构成素数对的规律

vfbpgyfk

构成素数对的规律
掌握了素数对的构成规律，就能够节省选配素数对的时间。
当偶数或奇数除6时，两种数都有相同个数的除6余数。偶数的余数0、2、4，奇数是1、3、5。即MOD(N,6)=0、2、4，MOD(Q,6)=1、3、5。
根据这种规律就能总结出如下规律：
1、除6余0类的偶数，素数对是由奇素数（因除去2外，素数都是奇数，则以后不再刻意强调那个“奇”字了）除6余的1和除6余5，或是除6余5和除6余1的素数构成，称为1+5型或5+1型素数对。对3+3型的素数对只有3+3=6的这个唯一素数对。
由此规律可见，能够被6整除的偶数，有两种类型素数构成的素数对，3+3=6型的素数对只有在偶数为6时才有。如果把1当作素数对待时，偶数6还有1+5型这个素数对（若小+大的按单记法，就没有5+1型的素数对了）。
所以，当选配此类偶数的素数对时，因为素数除去3以外，都是素数除6余1或余5类的，那么，在选配素数时的基本素数就要以小区间或大区间中的全部素数。现以小区间全部素数为例，则有大奇数=偶数-小区间素数，若大奇数是素数的话，就构成了素数对。
2、除6余2类的偶数，素数对是由素数除6余1和素数除6余1构成，即1+1型，或是3+5型和5+3型。
1+1型是构成此类偶数素数对的主流，3+5型顶多有一个（N-3是素数时），5+3型根本不可能存在。
由此来看，此类偶数只有1+1型素数对，这就比能被6整除的偶数少了一种构成素数对的条件，所以，此类偶数的素数对个数要比可被6整除的偶数少一些，甚至能够接近一半。
由于此类偶数构成素数对的单一性，那就在选配素数对上有机可承，在处理好3+5型素数对后，并确定好第一个构成素数对的基础上，而后的基本素数就可选择1、1+6、7+6、……1+n6的规律选配素数对。例如：当N=38时，因1、3、5、7、11、13、17、19是素数，只需用1、7、13、19去选配素数对，则有1+(38-1)、7+(38-7）、13+(38-13)、19+(38-19)这4个需要计算判断，而对5、7、11、17这4个数就不必考虑了。由于38-13=25，所以，D(38)=3【1+37、7+31、19+19】。
3、除6余4类的偶数，素数对是由5+5型、1+3型(1+3=4的唯一素数对)和3+1型的素数对(只有在N-3是素数时才能构成的一个素数对)。所以，此类偶数构成素数对的主流是5+5型，也是只有一种类型，比可被6整除的偶数少一种类型，则此类偶数的素数对要比可被6整除的偶数素数对个数少。
现以N=40为例：3+1型的素数对因40-3=37，则40的就有了这个3+1类型的素数对了。
由于此类偶数是的素数对是5+5型，那么，就要从5开始选配素数对了，则有：5+(40-5)、11+(40-11)、17+(40-17)三个选判，对于1、3、7、19就不必考虑了。因40-5=35，则5+(40-5)就不是素数对，只剩下11+(40-11)、17+(40-17)两个素数对，即D(40)=1+2=3。

重生888@

老熊出来啦，有了新花样？

vfbpgyfk

虽然这个客观规律早就发现了，但还没有应用到选配素数对上来，更没有运用于编程选配素数对之中。经编程后的实践检验后，才体现出运行速度的提速效应。在编写此文过程中所举实例又发现程序运行提速的主要原因，那就是减少了近一半的素数不必参与选配素数对运作。同理，手工操作也具有这种不必要的劳作。

重生888@

vfbpgyfk 发表于 2023-7-6 00:22
虽然这个客观规律早就发现了，但还没有应用到选配素数对上来，更没有运用于编程选配素数对之中。经编程后的 ...

