将数字之和为 7 的正整数,按从小到大的次序排列,问:2023 排在第几个?
题将数字之和为 7 的正整数,按从小到大的次序排列,问:2023 排在第几个?解分几种情况讨论:
(一)一位数、二位数和三位数。
如果在一位数、二位数前面加上 0 ,这一类数都可认为有 3 位数字,且 3 位数字之和为 7 。可
以看作是先将 7 个球排成一列,然后插入 2 块隔板,将球分为 3 段,3 段中的球数就是 3 位数字。
球和隔板共 9 个物体,在其中选定 2 个为隔板,有 C(9,2)=36 种不同的选法,所以这类数有 36 个:
007 ,016 ,025 ,034 ,043 ,052 ,061 ,070 ,
106 ,115 ,124 ,133 ,142 ,151 ,160 ,
205 ,214 ,223 ,232 ,241 ,250 ,
304 ,313 ,322 ,331 ,340 ,
403 ,412 ,421 ,430 ,
502 ,511 ,520 ,
601 , 610 ,
700 。
(二)以 1 为首的四位数。
这时在千位上有一个 1 ,其余 3 位数字之和为 6 。可以看作是先将 6 个球排成一列,然后插入 2 块
隔板,将球分为 3 段,3 段中的球数就是 3 位数字。球和隔板共 8 个物体,在其中选定 2 个为隔板,有
C(8,2)=28 种不同的选法,所以这类数有 28 个:
1006 ,1015 ,1024 ,1033 ,1042 ,1051 ,1060 ,
1105 ,1114 ,1123 ,1132 ,1141 ,1150 ,
1204 ,1213 ,1222 ,1231 ,1240 ,
1303 ,1312 ,1321 ,1330 ,
1402 ,1411 ,1420 ,
1501 ,1510 ,
1600 。
(三)以 2 为首的四位数。
这时在千位上有一个 2 ,其余 3 位数字之和为 5 。可以看作是先将 5 个球排成一列,然后插入 2 块
隔板,将球分为 3 段,3 段中的球数就是 3 位数字。球和隔板共 7 个物体,在其中选定 2 个为隔板,有
C(7,2)=21 种不同的选法,所以这类数有 21 个:
2005 ,2014 ,2023 ,2032 ,2041 ,2050 ,…… ,2500 。
可以看出,在这一类数中,按大小排在 2023 前面的数,只有 2 个。
综合以上分析,可知按大小排在 2023 前面的数,共有 36 + 28 + 2 = 66 个,所以 2023 排在第 67 个。 写代码惯了,已基本失去分析能力了:L
Length@Select
页:
[1]