16065
19421 19417 19433 19425
43781 43777 43793 43785
1091261 1091257 1091273 1091265
1615841 1615837 1615853 1615845
1954361 1954357 1954373 1954365
2822711 2822707 2822723 2822715
2839931 2839927 2839943 2839935
3243341 3243337 3243353 3243345
3400211 3400207 3400223 3400215
6005891 6005887 6005903 6005895
6503591 6503587 6503603 6503595
7187771 7187767 7187783 7187775
7641371 7641367 7641383 7641375
8062001 8061997 8062013 8062005
8741141 8741137 8741153 8741145
10526561 10526557 10526573 10526565
11086841 11086837 11086853 11086845
11664551 11664547 11664563 11664555
中位数都是3，5，7的倍数（第一个中位数15除外），偶有11或13的倍数。

yangchuanju · 发表于 2021-7-22 14:47

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-7-22 14:57 编辑

对称8生素数n±2，±4，±8，±16
1亿内有一组，1亿-10亿间有一组；OEIS网站给出100组，蔡家雄老师计算得到300组。
经笔者复核，最小的2组正确。
第一组的中位数50943795是3,5,7的倍数，但不是11和13的倍数，8个素数用素数7检验足够了；
第二组的中位数246843135除是3,5,7的倍数外，还能被11整除，但不能被13整除；该中位数能被11整除不是必须的。

在10亿内存有更多组对称6生素数，除上楼给出的21组外，还有138组，总共159组，将在下一楼汇总给出。

yangchuanju · 发表于 2021-7-22 15:01

对称6生素数n±2，±4，±8
序号首素数尾素数
1 7 23
2 97 113
3 16057 16073
4 19417 19433
5 43777 43793
6 1091257 1091273
7 1615837 1615853
8 1954357 1954373
9 2822707 2822723
10 2839927 2839943
11 3243337 3243353
12 3400207 3400223
13 6005887 6005903
14 6503587 6503603
15 7187767 7187783
16 7641367 7641383
17 8061997 8062013
18 8741137 8741153
19 10526557 10526573
20 11086837 11086853
21 11664547 11664563
22 14520547 14520563
23 14812867 14812883
24 14834707 14834723
25 14856757 14856773
26 16025827 16025843
27 16094707 16094723
28 18916477 18916493
29 19197247 19197263
30 19634047 19634063
31 19800367 19800383
32 20112217 20112233
33 20247037 20247053
34 21321187 21321203
35 21850177 21850193
36 22587277 22587293
37 24786397 24786413
38 25009417 25009433
39 25524127 25524143
40 27305557 27305573
41 29153557 29153573
42 31563937 31563953
43 31875577 31875593
44 32836747 32836763
45 33575947 33575963
46 36319177 36319193
47 36985297 36985313
48 37055647 37055663
49 40660717 40660733
50 41214067 41214083
51 41763427 41763443
52 41927437 41927453
53 44842867 44842883
54 45974557 45974573
55 47204737 47204753
56 48660247 48660263
57 49157737 49157753
58 50685907 50685923
59 50943787 50943803
60 51255637 51255653
61 53204857 53204873
62 53266387 53266403
63 55057897 55057913
64 56431927 56431943
65 57812467 57812483
66 59877397 59877413
67 61052347 61052363
68 62757967 62757983
69 63655717 63655733
70 65689567 65689583
71 67022227 67022243
72 69296317 69296333
73 72610117 72610133
74 74283607 74283623
75 74390077 74390093
76 75085597 75085613
77 76150507 76150523
78 79413067 79413083
79 82984537 82984553
80 87423097 87423113
81 89483827 89483843
82 94752727 94752743
83 112710877 112710893
84 114405997 114406013
85 114812767 114812783
86 115198537 115198553
87 115921567 115921583
88 119279257 119279273
89 119732017 119732033
90 123821767 123821783
91 124160077 124160093
92 125847847 125847863
93 130278007 130278023
94 131118847 131118863
95 132842107 132842123
96 135941077 135941093
97 140124697 140124713
98 146022127 146022143
99 149620057 149620073
100 150733477 150733493
101 151048477 151048493
102 151659367 151659383
103 151848787 151848803
104 151946227 151946243
105 152574547 152574563
106 153090517 153090533
107 153514717 153514733
108 154597897 154597913
109 155011387 155011403
110 156896137 156896153
111 163893127 163893143
112 164221147 164221163
113 164564497 164564513
114 165601477 165601493
115 166000057 166000073
116 175258537 175258553
117 176919637 176919653
118 180646717 180646733
119 184706437 184706453
120 185938927 185938943
121 187315477 187315493
122 188722477 188722493
123 190504747 190504763
124 191128027 191128043
125 204332407 204332423
126 205137337 205137353
127 205216717 205216733
128 209823067 209823083
129 213861997 213862013
130 214187917 214187933
131 215989717 215989733
132 221389027 221389043
133 222762637 222762653
134 223136647 223136663
135 223789117 223789133
136 225443077 225443093
137 226901107 226901123
138 228667837 228667853
139 234929407 234929423
140 236608777 236608793
141 238523557 238523573
142 240293227 240293243
143 243857347 243857363
144 246843127 246843143
145 248834137 248834153
146 253746667 253746683
147 257699077 257699093
148 258145747 258145763
149 260708797 260708813
150 273649627 273649643
151 276244597 276244613
152 277682677 277682693
153 278340187 278340203
154 279328447 279328463
155 288004807 288004823
156 290181247 290181263
157 294430177 294430193
158 296095687 296095703
159 298713967 298713983

yangchuanju · 发表于 2021-7-22 20:58

蔡家雄发表于 2021-7-20 20:24
前40组8生素数组(p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870)

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蔡家雄老师曾给出100万以内有40个
p,p+30,p+210,p+2310,p+30030,p+510510,p+9699690,p+223092870形式的素数阶乘八生素数群，
设想一下，这种级数一定能向高一级发展，也能向低一级后退。
以蔡老师的八生素数群向前升级，容易做到，在40个p的基础上分别加上29#、31#、37#，并分解所得和数，若有素数，则素数阶乘型9生、10生、11生素数群即可找到；经计算实际得到9个、2个和0个，即100万内素数分别加上30,210，……，37#不存在11生素数阶乘形式的素数群。
若要降级，则必须从头开始，在100万以内7万8千个素数基础上，分别加上30,210,2310，……9699690，并进行分解后才能得到。
经计算，100万内共有78498个素数，加30是素数的只有21992个2生素数群；再加上210，有7163个3生素数群；
加2310后剩2738个；加30030后剩1063个，加510510后剩396个；加9699690后还剩134个；加223092870后剩40个8生素数群，与蔡老师所给的素数群相同。

yangchuanju · 发表于 2021-7-22 21:03

100万内10生素数阶乘形式的素数群（2个）：
素数 30 210 2310 30030 510510
23563 23593 23773 25873 53593 534073
409723 409753 409933 412033 439753 920233

素数 9699690 223092870 6469693230 200560490130
23563 9723253 223116433 6469716793 200560513693
409723 10109413 223502593 6470102953 200560899853

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