对哥德巴赫猜想证明热的思索（七）——数学家的悖论与失误

赵光斗

                        对哥德巴赫猜想证明热的思索（七）
                                                     ——数学家的悖论与失误
                                         赵     光     斗
                             哈尔滨电子仪器厂     工程师      （ 150001 ）
     
    本文的目的，一是指出当代数学家一些错误，说明由数论的发展历史决定了，在初等数论中还有很多问题需要商榷、探讨。二是指出数学史上大数学家所犯的错误，说明在数学发展的探索过程中，即便是大数学家也不可避免的犯论证性错误。希望数学家们能够采取宽容、平等的态度，对待创新思想的产生，正确对待业余爱好者具有原创思想的文章。
     
    在本文论述前，有必要做如下说明：华罗庚教授所领导的，以“哥德巴赫猜想讨论班”为核心，组成了我国解析数论的一个优秀群体，一个特殊的学派。（见“数学王国的优秀群体”一文）群体中的每一员都是本文作者的老师，很多知识都来源于这个群体。作者只不过是一个不够格的学生，很需要得到帮助的、一个爱好者、一个崇拜者、一个叛逆者。本文如有不当处也希望能够批评指正。
     
    为以下论述方便，现将悖论与失误、区分与界定如下：
在以下论述中将当代数学家所写的书中错误，称为悖论，而在国际数学史上数学家所犯的错误称为失误。
  
                                           一、数学家悖论
     悖论 1 、见文献 [1] ，在文献 [1] 的第 3 页，有如下定义：
   “定义    （ 2 ）中的 q 叫做 a 被 b 除所得的不完全商， r 叫做 a 被 b 除所得到的余数。”
作为概念，以上所给出的定义不够确切，理由如下：
  
        1 、不完全商相对于完全商而言，对于完全商文献 [1] 中没有给出定义；
        2 、（ 2 ）的条件为 0 ＜ r ＜ b ， r=0 ，也就是说 r=0 时 a 可以被 b 整除无余数，可称为“完全商”，而该书对余数的定义将 r=0 包括在不完全商中，理由不够充分。
以上定义在逻辑上违反了属差不准确的规则：“第三条规则，属差必须准确这是不言自明的。属差不准确，就会使这个概念同许多并列概念混淆起来。”
    悖论 2 、见文献 [2] ，在文献 [2] 的第 9 页，定义 2 ：
“定义 2 、      设 p 不等于 0 、 +-1 （正负 1 ），如果它除了显然约数 +-1 （正负 1 ） +-p （正负 p
）外，没有其它的约数，那么 p 就称为不可约数，也叫素数。”
上面定义，定义了不可约数，也叫素数，显然定义的含义是：
                                              不可约数 = 素数
接下来的论述却违反了逻辑中关于下定义的规则，“在初等数论中，大多用‘素数’这一术语，而不用不可约数，虽然，从给出的定义看，用不可约数这一名词更为贴切，但为了符合习惯，下面我们将总用素数这一术语。”

     同时由于该文作者在论述概念时混淆了整数与其它数域之间的概念，所以在论述时，整数论和其它数域对素数定义的概念含混不清。 数论所研究的对象是整数，严格讲是研究自然数（正整数）的，无端引进其它数域，混淆概念，在正整数论中是不允许的。
     看来、即便是初等数论，也还有很多问题需要商榷、探讨，宽容、平等的进行讨论是很有必要的，当然、以上看法只是个人见解。
     悖论 3 、当代数学家论证哥德巴赫猜想所用命题无论是 a+b 、 1+c 、还是偶数表为 N 个素数之和，从哥德巴赫猜想角度看都是悖论，这里命题被偷换了。（见“对哥德巴赫猜想论证的探索”一文）但从数学家所论证的各自的命题看，还是很有价值的。
     对待业余爱好者的具有原创性的思想也要有一个正确认识，既不能肯定也不要一概否定、全面封杀，这样才符合辩证的观点观察问题。
   
                                             二、数学家的失误
     中国有一句古话   叫作人无完人，不但业余爱好者犯技术错误，作为数学家犯错误也是常事，本文仅举出在国际数学史上有重大影响的数学家的错误。数学家们的错误主要包括有两个方面：一是论证错误，在以下文中称为数学家的失误；二是对新设想的抗拒心理所造成的错误，称为数学家的憾事。各举出两例做为说明。
     （ 1 ）数学家的失误
     
