论坛 › 哥猜等难题和猜想 › (a^2+3)/p=c两整数解之和等于p

yangchuanju 发表于 2024-4-17 12:19

(a^2+3)/p=c两整数解之和等于p

不定方程(a^2+3)/p=c两整数解之和等于p

对于不定方程(a^2+3)/p=c，在p范围内2个整数解之和等于p的证明

证明：
不定方程中的a和c是大于等于1的正整数，p是模6余1的素数。
设不定方程的第一个整数解是t，则(t^2+3)/p=c，
取a=p-t试一试，[(p-t)^2+3]/p=/p=p-2t+c也是整数；
t+(p-t)=p，故原不定方程的两个整数解的和等于p。
因为a^2+3都是模6余1的整数，其中没有模6余5的素因子，故分母中如果含有模6余5的素因子，则就没有整数解了。

yangchuanju 发表于 2024-4-17 12:21

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-17 17:24 编辑

对于不定方程(a^2+3)/(p1*p2*p3)=c，在p1*p2*p3范围内有8个整数解的证明
不定方程中的a,c是大于等于1的正整数，p1,p2,p3是模6余1的素数；现以p1=7,p2=13,p3=19证明之，7*13*19=1729。

对于不定方程(a^2+3)/7=c，在7以内共有2个整数解，相加等于7，7的2个整数解可能位于16,25或34位；在91以内共有2*13=26个整数解，在1729以内共有2*13*19=494个整数解；
对于不定方程(a^2+3)/13=c，在13以内共有2个整数解，相加等于13，13的2个整数解可能位于1c,2b,3a,49,58或67位；在91以内共有2*7=14个整数解，在1729以内共有2*7*19=266个整数解；
（整数解位号中的abcdef……分别表示第10,11,12,13,14,15……位，下同）
对于不定方程(a^2+3)/91=c，在91以内共有4个整数解，相加等于91；必须在7和13的共同有解位。
对7的3种整数解位和13的6种整数解位两两组合（排列）共18种排列方式；
对p1有(p1-1)/2种解位，对p2有(p2-1)/2种解位，各种解位两两组合共(p1-1)/2*(p2-1)/2种排列方式；
经统计每种排列方式之中都有4个共同解，即不论两个素数的单个整数解如何排列，都有4个整数解。

对于不定方程(a^2+3)/19=c，在19以内共有2个整数解，相加等于19，19的2个整数解可能位于1i,2h,3g,4f,5e,6d,7c,8b或9a位；在1729以内共有2*91=182个整数解；
对于不定方程(a^2+3)/1729=c，在1729以内共有8个整数解，相加等于1729；必须在91和19的共同有解位。
对7的3种整数解位、13的6种整数解位和19的9种整数解位两两组合（排列）共18*9=162种排列方式；
对p1有(p1-1)/2种解位，对p2有(p2-1)/2种解位，对p3有(p3-1)/2种解位，各种解位两两组合共(p1-1)/2*(p2-1)/2*(p3-1)/2种排列方式；
经统计每种排列方式之中都有8个共同解，即不论三个素数的单个整数解如何排列，都有8个整数解。

由于三个素因子两两互素，每种排列都会有8个共同整数解；
任意排列共有(p1-1)/2*(p2-1)/2*(p3-1)/2种排列，实际上对于特定的三个素数只要一种特定的排列，
对于这一个特定排列也一定有8个整数解！

类似的可以证明，当分母是素因子各不相同的二合数、四合数、五合数、六合数……n合数时，分别有4,16,32,64……2^n个整数解。

yangchuanju 发表于 2024-4-17 12:24

a        a^2+3        7        13        19        91        133        247        1729
1        4        0        0        0        0        0        0        0
2        7        1        0        0        0        0        0        0
3        12        0        0        0        0        0        0        0
4        19        0        0        1        0        0        0        0
5        28        1        0        0        0        0        0        0
6        39        0        1        0        0        0        0        0
7        52        0        1        0        0        0        0        0
8        67        0        0        0        0        0        0        0
9        84        1        0        0        0        0        0        0
10        103        0        0        0        0        0        0        0
11        124        0        0        0        0        0        0        0
12        147        1        0        0        0        0        0        0
13        172        0        0        0        0        0        0        0
14        199        0        0        0        0        0        0        0
15        228        0        0        1        0        0        0        0
16        259        1        0        0        0        0        0        0
17        292        0        0        0        0        0        0        0
18        327        0        0        0        0        0        0        0
19        364        1        1        0        1        0        0        0
……
1711        2927524        0        0        0        0        0        0        0
1712        2930947        0        0        0        0        0        0        0
1713        2934372        1        0        0        0        0        0        0
1714        2937799        0        0        1        0        0        0        0
1715        2941228        0        0        0        0        0        0        0
1716        2944659        0        0        0        0        0        0        0
1717        2948092        1        0        0        0        0        0        0
1718        2951527        0        0        0        0        0        0        0
1719        2954964        0        0        0        0        0        0        0
1720        2958403        1        0        0        0        0        0        0
1721        2961844        0        0        0        0        0        0        0
1722        2965287        0        1        0        0        0        0        0
1723        2968732        0        1        0        0        0        0        0
1724        2972179        1        0        0        0        0        0        0
1725        2975628        0        0        1        0        0        0        0
1726        2979079        0        0        0        0        0        0        0
1727        2982532        1        0        0        0        0        0        0
1728        2985987        0        0        0        0        0        0        0
1729        2989444        0        0        0        0        0        0        0
表中：1——是整数解；0——不是整数解

