设 30k+1 是素数，
且 (30k+1)^25*2^32+1 是素数，
则 10 是素数 (30k+1)^25*2^32+1 的原根。
谢谢 时空伴随者 计算出 30k+1 =1381, 1831, 10651, 12211, 20611, 23971, 27541, 42391,
51151, 51691, 55201, 56101, 70891, 71941, 79621, 128941, 144031, 145681, 151771, 157411,
161641, 169501, 195121, 198901, 212881, 213091, 234781, 250951, 253681, 260761, 265141,
271501, 272761, 274831, 300481, 316891, 320401, 320851, 325891, 332161, 343261, 346321,
349171, 352081, 359761, 363271, 367621, 378571, 385501, 387031, 433861, 433981, 434461,
451831, 452671, 456061, 470791, 481651, 493291, ......
设 30k+7 是素数，
且 (30k+7)^25*2^32+1 是素数，
则 10 是素数 (30k+7)^25*2^32+1 的原根。
谢谢 时空伴随者 计算出 30k+7 =7867, 12097, 13477, 17707, 17977, 18517, 23827, 28807, 49207, 53887,
77317, 82237, 89137, 95257, 105517, 105967, 120577, 133597, 135277, 148147, 157867, 169327,
185467, 188017, 194917, 196837, 205237, 211297, 235057, 236407, 238207, 240727, 248257, 256957,
257707, 259717, 262747, 263437, 301927, 303367, 312967, 331957, 337957, 339247, 343897, 346627,
347287, 363367, 375997, 394837, 395737, 399577, 403687, 406837, 408607, 421987, 424687, 427597,
429397, 431887, 432337, 434647, 459817, 462097, 467197, 482227, 492067, 493177, 499927, ......
设 30k+7 是素数，
且 (30k+7)^37*2^2+1 是素数，
则 10 是素数 (30k+7)^37*2^2+1 的原根。
谢谢 时空伴随者 计算出 30k+7 =
30k + 7 is prime and (30k + 7)^37*2^2 + 1 is prime
8017
28687
32587
42967
43777
48157
57367
57637
84787
92557
101347
105337
106207
112087
130687
141667
151237
195787
196177
209227
221677
221707
224797
232597
245527
258337
268267
271177
284377
298477
302317
307537
320377
327667
328177
350947
364717
374137
381697
382357
412807
437287
438847
457267
463627
495637
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-31 17:32 编辑
设 k 为正整数，t, r 为非负整数，
若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 都是素数，
则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 的四个原根。
若 30k+29 和 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 都是素数，
则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 的四个原根。
设 k 为正整数，t, r 为非负整数，
若 30k+1 和 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 都是素数，
则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 的四个原根。
若 30k+7 和 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 都是素数，
则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 的四个原根。
设 k 为正整数，t, r 为非负整数，
若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 都是素数，
则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 的四个原根。
若 30k+23 和 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 都是素数，
则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 的四个原根。
设 k 为正整数，t, r 为非负整数，
若 30k+13 和 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 都是素数，
则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 的四个原根。
若 30k+19 和 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 都是素数，
则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 的四个原根。
本帖最后由 蔡家雄 于 2024-1-13 22:25 编辑
B类具有完全循环节的一条龙素数可能成立，
若 (2*10^n - 23)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。
谢谢树新蜂老师提供100000内的 n={2, 3, 4, 26, 44, 58, 73, 88, 211, 244, 1393, 2282, 4108, 6777, 7480, 14369, 16153, 21081, 24308, 27368, 43455, 51597, 55559, 67405, 88112}
请 Treenewbee 判断，
已知：10是素数 659 的原根，
已证：10是素数 6659 的原根，
已证：10是素数 66666666666666666666666659 的原根，
已证：10是素数 66666666666666666666666666666666666666666659 的原根，
已证：10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根，
已证：10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根，
判断：10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根，
判断：10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根，
判断：10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根，
B类具有完全循环节的一条龙素数可能成立，
若 (2*10^n - 59)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。
谢谢树新蜂老师提供100000内的 n={2, 3, 6, 9, 10, 14, 15, 34, 49, 56, 138, 250, 350, 357, 374, 392, 1594, 4794, 5290, 6702, 11936, 22296, 55762, 55834, 96195}
已知：10 是素数 47 的原根，
已证：10 是素数 647 的原根，
已证：10 是素数 666647 的原根，
判断：10 是素数 666666647 的原根，
