杜国平：潜无穷、实无穷探析
没有任何问题能像无穷那样，如此深刻地影响人类的精神。任何一个问题都不曾如此有效地激励人们的心智；然而，也没有任何概念比无穷更需要澄清。一、潜无穷、实无穷的产生
在人类社会的早期，人们关于世界的知识主要是为了直接生存的需要。只有到了社会生产发展的一定阶段，当人们关于世界的知识从严格的实用性转到智力上的需求，特别是转到对知识本身进行考察的时候，无穷才进入人们的认识范围。这种转变最早出现于古希腊，大约发生于公元前6世纪左右。(，p.4)至迟，赫拉克利特(鼎盛年约BC504-501)已经认识到：“思想是最大的优点，智慧就在于说出真理……智慧只在于一件事，就是认识那善于驾驭一切的思想。”(，pp.25-26)亚里士多德(BC384-322)则更加明确地指出：“人们追求智慧是为了求知，并不是为了实用。”(，p.119)
无穷最初是作为哲学概念进入人们的研究视野的。米利都学派的阿那克西曼德(Anaximandros，约BC611-546)在研究世界的本原时指出：“万物的本原[αρχη]是无限者[το απειρоυ]，因为一切都生自无限者。因此有无穷个世界连续地生自本原，又灭入本原。”他还说出一个道理来证明本原是无限的：“因为那化生一切的应当什么都不缺乏。……任何东西，如果不是本原，就是来自本原；然而无限者没有本原，因为说无限者有本原就等于说它有限。它作为本原，是不生不灭的。凡是产生出来的东西，都要达到一个终点，然而有终点就是有限。所以说，无限者没有本原，它本身就是别的东西的本原，包罗一切，支配一切。”(，pp.16-17)
无穷进入数学领域，大约是在公元前4世纪左右。这一时期的德谟克里特(约BC460-370)认为：一切事物都是由原子和虚空构成的，原子在大小和数量上都是无穷的，原子是不可再分的。(，pp.16-17)德谟克里特把各种几何形体的面积和体积视为这种原子所组成的行列或原子层的总和，他曾用这样的方法求得锥体的体积。
几乎与无穷的诞生相伴，人们对于无穷的认识基本上可以分为两种：一种是潜无穷，一种是实无穷。例如德谟克里特认为原子是无穷小的，并且这种无穷小是完成了的无穷小，因为原子本身是不能再分的。这就是一种实无穷的观点。柏拉图(BC427-347)从他的理念世界观点出发，数学对象在他那里获得了一种本体论意义上的实在性，无穷当然也不例外。所以柏拉图也是实无穷论者。历史上第一次明确区分了潜无穷和实无穷的是亚里士多德。与柏拉图相反，亚里士多德坚持认为只有潜无穷，而没有实无穷。他认为：无穷只能是一种潜在的存在，而不能是一种实在的存在。并且所谓无穷是一种潜在的存在，意思不是说它会在什么时候现实地具有独立的存在。它的潜在的存在只是对知识而言。因为分割过程永远不会告终；这个事实保证了这种活动存在的潜在性，但并不能保证无穷独立的存在。
与西方无穷观诞生、发展的轨迹相似，我国古代对于无穷的观点也同样分为潜无穷和实无穷两种。我国早在先秦时期，关于无穷的观点就诞生了。在先秦典籍《尚书》中，就使用了无穷一词：“公其惟时成周，建无穷之基，亦有无穷之闻。”这一时期的惠施提出了著名的“历物十事”，即关于天地万物的十个命题。其中有一个命题是：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”大意是说：在包含天地万物的那个称为“大一”的无穷大之外别无他物；在构成天地万物的那个称为“小一”的无穷小之内不可再分。大可以达到完全，小可以达到极至，这里显然包含了典型的实无穷思想。同一时期的辩者们提出了著名的“辩者二十一事”，即辩论的二十一个命题。其中有一个命题为：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”大意是：一个一尺长的木杖，今天取其一半，明天取其一半的一半，后天取其一半的一半的一半，如此进行下去，尽管木杖越来越短，但是永远也不会取完。这里显然包含了典型的潜无穷思想。(，pp.10-32)