yangchuanju 发表于 2024-4-17 12:26

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-17 17:27 编辑

不定方程(a^2+3)/7=c，在7以内共有2个整数解，相加等于7，7的2个整数解可能位于16，25或34位
a        7.1        7.2        7.3
1        1               
2                1       
3                        1
4                        1
5                1       
6        1               
7                       
【附注】实际只要一种解位a=2和5，简写作25。

yangchuanju 发表于 2024-4-17 12:28

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-17 17:29 编辑

不定方程(a^2+3)/13=c，在13以内共有2个整数解，相加等于13，13的2个整数解可能位于1c，2b，3a，49，58或67位
a        13.1        13.2        13.3        13.4        13.5        13.6
1        1                                       
2                1                               
3                        1                       
4                                1               
5                                        1       
6                                                1
7                                                1
8                                        1       
9                                1               
10                        1                       
11                1                               
12        1                                       
13                                               
【附注】实际解位只有一种，a=6和7，简写作67。

yangchuanju 发表于 2024-4-17 12:35

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-17 17:31 编辑

对于不定方程(a^2+3)/(p1*p2*p3)=c，在p1*p2*p3范围内有8个整数解的证明
不定方程中的a,c是大于等于1的正整数，p1,p2,p3是模6余1的素数；现以p1=7,p2=13,p3=19证明之，7*13*19=1729。

对于不定方程(a^2+3)/7=c，在7以内共有2个整数解，相加等于7，7的2个整数解可能位于16,25或34位；在91以内共有2*13=26个整数解，在1729以内共有2*13*19=494个整数解；
对于不定方程(a^2+3)/13=c，在13以内共有2个整数解，相加等于13，13的2个整数解可能位于1c,2b,3a,49,58或67位；在91以内共有2*7=14个整数解，在1729以内共有2*7*19=266个整数解；
（整数解位号中的abcdef……分别表示第10,11,12,13,14,15……位，下同）
对于不定方程(a^2+3)/91=c，在91以内共有4个整数解，相加等于91；必须在7和13的共同有解位。
对7的3种整数解位和13的6种整数解位两两组合（排列）共18种排列方式；
对p1有(p1-1)/2种解位，对p2有(p2-1)/2种解位，各种解位两两组合共(p1-1)/2*(p2-1)/2种排列方式；
经统计每种排列方式之中都有4个共同解，即不论两个素数的单个整数解如何排列，都有4个整数解。

a        1        2        3        4        17        18
1        2        1        1        1        0        0
2        0        1        0        0        0        0
3        0        0        1        0        1        1
4        0        0        0        1        1        1
5        0        0        0        0        1        0
6        1        1        1        1        0        1
7        0        0        0        0        0        1
8        1        1        1        1        1        0
9        0        0        0        1        0        0
10        0        0        1        0        1        1
11        0        1        0        0        1        1
12        1        0        0        0        0        0
13        1        1        1        1        0        0
……
90        2        1        1        1        0        0        2
91        0        0        0        0        0        0        0
2个数        4        4        4        4        4        4

2个数——即二合数91的各种排列式的整数解个数。

yangchuanju 发表于 2024-4-17 12:41

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-17 12:44 编辑

对于不定方程(a^2+3)/19=c，在19以内共有2个整数解，相加等于19，19的2个整数解可能位于1i,2h,3g,4f,5e,6d,7c,8b或9a位；在1729以内共有2*91=182个整数解；
对于不定方程(a^2+3)/1729=c，在1729以内共有8个整数解，相加等于1729；必须在91和19的共同有解位。
对7的3种整数解位、13的6种整数解位和19的9种整数解位两两组合（排列）共18*9=162种排列方式；
对p1有(p1-1)/2种解位，对p2有(p2-1)/2种解位，对p3有(p3-1)/2种解位，各种解位两两组合共(p1-1)/2*(p2-1)/2*(p3-1)/2种排列方式；
经统计每种排列方式之中都有8个共同解，即不论三个素数的单个整数解如何排列，都有8个整数解。

由于三个素因子两两互素，每种排列都会有8个共同整数解；
任意排列共有(p1-1)/2*(p2-1)/2*(p3-1)/2种排列，实际上对于特定的三个素数只要一种特定的排列，
对于这一个特定排列也一定有8个整数解！

