已知 f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d 满足 f(1)=1，f(2)=4，f(3)=6，求 f(0)+f(4) 的值
本帖最后由 wintex 于 2024-4-17 19:01 编辑已知 f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d 满足 f(1)=1，f(2)=4，f(3)=6，求 f(0)+f(4) 的值 656，wintex,答案多少？列个方程。 题已知 f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d 满足 f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，求 f(0)+f(4) 。
解令 F(x)=f(x)-x^4=ax^3+bx^2+cx+d ，F(x) 是一个三次多项式。
在等距节点 x=0,1,2,3,4 上，三次多项式 F(x)=f(x)-x^4 的函数值的四阶差分必定等于 0 。
x 0 1 2 3 4
F(x)=f(x)-x^4 F(0)=f(0) F(1)=f(1)-1=0 F(2)=f(2)-16=-14 F(3)=f(3)-81=-78 F(4)=f(4)-256
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一阶差分 0-f(0)=-f(0) -14-0=-14 -78-(-14)=-64 f(4)-256-(-78)=f(4)-178
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二阶差分 -14-[-f(0)]=f(0)-14 -64-(-14)=-50 f(4)-178-(-64)=f(4)-114
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三阶差分 -50-=-f(0)-36 f(4)-114-(-50)=f(4)-64
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四阶差分 f(4)-64-[-f(0)-36]=f(0)+f(4)-28
因为三次多项式 F(x)=f(x)-x^4 的四阶差分等于 0 ，即有 f(0)+f(4)-28=0 ，所以 f(0)+f(4)=28 。 例如，当 a = -6 ，b = 11 ，c = -5 ，d = 0 时，f(x) = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 5x 。
这时有
f(0) = 0^4 - 6×0^3 + 11×0^2 - 5×0 = 0 ；
f(1) = 1^4 - 6×1^3 + 11×1^2 - 5×1 = 1 ；
f(2) = 2^4 - 6×2^3 + 11×2^2 - 5×2 = 2 ；
f(3) = 3^4 - 6×3^3 + 11×3^2 - 5×3 = 3 ；
f(4) = 4^4 - 6×4^3 + 11×4^2 - 5×4 = 28 。
符合 f(1) = 1 , f(2) = 2 , f(3) = 3 的已知条件，有 f(0) + f(4) = 0 + 28 = 28 。
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