我国数学家同样将无穷引入了数学，并且使用无穷概念解决数学问题。晋代著名数学家刘徽提出了使用内接正多边形(正多边形)来求圆的面积，随着内接正多边形边数的增加，多边形的面积不断逼近圆面积。他认为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”其中“割之弥细，所失弥少，割之又割”显然是一个可以不断进行的过程，这其中包含了潜无穷的思想，而其中的“以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”则说明割圆的过程可以进行完毕，这包含着非常难得的实无穷思想。
古希腊学者们明确地以无穷、潜无穷和实无穷作为研究的对象；与之不同的是，中国古代的学者具有了相关的思想，但是并没有直接地将无穷、潜无穷和实无穷作为自己的研究对象。
二、潜无穷、实无穷的此消彼长
亚里士多德明确地认识到了潜无穷与实无穷的不同，不同意柏拉图的实无穷观点，而坚持彻底的潜无穷观点。自此以后，两种无穷观进行了历时二千多年的此消彼长，直至今日。
古希腊时代的无穷研究并没有能够持续深入的进行，原因之一是芝诺(鼎盛年约BC464-461)悖论在较长时期内没能获得令人信服的解决。芝诺一共提出了四个悖论，其中都牵涉到无穷问题。例如其中最著名的一个悖论大意可以这样来说明：
……这个过程可以一直进行下去，所以阿基里斯永远追不上乌龟。但是根据常识阿基里斯显然可以很快地追上乌龟并超过它，这就构成了悖论。(，pp.190-193)由于在古希腊时代芝诺悖论长久不能获得圆满的解决，无穷逐渐淡出了人们的视线，至欧几里德(约BC330-275)以后，古希腊人对于无穷基本上采取一种笼统的排斥态度。
15世纪前后，随着文艺复兴的开始，无穷又重新引起了人们的重视。开普勒在《测量酒桶的新立体几何》一书中，成功地使用了无穷小量分析方法求得了一些曲面体的体积。此后，牛顿和莱布尼茨进一步使用无穷小分析方法各自独立地提出了微积分理论。这一时期的数学家把无穷小当作一种实体存在的对象，所以他们基本上都是实无穷论者。随着微积分在实践和工程上所获得的巨大成功，实无穷观点在这一时期占据了主导地位。
但是对于无穷小量究竟是不是0的问题，这一时期的数学家们一直不能给出有说服力的说明。特别是1734年大主教贝克莱在《分析学者，或致一个不信教的数学家。其中审查现代分析的对象、原则与推断是否比之宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明显》一文中提出了著名的贝克莱悖论，从而使得这一矛盾更加激化，导致了第二次数学危机，对于微积分的理论基础的建构显得更加迫切。(，pp.149-159)
到了19世纪，在众多数学家努力的基础上，柯西和魏尔斯特拉斯系统地建立了极限理论，给了微积分一个严格的理论基础。极限论贯彻了彻底的潜无穷观点，随着极限论的发展，潜无穷又逐渐取代了实无穷的优势地位。
19世纪末、20世纪初德国数学家康托尔系统地建立了集合理论、特别是关于无穷集合的理论。康托尔将无穷集合看作一个完成了的实体，他是个彻底的实无穷论者。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的一个非常重要的基础理论。康托尔的工作受到了包括大数学家希尔伯特在内的众多数学家的赞许，实无穷被众多的数学家所接受。
但是，由于集合论悖论的出现，导致了第三次数学危机。在解决危机为数学构建基础的运动中，产生了不同的流派，数学基础诸流派在无穷观问题上也观点各异。例如直觉主义派坚持潜无穷观点，公理集合论派坚持实无穷观点。
更有为数众多的数学家在无穷观问题上摇摆不定。例如提出非标准分析的数学家鲁滨逊在1964年就曾经表达了他的无奈：“关于数学基础，我的立场(见解)是基于如下的两个主要原则(或观点)：(1)无穷集合按任何词义来说都不存在(不论在实际上或理论上都不存在)，更精确地说，关于无穷集合的任何陈述或大意陈述都在字面上简直是无意义的。(2)但是我们还应该如通常那样去从事数学活动，就是当我们做起来的时候，还是应该把无穷集合当作似乎是真实存在的那样。”
三、潜无穷、实无穷基本内涵及其相互关系探析
通常的看法是：实无穷论者认为，无穷是一个现实的、完成的、存在的整体。潜无穷论者认为，无穷并不是已完成的，而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的。但是，从历史的观点看，不同的学者对无穷有各自不同的理解，即使同为实无穷论者抑或同为潜无穷论者。