判断：10 是素数 6666666647 的原根，
已证：10 是素数 66666666666647 的原根，
已证：10 是素数 666666666666647 的原根，
已证：10 是素数 6666666666666666666666666666666647 的原根，
判断：10 是素数 66666666666666666666666666666666666666666666666666666647 的原根，
本帖最后由 蔡家雄 于 2024-1-13 21:25 编辑
C类具有完全循环节的一条龙素数可能成立，
判断：10 是素数 48888887 的原根，
判断：10 是素数 488888888888887 的原根，
判断：10 是素数 48888888888888888888888887 的原根，
判断：10 是素数 263 的原根，
判断：10 是素数 2663 的原根，
判断：10 是素数 266663 的原根，
判断：10 是素数 2666663 的原根，
判断：10 是素数 26666663 的原根，
判断：10 是素数 26666666666663 的原根，
判断：10 是素数 266666666666666666666663 的原根，
判断：10 是素数2666666666666666666666666666663 的原根，
判断：10 是素数 266666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666663 的原根，
判断：10 是素数 26666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666663 的原根，
若 30k+7 与 120k+29 都是素数，
则 2, 3, 10 是素数 120k+29 的三个原根。
若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，
则 2, 3, 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的三个原根。
设 k 为正整数，t, r 为非负整数，
若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 都是素数，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 的四个原根。
若 30k+29 和 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 都是素数，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 的四个原根。
特殊验证法
由 g^(2^(4t+3)) -1 不能被 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 整除，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 的四个原根。
由 g^(2^(4t+3)) -1 不能被 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 整除，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 的四个原根。
设 k 为正整数，t, r 为非负整数，
若 30k+1 和 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 都是素数，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 的四个原根。
若 30k+7 和 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 都是素数，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 的四个原根。
特殊验证法
由 g^(2^(4t+4)) -1 不能被 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 整除，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 的四个原根。
由 g^(2^(4t+4)) -1 不能被 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 整除，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 的四个原根。
设 k 为正整数，t, r 为非负整数，
若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 都是素数，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 的四个原根。
若 30k+23 和 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 都是素数，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 的四个原根。
特殊验证法
由 g^(2^(4t+5)) -1 不能被 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 整除，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 的四个原根。
由 g^(2^(4t+5)) -1 不能被 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 整除，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 的四个原根。
设 k 为正整数，t, r 为非负整数，
若 30k+13 和 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 都是素数，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 的四个原根。
若 30k+19 和 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 都是素数，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 的四个原根。
特殊验证法
由 g^(2^(4t+6)) -1 不能被 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 整除，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 的四个原根。
由 g^(2^(4t+6)) -1 不能被 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 整除，
则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 的四个原根。
蔡氏完全循环节问题
若 \(3^{2n}+2^{2n+1}\) 是素数，
则 \(10\) 是素数 \(3^{2n}+2^{2n+1}\) 的原根。
谢谢 Treenewbee , 时空伴随者 提供10000内数据，
2n={2, 4, 6, 12, 22, 32, 36, 46, 80, 154, 236, 250, 992, 2072, 3616, 3702, 5076}
本帖最后由 蔡家雄 于 2024-1-8 10:14 编辑
特殊素数的原根举例
若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，
则 g=2, 3, 2*5, 3*5 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的四个原根。
特殊素数的原根举例
若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，
则 g=5, 5*2 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的两个原根。
蔡氏完全循环节问题
若 \(3^{2n}+2^{2n+1}\) 是素数，
则 \(10\) 是素数 \(3^{2n}+2^{2n+1}\) 的原根。
谢谢 Treenewbee , 时空伴随者 提供 10^5 内数据，
2n={2, 4, 6, 12, 22, 32, 36, 46, 80, 154, 236, 250, 992, 2072, 3616, 3702, 5076, 10984, 12350, 13660, 30286, 33220, 50192}