施笃兹定理与公式的使用条件

elim

jzkyllcjl 分不清极限与胡扯，也不会分析论证极限．一出手就錯，有审查的必要吗？jzkyllcjl 若不戒吃狗屎，根本算不对极限．

jzkyllcjl

elim 发表于 2021-1-20 11:59
jzkyllcjl 分不清极限与胡扯，也不会分析论证极限．一出手就錯，有审查的必要吗？jzkyllcjl 若不戒吃狗屎， ...

1楼批判了你的错误计算。

jzkyllcjl

欢迎网友研究1楼的极限计算问题。1楼指出了施笃兹定理中公式的使用性质与需要注意的问题

elim

定理\(\,\star\,\)\(\quad{\Large\frac{c_n}{b_n}}\to A\implies {\Large\frac{c_1,+\cdots+c_n}{b_1+\cdots+b_n}}\to A.\small\;\;(b_k>0,\,b_1+\cdots+b_n\to\infty)\)
证明 因为\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\small\frac{c_n}{b_n}=A,\;\)对\(\small\,\alpha< A< \beta\),有\(\,m\,\)使\(\small\,n>m\,\)时\(\alpha b_n{\small< }c_n{\small<}\beta  b_n\)
\(\qquad\)于是\(\;\alpha< {\Large\frac{c_m+\cdots+c_n}{b_m+\cdots+b_n}}< \beta\;\;(n>m).\) 令\(\,n\to\infty\),由\(\,\alpha,\beta\)  
\(\qquad\)可任意靠近\(A\) 知道\({\Large\frac{c_m+\cdots+c_n}{b_m+\cdots+b_n}}\to A\), 进而得
\(\underset{\,}{\qquad}{\Large\frac{c_1+\cdots+c_n}{b_1+\cdots+b_n}}={\Large\frac{\frac{c_1+\cdots+c_{m-1}}{b_m+\cdots+b_n}+\frac{c_m+\cdots+c_n}{b_m+\cdots+b_n}}{\frac{b_1+\cdots+b_{m-1}}{b_m+\cdots+b_n}+1}}\to {\large\frac{0+A}{0+1}}=A.\quad\small\square\)
\(\quad\)对序列\(\{a_n\}\;(a_1=1,a_{n+1}=\ln(1+a_n)),\,\)令,\(\tau(n)=n-\large\frac{2}{a_n}\underset{\,}{,}\)
\(\quad\)据Taylor定理得\(\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{\tau(n+1)-\tau(n)}{\ln(n+1)-\ln n}}=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{a_n/6+O(a_n^2)}{\ln(1+\frac{1}{n})}}\,\overset{na_n\to 2}{=\hspace{-3px}=}\,\small\frac{1}{3},\)
\(\quad\)故\(\;\displaystyle\underset{\,}{\lim_{n\to\infty}}{\small\frac{\tau(n)}{\ln(n)}}=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{\tau(n)-\tau(1)}{\ln(n)}}\,\overset{\star}{=}\,\lim_{n\to\infty}{\small\frac{\sum_{k=1}^{n-1}(\tau(k+1)-\tau(k))}{\sum_{k=1}^{n-1}(\ln(k+1)-\ln k)}}=\small\frac{1}{3},\)
\(\quad\)由此立即得\(\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{n(na_n-2)}{\ln n}=}\lim_{n\to\infty}{\small\frac{na_n\tau(n)}{\ln n}=\frac{2}{3}}.\quad\small\square\)

jzkyllcjl 否定上述计算的企图失败.