我说你想在0+0=1的基础上玩出新花样！你感叹有的偶数提速不了，何故？请再多看看我的文章，一定有结果！
也就是说，必须使用我的公式，编程不挡手！不信可先试试30*2^2-----2^32试试。

愚工688

把偶数M=2A拆分成两个素数有什么难点吗？
——它只是一个变量x与A不构成同余关系的同余问题，2000多年前的《韩信点兵》就已经研究了依据余数求解值的方法。而自然数列中的数除以任意素数的余数呈现周期性循环变化的规律，决定了与A不构成同余关系的变量x是必然存在的，也就是偶数M必然能够拆分成两个符合条件a的素数{A-x,A+x}。

计算示例：
偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，半值A= 454，其分成两个素数对A±x的变量x的取值区间[0，A-3]中含有的整数为( 908/2- 2)个，
因此，其构成素对的x值数量的计算式是：
Sp( 908)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15
具体到每一步乘法因子的含义：
1/2——[0，A-3]中满足除以2的余数不等于j2的数的发生概率；
( 1/ 3)—— [0，A-3]中满足除以3的余数不等于j3与（3-j3）的数的发生概率；
( 3/ 5)—— [0，A-3]中满足除以5的余数不等于j5与（5-j5）的数的发生概率；
( 5/ 7)—— [0，A-3]中满足除以7的余数不等于j7与（7-j7）的数的发生概率；
……
这里的j2,j3,…,jn,…，jr系偶数半值A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。
因此依据概率的独立事件的乘法定理：
在自然数[0，A-3]区域中除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r-jr)的x值的分布概率P(m)，
有P(m)=P(2·3·5·…·n·…·r))
=P(2)P(3)…P(n)…P(r).
即有
Sp( 908)=( 908/2- 2)*P(m)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15
实际筛选后的情况 ：A= 454 时，
变量x= : 33 , 45 , 87 , 117 , 123 , 147 , 177 , 255 , 273 , 297 , 303 , 315 , 357 , 375 , 423 ,
表示成素数对{A-x,+,A+x}的形式：
[ 908 = ] 421 + 487 409 + 499 367 + 541 337 + 571 331 + 577 307 + 601 277 + 631 199 + 709 181 + 727 157 + 751 151 + 757 139 + 769 97 + 811 79 + 829 31 + 877
M= 908 S(m)= 15 S1(m)= 15 Sp(m)≈ 15 δ(m)≈ 0 K(m)= 1 r= 29

愚工688

任意偶数2A拆分成两个素数的形式都可以表示为：{A-x,A+x}；
因此研究偶数素数对的配对问题，不如研究单一的变量x对偶数半值A的相应关系；
变量x与A不构成同余关系的同余问题，

从小偶数2、3的余数组合来说；
自然数除以2、3组合的余数有（0,0）、（1,1）、（0,2）、（1，0）、（0,1）、（1,2）这6种；
分别表示了自然数列
（0,0）：0、6、12、18、24、30、……
（1,1）：1、7、13、19、25、31、……
（0,2）：2、8、14、20、26、32、……
（1,0）：3、9、15、21、27、33、……
（0,1） : 4、10、16、22、28、34、……
（1,2）：5、11、17、23、29、35、……

因此当偶数2A的半值A除以素数2、3的余数，出发，就可以轻易判断变量x的可取值处于什么位置：
当A除以素数2、3的余数为（0,0）时，变量x可取值为（1,1）、（1,2）两组；
当A除以素数2、3的余数为（1,0）时，变量x可取值为（0,1）、（0,2）两组；

当A除以素数2、3的余数为（0,1）时，变量x可取值为（1,0）一组；
当A除以素数2、3的余数为（0,2）时，变量x可取值为（1,0）一组；
当A除以素数2、3的余数为（1,1）时，变量x可取值为（0,0）一组；
当A除以素数2、3的余数为（1,2）时，变量x可取值为（0,0）一组；