例如，高斯在给舒马赫的著名信件中就以十分坚定的口气表明了他对无穷的见解：“我反对把无穷量当作一种完成了实体来使用，这在数学中是绝对不允许的。无穷不过是谈及极限时的一种说话方式而已。”(，p.55)
无穷统帅康托尔在《集合论基础》一书中论证了对于完成了的实无穷的反对是毫无根据的，他希望以一种无可反驳的方式来对高斯那样的数学家、亚里士多德那样的哲学家以及托马斯·阿奎那那样的神学家作出答复。(，pp.55-69)他指出：自然数序列1，2，3，…是从1开始，通过相继加1而产生的。这种通过相继加1定义有穷序数的过程，被称为“第一生成原则”。将全体有穷整数集合称为第一数类，用(Ⅰ)表示，显然其中无最大数。用一个新数ω来表示它的自然顺序没有什么不当之处，这个新数ω是紧跟在整个自然数序列之后的第一个数——第一个超穷数。要特别注意的是，这里的ω是一个数，而不是微积分中的变量∞(无穷大)。ω是“实无穷”，而∞只是“潜无穷”。从ω出发，运用第一生成原则，可以得到一个超穷数序列：ω，ω+1，ω+2，…，ω+υ，…。由自然数序列1，2，…，υ，…，到上面这个超穷数序列，这一过程运用的是“第二生成原则”：给定任意实整数序列，如果其中无最大数，则可产生一个新数，它作为这个序列的极限，定义为大于此序列中所有数的一个后继。(，pp.60-78)康托尔的无穷是分层次的，一层上的无穷比其前一层上的无穷“更大”。例如所有几何曲线的数目比所有平面上点的数目大，而所有平面上点的数目又比所有整数的数目大。(，pp.1-36)
希尔伯特曾经明确指出：“在现实世界中是找不到无穷的，无论借助于什么样的经验、观察抑或知识。”希尔伯特认为：“在分析中，我们只是把无限大和无限小当作极限概念，当作某种正在到来、正在发生的东西来研究，即我们研究的是潜无限。但这不是真的无限。当我们把数1，2，3，4，……的总体本身看作一个完整的统一体，或者当我们把一个区间的点看作同时存在的许多事物的总体时，我们遇到了真的无限。这种无限性称为实无限性。”
美国数学家丹奇克(T Dantzig)指出：“无穷的概念既不是实验的天然物，也不是逻辑的必然物；而是数学的必然物。头脑知道它能想像出一种可能的动作的无限次重复，我们对头脑的能力的这种肯定也许是一种纯粹的幻想，然而它却是一种方便的、从而就是必要的幻想了。”(，pp.205-206)
美国数学家莫里斯·克莱因说：“从亚里士多德起，数学家们就能区分实无穷与潜无穷。比如说，地球的年龄，如果有人认为它是在某个确定时间创生的，它的年龄就是潜无穷。因为无论什么时候，它虽然有限，却在持续增长。所有(正)整数的集合也可以被看作是潜无限的。因为，即使一个人数到了一百万，他还可以考虑再加一、加二，等等。然而，如果地球在过去是一直存在的话，则任何时刻其年龄都是实无穷的。同样，所有整数的集合被当作一个整体时是实无穷的。”(，p.198)
以色列数学家马奥尔(Eli Maor)认为“前者(潜无穷)涉及的过程可被一次又一次地重复，但是它在任何给定的阶段所包含的重复次数仍然是有限的。自然数1，2，3，……的集合是潜无穷的，因为每一个自然数都有一个后继者，然而在计数过程的每一个阶段——无论这个阶段进展到何种程度，我们遇见的元素的数目仍然是有限的。从另一方面讲，实无穷涉及到的过程在每个阶段上已经得到了无穷多次重复。整数集在按照其‘自然’顺序：……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……排列时，就包含一个实无穷集，因为在每一个阶段都已经有无穷多个整数出现。”(，p.77)
综合不同数学家的论述，我们可以将潜无穷和实无穷的基本内涵总结如下：
潜无穷：理论上并不真实存在，只是一种观念的暂时性使用，不能比较大小，作为一个序列是未完成的、处于不断构造进程之中的，每一个片断都是有限的；
实无穷：理论上真实存在的，是一种不同于一般数的超穷数，可以比较大小，作为一个序列是一个完成了的整体。
