费尔马大定理的原解

谢芝灵

摘要：费尔马大定理，起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者 痴迷。终于在1994年被安德鲁·怀尔斯攻克。1637年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de Fremat）在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：a^n+b^n=c^n是不可能的（这里n大于2；a，b，c， n都是非零正整数)。此猜想后来就称为费尔马大定理。费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。一般公认，他当 时不可能有正确的证明.安德鲁·怀尔斯用现代数学知识,三百多页纸将其证明。费尔马大定理是一个特殊的一元n次方程。在一元n次 方程中，我们知道也能证明它有n个根。因此得到一个“根与系数唯一性定理”，从而揭开了费尔马大定理的原解，即费尔马先生自己的 解。
关键词：一元n次方程  根与系数唯一性  费尔马大定理
Ⅰ.首先我们要了解一元n次方程有多少个根。一元一次、二次、三次，我们知道它相应有1个、2个、3个根，因此，我们联想一元n 次方程有n个根。
用完全归纳法很快可证：
n=1时，有一个根。完全可以假设n=k时，有k个根。
当n=k+1时，有如下方程：
y^(k+1)+Ay^k+By^(k-1)+……+Ny+M=0      ;      ①
变形为：y^k+Ay^(k-1)+By^(k-2)+……+N+M/y=0    ②
得：②式是一个一元K次方程，则y有y1、y2、……yk共k个根。
所以①式y有y1、y2、……yk、y(k+1)个根。
Ⅱ.由此得到一个根与系数唯一性定理：
在一个一元k次方程中，k个根一确定，首项系数是唯一的。
用数学表达：在一元k次方程：
x^k+Ax^(k-1)+Bx^(k-2)+……+Nx+M=0      ;        ③
y^k+a^(yk-1)+by^(k-2)+……+ny+m=0      ;       　④
③式中x的各个根为：x1、x2、x3、……xk
④式中y的各个根为：y1、y2、y3、……yk
如果：x1=y1,x2=y2,……xk=yk
则有：A=a，
证：当n=1时：x+M=0,y+m=0
如果x=y,则M=m,正确
当n=2时：x^2+Ax+M=0       &n bsp;    ⑤
y^2+ay+m=0        &n bsp;   ⑥
⑤式中x有2个根x1，x2，解得：A=-(x1+x2)
同理⑥式也能解得：      a=-(y1+y2)
又x1=y1    x2=y2  故A=a
假设n=k时也成立。即：
X^k+Ax^(k-1)+……+Nx+M=0      &n bsp;   ⑦  
y^k+ay^(k-1)+……+ny+m=0      &n bsp;     ⑧
当 x1=y1，x2=y2，……xk=yk
有A=a
当n=k+1时。在方程：
X^(k+1)+Ax^k+……+Nx+M=0      &n bsp;     ⑨
Y^(k+1)+ay^k+……+ny+m=0      &n bsp;      ⑩
将  ⑨式⑩式变形为：
X^k+Ax^(k-1)+……+N+M/x=0      & nbsp;     
Y^k+ay^(k-1)+……+n+m/y=0   
上两个式子是n=k的形式。
当 x1=y1，x2=y2，……xk=yk
有A=a得⑨式⑩式中有A=a
[其实A=a，……N=n，M=m。 且：M=m=(-1)^k*x1x2x3……xk，这里不证了]
Ⅲ.费尔马大定理：在x^k+y^k=z^k      &nb sp;       ⑾
z＞x≥y＞0，且x、y、z均为整数，k为自然数。
则k=1,或k=2两种情况才能满足⑾式。
证：在⑾式中，可以规定x、y、z三个数没有大于1的公因子
即（x、y、z）=1      如果有，它们可以约掉。
则x、y、z两两互质，即（x、y）=(z、x)=（z、y）=1
假设x、y有大于1的公因子，可令：
x=ab        y=ac        代入⑾式
b^k+c^k=(z/a)^k       &nb sp;     ⑿   
由于（x、y、z）=1，则上式有矛盾：即⑿式是整数=分数。
所以（x、y）=1，同理可证（z、x）=1，（z、y）=1
这样得到：x、y、z两两互质，且我可令x、y、z是满足⑾式最小的一组解。
由⑾式变形得2个方程：
Z^(k-1)+z^(k-2)x+……+x^(k-1)-y^k/(z-x)=0   &nb sp;        ⒀
z^(k-1)+z^(k-2)y+……+y^(k-1)-x^k/(z-y)=0   &nb sp;        ⒁
在⑾式中可确定z且z的各个根为：z1、z2、……zk
由于z被确定，则⒀式⒁式中z的各个根是z1、z2、……z(k-1)
在⒀式⒁式中
当k≥3时，由首项系数唯一性得：
x=y、
由x=y，因为x、y互质，即（x,y）=1
所以   x=y=1
⑾式为z^k=1^k+1^k=2 得z=2，k=1与k≥3矛盾，所以有k=1或k=2。
大定理证毕

谢芝灵

我想传原件

louloujian

你的证明有问题的吧．．很多很漏洞啊　

谢芝灵

谢谢指正!