这就很好的说明了为什么含有因子3的偶数的素数对数量比不含有因子3的相邻偶数的素数多多的主要原因。

因此我们可以轻易的知道，偶数2^n 类型的偶数的变量x 处于（1,0）一组中。
A= 8 ,x= : 3 ,( 5 ),
M= 16      S(m)= 2     S1(m)= 1    Sp(m)≈ 1         δ1(m)≈ 0       K(m)= 1      r= 3
* Sp( 16)=[( 16/2- 2)/2]*( 1/ 3)= 1

A= 16 ,x= : 3 ,( 13 ),
M= 32      S(m)= 2     S1(m)= 1    Sp(m)≈ 1.4       δ1(m)≈ .4      K(m)= 1      r= 5
* Sp( 32)=[( 32/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)= 1.4

A= 32 ,x= : 9 , 15 , 21 ,( 27 ),( 29 ),
M= 64      S(m)= 5     S1(m)= 3    Sp(m)≈ 2.143     δ1(m)≈-.286    K(m)= 1      r= 7
* Sp( 64)=[( 64/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)= 2.143

A= 64 ,x= : 3 , 33 , 45 ,
M= 128     S(m)= 3     S1(m)= 3    Sp(m)≈ 3.623     δ1(m)≈ .208    K(m)= 1      r= 11
* Sp( 128)=[( 128/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)= 3.623


这种现象主要是指偶数M拆分成两个符合条件a的素数{A-x,A+x}而言，即不能被√M内的素数整除的素对。

由于自然数中除以√M内的素数的余数呈现周期性循环变化，因此注定了【变量x与A不构成同余关系】变量一定的存在，它们可以使用中国余数定理求出具体值，其中处于【0，A-3】中的x值能够构成素数对：{A±x} 。

重生888@

愚工688 发表于 2023-7-12 03:00
任意偶数2A拆分成两个素数的形式都可以表示为：{A-x,A+x}；
因此研究偶数素数对的配对问题，不如研究单一 ...

您的理论可行！3/3.323=0.828......
我以我的理论：
D（128）=5/8*（128+F1*128/ln128）/(ln128)^2=4         3/4=0.75

D(256)=5/8*(256+F1*256/ln256)/(ln256)^2=6.141....    （实际6对）

不知道您SP（256）=？        谢谢！

愚工688

重生888@ 发表于 2023-7-12 08:58
您的理论可行！3/3.323=0.828......
我以我的理论：
D（128）=5/8*（128+F1*128/ln128）/(ln128)^2=4   ...

[ 256 = ]  107 + 149  89 + 167  83 + 173  59 + 197  29 + 227  23 + 233  17 + 239 （ 5 + 251 ）
M= 256     S(m)= 8     S1(m)= 7    Sp(m)≈ 6.231  δ1(m)≈-.11  K(m)= 1      r= 13
* Sp( 256)=[( 256/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)= 6.231

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（0,0）：0、6、12、18、24、30、……属于MOD(N,6)=0类偶数，则素数对是5+1型和1+5型。例如：N=24，素数对有：5+1型(5+19)、(11+13)；1+5型(1+23)、!7+17)。共4个素数对。
（1,1）：1、7、13、19、25、31、……属于MOD(N,6)=2类偶数，则素数对是1+1型。例如：N=50，MOD(50,6)=2，因为47是素数，则有3+47这个3+5型素数对，其余的都是1+1型素数对：(7+43)、(13+37)、(19+31)的3+1=4个素数对。
（0,2）：2、8、14、20、26、32、……这个形式不理解。从后面的偶数上看，应该属于MOD(N,6)=2类偶数，括号内的表达指的是什么。按我的方法是（1+1型），类同于第二行。
（1,0）：3、9、15、21、27、33、……这个形式不理解。从后面的偶数上看，应该构不成素数，因为者是可被3整除的奇数，其中除3外，都 是合数。
（0,1） : 4、10、16、22、28、34、……这个形式不理解。从后面的偶数上看，应该属于MOD(N,6)=4类偶数，括号内的表达指的是什么。按我的方法是（5+5型）。例如：N=28，MOD(28,6)=4，没有3+1型素数对，因为28-3=25是合数。其余的都是(5+5)型素数对，有(5+23)、(11+17)两个素数对。
（1,2）：5、11、17、23、29、35、……这个形式不理解。从后面的偶数上看，应该属于MOD(N,6)=4类偶数，括号内的表达指的是什么。按我的方法是（5+5型），类同于上一行。例如：N=58，因为58-3=55，则没有3+1型素数对，其余都是(5+5)型素数对，(5+53)、(11+47)、(17+41)、(29+29)四个素数对。

