表兄弟素数的中项和合成分布情况
2024年4月5日22:40周五农历二月廿七我们以前,都是分析的比较长谈的最密k生素数的中项和合成分布问题,今天咱们
研究一下孪生素数对的近亲,表兄弟素数(0,4)的中项和合成分布问题,仍就以
合成方法数与剩余类个数的关系恒等式说起:
\((P-2)^2=P^2-4P+4=1*(P-2)+2*(P-3)+(P-3)*(P-4)\)
这个恒等式表明了这么一层关系,对于满足条件的素数P来说,有1个剩余类拥有
(P-2)种合成方法;有2个剩余类各拥有(P-3)种合成方法;其余的剩余类各自拥有
(P-4)种合成方法。也是拥有平均数方法(除常数项以外的平均值合成方法数)。
所谓,平均值合成方法数是指除常数项以外,方法数/P所得的值。
表兄弟素数 0 4
中项置零 -2 2
求其逆元 2 -2
内部合成 2 -2
2 4 0
-2 0 -4
这里对字母一个说明:xdjl---相对距离,syl---剩余类,Tj---统计,都是采用词组的首个字母代替简化而得。
xdjl Tj2
4 1
0 2
-4 1
合计 4
素数 2 3 5 7 11 13
2 0 2 2 2 2 2
-2 0 1 3 5 9 11
未占剩余类 1 0 0 0 0 0
未占剩余类 未 占 1 1 1 1
未占剩余类 申 占 4 3 3 3
未占剩余类 酉 占 酉 4 4 4
未占剩余类 戌 占 戌 6 5 5
未占剩余类 亥 占 亥 占 6 6
未占剩余类 子 占 子 占 7 7
未占剩余类 丑 占 丑 占 8 8
未占剩余类 寅 占 寅 占 10 9
未占剩余类 卯 占 卯 占 卯 10
未占剩余类 辰 占 辰 占 辰 12
外部合成
素数2 1
1 0
只能合成整除2的正整数
素数3 0
0 0
只能合成整除3的正整数
素数5 0 1 4
0 0 1 4
1 1 2 0
4 4 0 3
能合成5的完全剩余系
5syl Tj2
0 3
1 2
2 1
3 1
4 2
合计 9
素数7 0 1 3 4 6
0 0 1 3 4 6
1 1 2 4 5 0
3 3 4 6 0 2
4 4 5 0 1 3
6 6 0 2 3 5
能合成7的完全剩余系
7syl Tj2
0 5
1 3
2 3
3 4
4 4
5 3
6 3
合计 25
素数11 0 1 3 4 5 6 7 8 10
0 0 1 3 4 5 6 7 8 10
1 1 2 4 5 6 7 8 9 0
3 3 4 6 7 8 9 10 0 2
4 4 5 7 8 9 10 0 1 3
5 5 6 8 9 10 0 1 2 4
6 6 7 9 10 0 1 2 3 5
7 7 8 10 0 1 2 3 4 6
8 8 9 0 1 2 3 4 5 7
10 10 0 2 3 4 5 6 7 9
能合成11的完全剩余系
11syl Tj2
0 9
1 7
2 7
3 7
4 8
5 7
6 7
7 8
8 7
9 7
10 7
合计 81
素数13 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12
0 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12
1 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 0
3 3 4 6 7 8 9 10 11 12 0 2
4 4 5 7 8 9 10 11 12 0 1 3
5 5 6 8 9 10 11 12 0 1 2 4
6 6 7 9 10 11 12 0 1 2 3 5
7 7 8 10 11 12 0 1 2 3 4 6
8 8 9 11 12 0 1 2 3 4 5 7
9 9 10 12 0 1 2 3 4 5 6 8
10 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 9
12 12 0 2 3 4 5 6 7 8 9 11
能合成13的完全剩余系
13syl Tj2
0 11
1 9
2 9
3 9
4 10
5 9
6 9
7 9
8 9
9 10
10 9
11 9
12 9
合计 121
根据外部合成,现在求其公共系数:
对于素数2来说,\(2*{1\over1}\);对于素数3来说,\(3*{1\over1}\);
对于素数5来说,\(5*{(5-4)\over(5-2)^2}\);实际上当素数P≥5时,其通用表达式,
即素数P对它(公共系数的)作用结果为:\(P*{(P-4)\over(P-2)^2}\)
它们共同作用结果为:6*∏\((P*{(P-4)\over(P-2)^2})\),其值就是公共系数
本帖最后由 白新岭 于 2024-4-6 10:48 编辑
上边的极限表达值似曾相识,它与用孪生素数对的中项和合成的公共系数表示完全一致。
对于调节系数来说,也是一致的,只有对应的剩余类不尽相同,整除的还是:∏(\({P_i-2}\over{P_i-4}\)) 2024年4月6日15:10周六农历二月廿八
我们研究分析二生素数的中项和(或差)合成时,总会遇到合成方法数与
剩余类的个数关系恒等式这个统一的模式,单丛内部合成来说,我们可能
觉着,它们的公共系数应该一致,实际上会有细微的差别的,它总的式子
形式基本一致,但是,有个细节需要注意,那就是,当其间距等于某素数
的2倍时,也可能多次涉及到,比方说,6,10,14,22,30它们,6对于素数3而言,
它的外部合成,素数3时与,跨度为2的,4的不同。我们具体分析一下,就
有了结果。
针对素数3的,合成数的公共系数就有原来的:\(3*{1\over1}\),变成了