类似的可以证明，当分母是素因子各不相同的二合数、四合数、五合数、六合数……n合数时，分别有4,16,32,64……2^n个整数解。

a        A1        A18        B1        B18        C1        C18        I1        I18
1        3        1        2        0        2        0        2        0
2        0        0        1        1        0        0        0        0
3        0        1        0        1        1        2        0        1
4        0        1        0        1        0        1        0        1
5        0        0        0        0        0        0        0        0
6        1        1        1        1        1        1        1        1
7        0        1        0        1        0        1        0        1
8        1        0        1        0        1        0        1        0
9        0        0        0        0        0        0        1        1
10        0        1        0        1        0        1        1        2
11        0        1        0        1        0        1        0        1
12        1        0        1        0        1        0        1        0
13        1        0        1        0        1        0        1        0
……
1727        0        0        1        1        0        0        0        0
1728        3        1        2        0        2        0        2        0
1729        0        0        0        0        0        0        0        0

3个数        8        8        8        8        8        8        8        8

162中排列方式中3个数都是8个，即各种可能排列中的整数解个数都是8。

yangchuanju 发表于 2024-4-17 12:45

不定方程(a^2+3)/(p1*p2*…*pn)=c在1-p1*p2*…*pn范围内共有2^n个整数解，第1个小于p1*p2*…*pn/2，第2^n/2个不大于p1*p2*…*pn/2；
不定方程中的p1、p2、…、pn都是模6余1的素数。
只考虑第1个整数解a，它大于等于1，小于等于p1*p2*…*pn/2；有整数解的最小a应大于等于(p1*p2*…*pn-3)的平方根，一般认为大于p1*p2*…*pn的平方根即可；
要寻找它的最小整数解可从a=√(p1*p2*…*pn-3)开始，不必从a=1开始。

yangchuanju 发表于 2024-4-17 12:46

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-17 17:35 编辑

不定方程(a^2+3)/(2^p-1)=c在1-(2^p-1)范围内可能有2个或多个整数解；
不定方程中的2^p-1是梅森数。
若不定方程在2^p-1以内只有2个整数解，则2^p-1是素数，否则多个整数解及没有整数解的都是合数。
此法可以当作判断一个梅森数是不是梅森素数的一种方法，但该法实用价值很小；
因为梅森数都非常大，要判断它有没有整数解、有几个整数解非常困难，甚至不可能；
有解找不到，多解找不全是正常现象。
试想一个二合梅森数应有4个整数解，但我们费了九牛二虎之力，仅找到2个（找到1个后第2个迎刃而解），你能断定它是梅森素数吗？
一个梅森素数应该有2个整数解，如果我们连一个也没有找到（中间计算数值超界或计算误差都有可能找不到它的正确整数解，计算误差就不用说了），你能断定它一定不是梅森素数吗？

太阳 发表于 2024-4-17 13:57

本帖最后由 太阳 于 2024-4-17 14:05 编辑

(22374409540713252305937784154097278455686355260294264209082609675141894979517995824637882437579036322097480866815321796017098253533468270654139310715130669074908416658627182515642936250860404635935473420230235317248696314653397309354164114816234096229338406325749512812092225049869779423839571018442424580060635834926137719803297717644851952053756963695681339121225539123881789914395810156421579964539989040856733483263618405135507793478978055171587569623957693544196797897186255617234783739341249985745419377705271744298885911854498909795185990791325082656878453970774394714176698353038081976860179831463843377419489061331724997161598258154409976056125769900080299993843851608639216034^2+3)/(2^2281-1)＝1122233055447768129778599392799236214993728618895965978105411233208832454771200863349729892774825965249472409350961046119215026275385045542703431006500363404708561670338159928843447845754006211980513583219463042167202527797550088946944377586644684225311715401727560116409413900864286160475809537572406886575965497980804391450554862632761721945041355798903846104703464843500443855481158801417899337376392666990722900556575753820586127197531668779395885102507736272059009651158997204301307062618488666235915407413590831389756810559660529319469762428457708495421256129491651495854028237759402235010675791631303909933204561647923572337156618811924177128549024666762974697659433041483462009
(423713147643045177265213922248004531430522277152565636902908610288262790813302477544474662831424952704055765064308994906378660452160211094136764186746016401990345776695310942462583371696452006162939395619840044011180113997101446798740714137678632664740248591803233133065503803929301757538663497411174907122124114489656871452028807198405305676832849408449820363104699586100195039691031363417543233030710580371623987255213236888546158919365853135706033037162706168646043320673550576284651695486469164728333516008857226223879843215775096014616774970595388863623020821036180522425582097708185721416677201203202651025531562997716243696093790389776030949048061047109559871770289320809493620317^2+3)/(2^2281-1)＝402460971157779693089054737486706489189829650511167338671931411846329728288555682583186510286620742347207756606844634156480777224902127869025328307037386096320145921707021919875783883291345607738984435782829271736098620210245599578333494400449043252736221900879211180369820992780296264275299735930304889428639444152711538123676064343393215446724133800553042870088177511819813693632116712062539552403546983997757976672506194237231237253084406749313841352641256211373905532427523317871718218809746403408824012038565545310970714114480257634141058742232521489461563623194897779207259427592907041674827697163370111558045278498032442271269348750433545150120484301876242546474104902242337866292

查看完整版本: (a^2+3)/p=c两整数解之和等于p