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至此来看，二位还没有理解这种简化计算法，道理没有那么深奥复杂，非常简单直白。
偶数除6的余数只有三种，一个是能够是被6整除的，MOD(N,6)=0，另一个是余2的，MOD(N,6)=2，再一个就是余4的，MOD(N,6)=4。
奇数(以Q来代表)除6的余数也是只有三种，一个是除6余1的，MOD(Q,6)=1，另一个是余3的，MOD(Q,6)=3，再一个就是余5的，MOD(Q,6)=5。
由于两个奇数之和等于偶数，而素数除去2外，都是奇数，所以，从素数对总体形式角度讲，只需考虑两个相加素数的余数之和，就能展现出所有偶数的素数对形态。
那么除6余2类偶数的素数对只有三种形式，一种是1+1型(1+1=2，MOD(2,6)=2)，另一个形式是3+5型(3+5=8，MOD(8,6)=2)，再一个就是5+3型(5+3=8，MOD(8,6)=2)。1+1型没的说了，3+5型只在小素数为3时，且N-3(MOD(N-3),6)必定=5)才有可能构成素数对。因为3+6n(n为自然数)都是可被3整除的数，也就是都是合数，则大于3的小奇数，都不能够构成素数对。同理，5+3型奇数对因是以小加大规则表现素数对，那么，这种类型的素数对就不可能存在，也就是说，因为5>3，素数5+3就不符合小加大规则，当大奇数大于3时，必定是3+6n的奇数，因为6n都能被3整除，则都是合数，那么，无论5+6n怎么变化，大奇数都是合数，则永远不能构成素数对，所以，5+3型的素数对，根本就不存在！所以，1+1型素数是MOD(N,6)=4类偶数的主流素数对形态。
再说除6余4类偶数，能够构这类偶数的奇数只有1+3型、3+1型和5+5型(5+5=10，MOD(10,6)=4) 。奇数除6余1有很多，但是，3+6n的奇数除3 外，都是合数，则大于3的大奇数者不可能构成素数对，所以，只有在把1当作素数对待时，才会有唯一的1+3=4的素数对。至于3+1型奇数对，只有在小奇数为3时，才有可能构成素数对，那就是3+(N-3)，MOD(N-3,6)必定=1，但是，只有在N-3是素数时，才有可能构成素数对。余下的就是5+5型的素数了，这个形态的素数对是除6余4类偶数的主流素数对。
能够被6整除类的偶数，奇数对形态是1+5型、5+1型和3+3型，3+3型只有在偶数为6时，才可能存在。那么，1+5型和5+1型素数对就是可被6整除类偶数主流素数对了。
通过上述分析可见，可被6整除的偶数，要比其它两类偶数多了一个构成素数对的形态，则该类偶数，就有多于其它两类偶数的素数对个数条件。
通过这些分析，每类偶数都有各自构成素数对基本条件，只有那些基数类型加6n能够素数的奇数，才有可能构成素数对，这就是我所用的在基数上加6n构成素数的法则。其余都因奇数除6的余数不具备构成素数条件，而被舍弃掉了，这就简化了选配素数对的运作过程，而提高了工作效率办法。