    对数学这一领域，在提出新的理论或在对新出现的理论进行论证时，数学家受思想和所处历史时期的局限，不可避免的出现过这样或那样的错误或不足，我们在这里指出，但这决不是否定数学家们所做出的成就。
     欧拉——“欧拉在无限情况下，采用类比法是要严格证明的，但他有时不考虑级数敛散性，随意的处理级数问题。”
     柯西觉查到欧拉在“无限中提出的模棱两可的概念，”从而定义了数列，纠正了欧拉所犯的错误。
         柯西——在他的《解析数学讲义》中，曾阐述过，级数在某区间连续和收敛，其级数和的连续，还是收敛的问题，柯西认为是连续的，由年轻的数学家阿贝尔举出反例证明了柯西结论是错误的。
    当然、上面我们仅举两例，数学家失误的例子还很多，无论是费尔马、还是高斯都曾不同程度的犯过这样或那样的错误，就不一一列举了。
     由以上事例可以证明数学史上大数学家也有失误，前面我们指出，我国当代数学家书中的错误，看来悖论和失误是不可避免的，同时数学史也可以证明，决不能因为悖论和失误的存在而全面否定数学家们所做出的贡献。对于业余爱好者在论证中存在的问题也要正确对待，有一些是在探索过程中不可避免的；有一些是属于技术问题，需要得到帮助；当然也有一些是由于知识不足，作了错误论述。关键是看是否有生命力，不能一概而论。
    没有生命力的作品，再没有错误，在科学探索的意义上说，没有任何价值。只有“平衡痴呆”才不会犯以上错误。 [ 注   平衡痴呆系指力所不及而又口若悬河地叙述强闻强记的东西，看上去似乎本事非凡，实际上却是无能之辈。 ]
      （ 2 ）数学家的憾事
    在数学史上哈代对待印度青年拉马努詹的故事；我国学者熊庆来，对待华罗庚的事例，都被引为佳话。然而，在国际数学史上，数学家不能正确对待业余爱好者和新生理论的事例，也是屡见不鲜的，被引为憾事。下面仅举两例：
     憾事一、阿贝尔于 1826 年搬迁到巴黎，撰写出“关于超越函数扩充问题的一般性质”的论文，提交巴黎科学院审查。而著名数学家柯西把阿贝尔的论文放在抽屉里一放了之。后来著名数学家雅可比看见这篇论文后，非常吃惊，在 1829 年 3 月 14 日写信抗议道：“……这在我们生活的这个世纪中，恐怕是数学中最重要的发现，虽曾向‘老爷们’的研究院提交此论文两年之久，但一直没有得到诸位先生的注意，这是为什么呢？……”
[3] 。因为雅可比的抗议，勒让德到处寻找论文，可是，这篇论文仍在柯西桌子的抽屉中安睡。 1830 年 7 月 24 日发给阿贝尔科学研究奖金。但是，阿贝尔已经不是这个世界的人了。该论文后来发表在 1841 年出版的《皇家科学院论文集》第七卷。
     憾事二、伽罗华的数学业绩是在中学时代创建的，而这种业绩——“群论”是对数学思想的一次重大突破。“伽罗瓦在学习期间就开始撰写论文由里查推荐到巴黎科学院，并委托柯西审查，结果柯西又把论文弄丢了。”伽罗华再次“认真撰写论文，还是投寄到巴黎科学院，担任科学院常务干事的傅立叶把论文带回家，直到病逝，也不知去向。”
    同样在数学史上这样的例子也是很多的，在这里也不一一列举了。“前世不忘、后世之师”，希望当代的数学家能够以史为鉴。
     本文写到此处也该结束了，有不当处希望专家和广大的业余爱好者能够提出批评、指正。
   参考文献
[1]     闽嗣鹤      严文健         初等数论             （人民教育出版社     1979 年）
[2]     潘承洞      潘承彪          初等数论              （北京大学出版社）
[3]     张贵新                          趣味数学史话        （吉林教育出版社     1996 年 3 月第一版

赵光斗

“对待业余爱好者的具有原创性的思想也要有一个正确认识，既不能肯定也不要一概否定、全面封杀，这样才符合辩证的观点观察问题。”
摘录文中的一句话也算是对顶帖回答吧！
  

白新岭

不出名，有没有数学家认可，只有自己欣赏了。一种爱好，兴趣，即便没有任何人去理会它，对它感兴趣的人照样痴迷在海洋内。悲剧的产生是多方面的。乱世出英雄，在和平的年代一个没有文凭，学历的业余者就别惦记着让一个出名的数学家理会了。数学家很爱面子的。还是把心收起来。做自己感兴趣的事吧，没人打扰。想说些了，可以上博客网。有人理，他就理。不理，也不惦记。放平心态，是最好的心理治疗。

白新岭

在这个网上，千万别与自以为是的人论短长，陷进去了，很难撤出来。还是敬而远之为好。

moranhuishou

一些白痴由于对哥猜一无所知，在计算“素数对”上闹了很多的笑话，有人好心给他指正，他反而以怨报德怀恨在心，恶意攻击别人。
这样的小人素质太差，大家最好不要理他。

jxh1943

下面引用由白新岭在 2009/04/23 03:35pm 发表的内容：
在这个网上，千万别与自以为是的人论短长，陷进去了，很难撤出来。还是敬而远之为好。

白先生的意思是不是：酒逢知己千杯少，话不投机半句多。

moranhuishou

物以类聚，人以群分。

jxh1943

下面引用由赵光斗在 2009/04/22 07:02pm 发表的内容：
“对待业余爱好者的具有原创性的思想也要有一个正确认识，既不能肯定也不要一概否定、全面封杀，这样才符合辩证的观点观察问题。”
摘录文中的一句话也算是对顶帖回答吧！

“既不能肯定也不要一概否定”。对赵先生这句话不很理解，似乎没有什么意义。不能把几句话并作一句话来说。

moranhuishou

错误的东西要勇于放弃，死抱着只能丢人，毫无用处，因为错误的永远也变不成正确的。
正确的东西也要敢于坚持，当仁不让。
这才是唯物主义的科学的态度！

jxh1943

下面引用由moranhuishou在 2009/04/23 04:29pm 发表的内容：
物以类聚，人以群分。

这句话用在谁的头上都没有错。