\(3*{1\over4}\),是个不小的变化,也就是说,它是原来的\(1\over4\),
因为原来的孪生素数对的中项,还有表兄弟素数的中项时,只分配到整除
3的偶数上,现在却能分配到所有偶数位上了,即是偶数就能合成。改变
了原来的分配方案。
二生素数 0 2v
中项置零 "-v v
求其逆元 v “-v
内部合成 v “-v
v 2v 0
“-v 0 "-2v
xdjl Tj2
2v 1
0 2
"-2v 1
合计 4
素数 2 3 5 7 11 13
3 1 0 3 3 3 3
-3 1 0 2 4 8 10
未占剩余类 0 1 0 0 0 0
未占剩余类 未 2 1 1 1 1
未占剩余类 申 占 4 2 2 2
未占剩余类 酉 占 酉 5 4 4
未占剩余类 戌 占 戌 6 5 5
未占剩余类 亥 占 亥 占 6 6
未占剩余类 子 占 子 占 7 7
未占剩余类 丑 占 丑 占 9 8
未占剩余类 寅 占 寅 占 10 9
未占剩余类 卯 占 卯 占 卯 11
未占剩余类 辰 占 辰 占 辰 12
外部合成
素数3 1 2
1 2 0
2 0 1
3syl Tj2
0 2
1 1
2 1
合计 4
只有对比,你才发现它们之间是有区别的。 素数 2 3 5 7 11 13
5 1 2 0 5 5 5
-5 1 1 0 2 6 8
未占剩余类 0 0 1 0 0 0
未占剩余类 未 占 2 1 1 1
未占剩余类 申 占 3 2 2 2
未占剩余类 酉 占 4 5 4 4
未占剩余类 戌 占 戌 6 5 5
未占剩余类 亥 占 亥 占 6 6
未占剩余类 子 占 子 占 7 7
未占剩余类 丑 占 丑 占 9 8
未占剩余类 寅 占 寅 占 10 9
未占剩余类 卯 占 卯 占 卯 11
未占剩余类 辰 占 辰 占 辰 12
v=5时,
外部合成
素数5 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
5syl Tj2
0 4
1 3
2 3
3 3
4 3
合计 16
当v=5时,即二生素数(0,10),此时,外部合成,针对素数5的公共合成
系数是:\(5*{3\over{16}}\).而孪生素数对的中项时为:\(5*{1\over9}\)
一个3/16,与原来的1/9,它们的分配大不一样,原来是整除的是一类,与±2
同余的是一大类数,剩余的2个剩余类是一大类数(从拥有合成方法数上划分)
现在,是整除的为一大类数,非整除的是一大类数,两级分化,以前是三级分化
正常来说,二生素数的中项和(或差)针对素数P来说,一般是三个不同的分组,
当v能被某素数P整除时,是分成了两部分,就不是三部分了。
所以,我们针对每个二生素数的中项和(或差)的合成,要先分析,在下结论,不能相当然。 2024年4月9日17:01周二农历三月初一
二生素数的中项和(或差)合成,对于公共系数而言,所有公共系数对素数2免疫,
因为素数2,非此即彼,它剩下那个剩余类未占,都是整体“1”,不会进行从新
分布,调整,还有一个问题,因为2生素数的自对称性,无论是剩下,剩余类1,还是
0,相加,或相减,都是0,即整除2,不能合成除2余1的剩余类。所以,素数2对
公共系数不影响;而当大于素数2时,其他素数都有可能影响公共系数,例如,
素数3,当二生素数的跨度不是3的倍数时,只留下3的1个剩余类,未被占用,所以,
只能合成3的其中一个剩余类,而当是3的倍数时,这时,是两个剩余类未被占用,
有2*2=4种合成方法,分别落到3的3个剩余类上,与原先的,1*1=1种合成方法,
只能落到它其中的一个剩余类上,有着根本区别;当其跨度是多个奇素数因子组成
时,每个组成因子都会影响,改变公共系数,这种情况属于不同二生素数之间的
调节系数,与同一个二生素数对公共系数的调节系数不一样,它是针对合成数的
归属类的一个调整;而不同二生素数的公共系数是针对二生素数的跨度值,
影响到公共系数的一个调整,也就是说,一个是调整公共系数,另一个是在
公共系数不变的情况下,由公共系数调整到(或者说还原到,更确切)合成数
本身的适合系数上。 这些说辞,你不一定能看懂,除非你对这类问题有一个
基本研究过程,接触多了,就能体会到有所指了。
这样说吧,二生素数(0,2),它的中项合成(加与减无妨),其公共系数假设
为A,针对不同的合成数,是把公共系数A做为调整对象,它有两种情况需要调整
系数,一个是合成数是奇素数的倍数时,需要调整;另外一种情况是,合成数
与奇素数相除,余数与±2同余时要调整;其他情况无需调整;它们的调整(在
公共系数的基础)都是针对合成数与素数的相除,剩余的不同而言,主要强调
是针对合成数。
而不同的二生素数的公共系数调整,是针对二生素数的跨度而言,因为它
一旦是奇素数的倍数,会改变剩余类的个数,从而影响到总合成方法数,也会
导致合成数从新分布,就拿素数5来说,如果跨度不是5的倍数,则占去2个
剩余类,留下3个剩余类未被占用,合成方法数是:3*3=9种,这9种方法如何
分配(到5的剩余类上,不一定每个剩余类都有合成方法,不过,根据剩余类
个数过半原理,5的所有剩余类都能至少分到一种合成方法);而当跨度是5
的倍数时,这会有4个剩余类未占,只占了剩余类0,合成方法数为:4*4=16.
原来是9种,现在是16种,这16种的分配方案,与9种分配方案是不同的,
从而影响了它们(只合成数所参照的公共系数)公共系数,这也是一种
偷懒行为,有了一个二生素数的公共系数后,对于其他二生素数的公共
系数不在去求了,而是用它们之间的关系求出。求出公共系数后,对于此
二生素数的合成数来说,是以这个新得到的公共系数为调整对象,
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