近年来，我国学者朱梧槚和他的研究团队对于无穷问题进行了深入的研究，发表了一系列文章。他对潜无穷和实无穷的差别概括为：
其一从生成的角度看，潜无穷永远是现在进行式(going)，而实无穷却是完成式(gone)；
其二从存在的角度看，潜无穷是动态的和潜在的，而实无穷是静态的和实在的。
从而潜无穷的两条基本性质是：
(1)非有限：给出了通向实无穷的可能性(going)；
(2)必须永远是现在进行式；从而否定了达到进程终极处的可能性(非gone，即going)。
而实无穷的两条基本性质是：
(1)非有限：给出了通向实无穷的可能性(going)；
(2)必定是完成式：从而肯定了达到进程终极处(gone)。
实无穷是由现在进行式(going)转化为完成式(gone)，而潜无穷是由现在进行式(going)强化为永远是现在进行式(going)，而无论是潜无穷还是实无穷，同样都是非有限进程。
在此基础上，他通过引入一系列简记符号，给出了一个潜无穷和实无穷的描述性定义：
简记符号：
这些工作是无穷问题研究的新成果。①
从逻辑上讲，潜无穷和实无穷之间的关系无非有如下几种可能的观点：
(1)只存在一种无穷，那就是潜无穷；
(2)只存在一种无穷，那就是实无穷；
(3)存在两种无穷，但是潜无穷和实无穷是不分的，或者说是一个无穷的两个方面；
(4)存在两种无穷，潜无穷和实无穷是不同的。
前三种观点实际上坚持二分法，后一种观点坚持三分法。例如对于所有集合而言，前三种观点认为一个集合要么是有穷集合，要么是无穷集合(潜无穷或实无穷)；后一种观点认为一个集合要么是有穷集合，要么是潜无穷集合，要么是实无穷集合。
非常有趣的是上述这些可能的观点在历史上都曾出现过。
持第(1)种观点的除了亚里士多德之外，近代比较出名的当数直觉主义者布劳维尔和外尔(Weyl)等人。外尔明确指出：“布劳维尔使这一点明确了，就是没有任何证据能够证明所有自然数整体的存在性，……自然数列，它能够通过不断地达到下一个数而超越任何一个已经达到的界线，从而也就开辟了通向无限的可能性，但它永远停留于创造和生成的状态之中，而决不是一个存在于自身之中的事物的封闭领域。”
持第(2)种观点的主要代表理所当然地要数康托尔。康托尔认为潜无穷是不可能独立存在的，离开了作为整体存在的实无穷，无穷是不可想象的。他指出：“任一潜无穷都必然导致超穷，离开了后者，潜无穷是无法想像的。”(，pp.55-69)
持第(3)种观点的主要有我国学者徐利治。他认为：与光的“波粒二象性”类似，自然数列也具有内蕴性与排序性这两重性质。内蕴性具有如下特点：
(1)内蕴性随着自然数列的延伸而不断趋于复杂化，新的性质不断产生。
(2)内蕴性是在能行的构造活动中被发现的，相关的运算必须能在有限步骤内按确定规则完成。如果某一数学对象尚未构造出来，就无法判定其内蕴性质。
(3)不断延长的自然数列的内蕴性是认识不完的。所以，从内蕴性角度看待自然数列(即着眼于含有内蕴性质的自然数列)，只能视之为潜无限。
排序性具有如下特点：
(1)排序性是自然数列的整体性质，是数列所具有的一种最单纯的序结构性质。
(2)对排序性的把握无须能行的构造活动，只要准确地预见出自然数列的发展趋势，无须逐一构造出所有中间环节。
(3)从排序性角度看待自然数列的整体，就必须将它视为实无限。
内蕴性是潜藏于自然数列中的“微观属性”，排序性是自然数列所显示的“宏观本性”。自然数列兼具有上述的二重性本质，所以，自然数列本质上是一种“双相无限结构”。(，pp.490-501)
我国学者朱梧槚持第(4)种观点。他认为：两种无穷观既不要在全盘否定另一种无穷观的方式下去寻求自身的存在和发展，也不要在排斥或吞并另一种无穷观的背景世界的前提下去刻化自身的存在和发展。而应该让两种无穷观各自去刻化和解释属于它们自身的背景世界。要努力建造一个能以容纳两种不同无穷观及其背景世界的数学框架，以求不同的无穷观在数学领域里获得一种合情的理解，并由此而使我们的数学科学能更好地解释世界和改造世界。他提出了两条原则：背景世界三分法原则和两种无穷观不容混淆原则。
从逻辑上讲，只要一致地坚持上述任何一种观点，都是可以允许的；即完全可以建构不同的无穷理论体系，这取决于不同的哲学，而决不会有逻辑或者数学的理由。