jzkyllcjl

你用的不是Taylor定理，而是施笃兹公式，你这个用法，不符合公式的使用条件。

jzkyllcjl

春风晚霞 为什么不审查elim提出的这个极限计算问题？

elim

定理\(\,\star\,\)\(\quad{\Large\frac{c_n}{b_n}}\to A\implies {\Large\frac{c_1,+\cdots+c_n}{b_1+\cdots+b_n}}\to A.\small\;\;(b_k>0,\,b_1+\cdots+b_n\to\infty)\)
证明 因为\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\small\frac{c_n}{b_n}=A,\;\)对\(\small\,\alpha< A< \beta\),有\(\,m\,\)使\(\small\,n>m\,\)时\(\alpha b_n{\small< }c_n{\small<}\beta  b_n\)
\(\qquad\)于是\(\;\alpha< {\Large\frac{c_m+\cdots+c_n}{b_m+\cdots+b_n}}< \beta\;\;(n>m).\) 令\(\,n\to\infty\),由\(\,\alpha,\beta\)  
\(\qquad\)可任意靠近\(A\) 知道\({\Large\frac{c_m+\cdots+c_n}{b_m+\cdots+b_n}}\to A\), 进而得
\(\underset{\,}{\qquad}{\Large\frac{c_1+\cdots+c_n}{b_1+\cdots+b_n}}={\Large\frac{\frac{c_1+\cdots+c_{m-1}}{b_m+\cdots+b_n}+\frac{c_m+\cdots+c_n}{b_m+\cdots+b_n}}{\frac{b_1+\cdots+b_{m-1}}{b_m+\cdots+b_n}+1}}\to {\large\frac{0+A}{0+1}}=A.\quad\small\square\)
\(\quad\)对序列\(\{a_n\}\;(a_1=1,a_{n+1}=\ln(1+a_n)),\,\)令,\(\tau(n)=n-\large\frac{2}{a_n}\underset{\,}{,}\)
\(\quad\)据Taylor定理得\(\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{\tau(n+1)-\tau(n)}{\ln(n+1)-\ln n}}=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{a_n/6+O(a_n^2)}{\ln(1+\frac{1}{n})}}\,\overset{na_n\to 2}{=\hspace{-3px}=}\,\small\frac{1}{3},\)
\(\quad\)故\(\;\displaystyle\underset{\,}{\lim_{n\to\infty}}{\small\frac{\tau(n)}{\ln(n)}}=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{\tau(n)-\tau(1)}{\ln(n)}}\,\overset{\star}{=}\,\lim_{n\to\infty}{\small\frac{\sum_{k=1}^{n-1}(\tau(k+1)-\tau(k))}{\sum_{k=1}^{n-1}(\ln(k+1)-\ln k)}}=\small\frac{1}{3},\)
\(\quad\)由此立即得\(\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{n(na_n-2)}{\ln n}=}\lim_{n\to\infty}{\small\frac{na_n\tau(n)}{\ln n}=\frac{2}{3}}.\quad\small\square\)

jzkyllcjl 无法否定上述计算.

jzkyllcjl

春风晚霞 不会证明[na(n)如何趋向于2？，不会证明[ na(n)-2]如何趋向于0？

elim

jzkyllcjl 能不能对以下推演的每一步做出解释？我认为他没有这个能力。
他认同\(\lim na_n=2\) 但给不出分析论证。给他分析论证他也看不懂。
\(\left(a_1=1,\;a_{n+1}:=\ln(1+a_n)\overset{\exists\theta\in(0,1)}{=\hspace{-3px}=}{\large\frac{a_n}{1+\theta a_n}}\in{\small (0,a_n)}\right)\implies\)
\(\displaystyle\left(\exists A=\lim_{n\to\infty}a_n\;(A=\ln(1+A))\right)\implies \left(\lim_{n\to\infty}a_n = 0\right)\implies\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{n}{a_n^{-1}}}\overset{\text{Stolz}}{=}\lim_{n\to\infty}{\small\frac{(n+1)-n}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}}=\lim_{a\to 0^+}{\small\frac{a\ln(1+a)}{a-\ln(1+a)}}=2\)

elim

事实上 jzkyllcjl 的数学观根本建立不了连续统实数域，定义不了指数函数，
对数函数，证明不了中值定理，Taylor 公式等等。

简单说来，吃狗屎与数学是不相容的。