谢芝灵

此题证明很简单,所以有些东西大家郗懂.我也不必写明,在你来商成漏洞了.
关健一:一元次k方程的一般表达式.
关健二:一元次k方程有个k 根.
关健三:一元次方程的根与系数的唯一性.
关健四:a^k+b^k=c^k .  的变形.
答复你:在一元二次方程:x^2+ax+b=0....(1)
                      px^2+qx+w=0....(2)
这只是形式不同,个人的习贯.(2)式可变为(1)式..与数值取范围无关.是通用的.
有理数,无理数,...都适合.只是x=0.没有意义了..所以一元k次方程的表达式无漏洞.
二,一元k次方程有k个根.
在方程:x^(k+1)+ax+b=0.....(3) 中.
变形为:x^k+a+b/x=0.如果此方程有k个根,那么(3)武是:
  x[x^k+a+b/x]=0....(4).则括号外的x也可一个根满足(3)武.
得括号外的x是(3)的根.是第(k+1)个根.只是有可能某些根有可能相等.
但(3)有k+1个根.就如一元二次方程有2个根一样.也有可能这二个根是相等的.
第三,根与系数的唯一性,证明很简单,且完整.只是人们没发现.
第四,a^k+b^k=c^k.的变形.
c^k-a^k=b^k-->c^(k-1)+ac^(k-2)+...+ca^(k-2)+a^(k-1)=b^k/(c-a)...(5)
c^k-b^k=a^k-->c^9k-1)+bc^(k-2)+...+cb^(k-2)+b^(k-1)=a^k/(c-b)...(6)
(5)式(6)式都是由一个式子得到.把c和c的各个根一确定.由唯一性得5)式(6)式
是一个方程.当k>2时.在5)式(6)式中有:a=b.
只有正整数才有最小解.有最小解某个数才能确定.
不知你说的漏洞是什么?
谢谢!

谢芝灵

一元一次方程是小学的,一元二次呢是初中生做的.
这二个联在一起会发现什么?
在一元n次方程中.末项数记为A..方程的各个根分别为:x1.x2.x3...xn
当n=1.===>A=-x1
  n=2.====>A=x1*x2
n=3.====>A=-x1*x2*x3
.................................
奇妙的东西出现了.
解一元三次方程用卡丹公式.但只有一个根.另二个根是高斯乱加的.所以不正确.
任何一个一元三次方程都能化为:
  X^3+pX+q=0.......(1)
设X=m+n.
  得:m^3+3nm^2+3mn^2+n^3+3p(m+n)+q=0.....(2)
  令3nm^2+3mn^2+3p(m+n)=0.==>3mn+p=0....(3)
则(2)式有:m^3+n^3+q=0....(4)
将(3)式代入(4)式得到一个一元二次方程.显然能解得m.n故能得到x1.是已知数..代入(1)式.
最后能得到:x1+x2+x3=0
                  x1*x2*x3=-q
                    x1*x1+x1*x2+x2*x2=x1*x1+x1*x3+x3*x3=x2*x2+x2*x3+x3*x3=-p....(5)
在(5)中x1是已知数.则能解得出x2和x3.我这二个根与高斯的根不一样.
其实方程的系数是由各个根决定的.反过来各个根又由系数决定..这就是唯一性.
唯一性定理对解方程很有意义..

谢芝灵

美哉数学!美妙方程!
人们认识方程只看表面,不深层了解.
方程是完美的.
请看一次方程:X+A=0....(1)
      得:x1=-A.....(2)
        (2)式代入(1)式有:X=x1.
     说明只有一个根.
在二次方程:XX+BX+A=0...(3).
得:x1*x2=A
    x1+x2=-B.
  代入(3)式得:XX-(x1+x2)X+x1*x2=0....(4).
    得:X-(x1+x2)+x1*x2/X=0...(5)
    在x1*x2/X中,如果取X=x1.则(5)式为一个一次方程,即:X-x1-x2+x2=0.得X=x1.
    在x1*x2/X中,如果取X=x2.则(5)式为一个一次方程,即:X-x1-x2+x1=0.得X=x2
在三次方程:X^3+BX+A=0....(6).中
       有方程组:x1*x2*x3=-A
               x1+x2+x3=0
             x1*x1+x1*x2+x2*x2=x1*x1+x1*x3+x3*x3=x2*x2+x2*x3+x3*x3=-B
      代入(6)式得:X^3-(x1*x1+x1*x2+x2*x2)X-x1*x2*x3=0
       变形为:X^2-x1*x1-x1*x2-x2*x2-x1*x2*x3/X=0....(7)
    在(7)中取:X=x1.得:X^2-x1*x1-x1*x2-x2*x2-x2*x3=0...(8)
   得x1*x1-x1*x1+x2(x2+x3)-x2*x2-x2*x3=0
  得x2)^2-x2*(x2+x3)+x2*x3=0...(9)
  请看(4)式(9)式是一样吗?这就是美.
  表面的方程,内部很完整.

nmgnewsun

这样就算降阶？
第一次见！

louloujian

变形为：y^k+Ay^(k-1)+By^(k-2)+……+N+M/y=0    ②
这个方程是k次的吗，，你降次了吗　？

louloujian

变形为：y^k+Ay^(k-1)+By^(k-2)+……+N+M/y=0    ②
这个方程是k次的吗，，你降次了吗　？
我怎么觉得如过刚好这个方程０不是它的根的话，，它还是有k+1个根啊