四、潜无穷、实无穷的定义尝试及其释悖功能
在上述梳理分析的基础上，下面我们尝试在一致地坚持观点(4)的前提下给出一个潜无穷和实无穷的数学定义。
我们知道在现代公理集合论中，无穷概念是这样定义的：一个集合如果能够和某个自然数建立一一对应，则该集合称为有穷集合；一个集合如果不能够和某个自然数建立一一对应，则该集合称为无穷集合。很容易证明：一个集合为有穷集合当且仅当该集合不能与其任何真子集建立一一对应；而一个集合为无穷集合当且仅当该集合能与其某个真子集建立一一对应。这显然是受到伽利略悖论的启发。伽利略在研究无穷集合时发现，对于无穷集合“整体可以等于部分”(即无穷集合能与其某个真子集建立一一对应)，这与当时人们的信条“整体大于部分”相冲突，因而被视为悖论。而“整体可以等于部分”正是无穷集合的特征性质之一，由此不难看出伽利略悖论和现代无穷概念定义之间的联系。实际上，有些逻辑学家干脆就用“整体可以等于部分”来作为无穷集合的定义。
伽利略悖论启发了无穷概念的定义，我们受此启发，利用罗素悖论来给出潜无穷和实无穷的定义。
那么上述定义可以简述为：
(2)运算上的差别。
实无穷：能够进行补、并、交、幂运算；
潜无穷：只能进行重新定义的补、并、交、幂运算，其中一些重要的定理如康托尔定理等不再成立。
新定义导致的一个重要结果是：
(1)无穷集合可以分为两种，一种是潜无穷集合，一种是实无穷集合。
(2)容易证明：
定理1 通常所说的包含所有集合的集合(大全集)、包含所有序数的集合、包含所有基数的集合等都是潜无穷集合。
对于最大序数悖论可以作类似的解释。
五、结语
潜无穷、实无穷的长期论争，从一个侧面说明了潜无穷、实无穷是两种各具合理性的客观存在。试图以一种无穷观取代另一种无穷观而独霸无穷世界是不可能实现的；实无穷、潜无穷具有不同于有穷的本质属性，实无穷是一种完成了的实体无穷，潜无穷是一种突破有穷处于不断创生进程中的无穷；实无穷是潜无穷的最终归宿，潜无穷是实无穷的必要构成。
历史上不同学者对潜无穷、实无穷性质的描述，有助于人们对潜无穷、实无穷的理解；但是对于潜无穷、实无穷的概念一直没有精确的数学定义，这导致了不少的混乱，也是潜无穷论者和实无穷论者长期论争的主要原因。特别是对潜无穷、实无穷不加区别的相互误用，是导致各种悖论的理论根源。通过给出严格的潜无穷、实无穷定义是可以消除这些悖论的，而不需要在ZFC中添加特设性很强的正则公理和限制很大的子集公理。
在本文尝试定义的基础上，是否可以建立或如何建立严格的公理化集合论系统，是需要进一步研究的课题。一贯地或者彻底地坚持某一种可能的潜无穷、实无穷观点，如同建立不同的几何理论一样建立不同的公理化集合论系统，为数学提供不同的理论基础，为世界提供不同的数学模型，这也是一项可行并很有意义的工作，需要众多学者的共同努力。
杜国平(1965-)，男，江苏盱眙人，逻辑学博士，南京大学教授，南京大学现代逻辑与逻辑应用研究所
【注释】
①这一描述性定义是朱梧槚先生近期完成的一篇关于研究无穷问题的论文中的成果。
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——天下智谋之士所见略同耳。:lol 本帖最后由 elim 于 2024-3-5 15:43 编辑
无穷的观念很早就有了，潜无穷和实无穷的分别出现在对使用无穷的合理性乃至有关无穷的本质的研究上。
第二次数学危机前的大数学家几乎都反对【明确支持实无穷观点】。他们认为潜无穷更直观，更省慎。到了哲学家神学家明确挑战微积分的合理性的时候，迫使数学家把他们的魔术说清楚。这就产生了定义或者说清楚无穷的需要。这件事最后导致以下理解：
潜无穷其实是某些变量的绰号，这种变量随着自变量的趋向而无底限地趋向某值或无限变大。
实无穷是非有限基数的集合的统称。潜实无穷这两个观念毫无对立可言，也不能引出有意义的数学结构和数学方法。除了让一大堆吃瓜群众莫名其妙兴奋不已激情站队，没大好处。所以近代的数学书大多压根不提潜实无穷。 问一个问题，参加博士生老考试存在年龄要求吗？？(如果不是退免生)！
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