神侃：阴阳学说、悖论、标准二值逻辑、微积分基础
本帖最后由 Ysu2008 于 2024-3-1 21:15 编辑（1）无穷小到底能不能等于 0 ？
例：用极限求函数\(f\left( x\right)=x^2\)的导数。
解：\(\frac{dy}{dx}=\lim_{\triangle x\to0}\frac{\left( x+\triangle x\right)^2-x^2}{\triangle x}\)
分子展开消去平方项
\(=\lim_{\triangle x\to0}\frac{x^2+2x\triangle x+\left( \triangle x\right)^2-x^2}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\to0}\frac{2x\triangle x+\left( \triangle x\right)^2}{\triangle x}\)
约去公因子\(\triangle x\)，显然这里\(\triangle x\ne0\)
\(\lim_{\triangle x\to0}\left( 2x+\triangle x\right)\)
最后得
\(\lim_{\triangle x\to0}\left( 2x+\triangle x\right)=2x\)
问题就出在最后这一步。建立在潜无穷观点之上的标准分析，\(\triangle x\ne0\)，最终结果应为 \(\lim_{\triangle x\to0}\left( 2x+\triangle x\right)=2x+\lim_{\triangle x\to0}\triangle x\)
要去掉\(\triangle x\)这个小尾巴，最后一步只能基于实无穷观点！
换句话说，整个推导过程\(\triangle x=0\)和\(\triangle x\ne0\)同时成立，违反标准二值逻辑矛盾律。
柯西等先贤试图将分析学建立在潜无穷观点之上，最后我们发现还是无法绕开实无穷，这是为什么呢？
（2）阴阳学说早就断言：孤阴不生、独阳不长。
万事万物都由阴阳构成，阴阳是事物的一体两面。就如男人和女人，无法分开，谁也离不开谁。
潜无穷和实无穷也是一对阴阳，仅依赖其中一种观点，都不可行。上述求导，仅依赖潜无穷，\(\triangle x\)小尾巴无法消除。
但同时引入潜无穷和实无穷两种观点，必然违反矛盾律，怎么办呢？
（3）扩展标准二值逻辑，拒绝二值矛盾律，承认二值悖论，将分析学建立在潜无穷和实无穷两种观点之上，使用多值逻辑推导，鱼与熊掌兼得。
比如建立四值逻辑体系（命题\(P\)与\(\neg P\)可同时为真）：
命题\(P\)为真，\(\neg P\)为假；
命题\(P\)为假，\(\neg P\)为真；
命题\(P\)为真，\(\neg P\)为真；
命题\(P\)为假，\(\neg P\)为假。
一套逻辑体系，是否对应着一套数学体系呢？ 定义\(\;\small N(x_0,\delta)=\{x\mid |x-x_0|<\delta\}, \;N_o(x_0,\delta)=\{x\mid 0<|x-x_0|<\delta\}\)
\(\qquad\)为\(x_0\)的\(\delta\)邻域及\(\delta\)去心邻域．
\(\small\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=a\iff\exists a\,\forall \varepsilon>0\,\exists\delta_{\varepsilon}>0\,\forall x\in N_o(x_0,\delta_{\varepsilon})\;|f(x)-a|<\varepsilon\)
例：任给\(\varepsilon>0\),取\(\delta=\varepsilon,\) 则当\(0< |h|<\delta\)时\(\big|\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\scriptsize-2x\big|=|h|<\varepsilon.\)
\(\quad\)即\((x^2)’:\small\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=2x.\)
在标准分析中，导数不是函数增量与自变量增量的"最终比", 而是所论差商
关于自变量增量趋于0的极限，而极限不依赖于达到，也不依赖于无穷小量概念．
换句话说，标准分析用废弃无穷小，严格定义极限的方法破解了第二次数学危机．
注：潜无穷，实无穷不再是 ZFC 基础上的标准分析的概念。标准分析中
没有物理意义上的时间。 本帖最后由 Ysu2008 于 2024-3-2 15:40 编辑
elim 发表于 2024-3-2 03:16
定义\(\;\small N(x_0,\delta)=\{x\mid |x-x_0|
这个极限的定义就属于潜无穷观，即：变量“永远在路上”。
只不过借助 limit 这个符号，用变量的极限替换掉“半路上的变量”。等价于将变量直接送达终点。
如果没有 limit 怎么办？
比如 0.9...... = 1，该等式只有在实无穷观下成立。左边无穷多个 9 ，已经极了限了，变量已达终点，两边相等。
但从潜无穷观理解，0.9...... “永远在路上”, 没有 limit 送它一程，永远不可能等于 1 . Ysu2008 发表于 2024-3-2 15:39
这个极限的定义就属于潜无穷观，即：变量“永远在路上”。
只不过借助 limit 这个符号，用变量的极限 ...
“0.9...... 有无穷多个 9”——这句陈述——只有在实无穷观下才有意义。 Ysu2008 发表于 2024-3-2 10:59
“0.9...... 有无穷多个 9”——这句陈述——只有在实无穷观下才有意义。
这些潜无穷实无穷的说辞，不属于数学，就像将军骂娘一样，不属于军事科学。
0.999... 有多 9, 可以理解为非有限个 9， 所以可以不依赖于实无穷或潜无穷。
正在路上的思想正是标准分析所扬弃的。极限是那个序列无底线趋近的定数，而不是将序列的项看成接力赛队员，他们传递的正在路上的接力棒的位置。 elim 发表于 2024-3-3 12:13
这些潜无穷实无穷的说辞，不属于数学，就像将军骂娘一样，不属于军事科学。
0.999... 有多 9, 可以理 ...
“非有限个”不就是“无穷多个”吗？:lol
无穷观，逻辑学都不是数学，但都与数学有关。:handshake Ysu2008 发表于 2024-3-2 22:01
“非有限个”不就是“无穷多个”吗？
无穷观，逻辑学都不是数学，但都与数学有关。
非有限个就是无穷个但不规定实还是潜无穷。
不管怎么说，这些说辞已经不会影响数学论证推理了。
有一点很重要，数学不涉及时间，序列的极限是序列的属性，人花多少时间求出它是因人而异的，不是数学真理。对有些人来说永远得不到的事情，对另一些人来说是一望而知的。 elim 发表于 2024-3-3 13:51
非有限个就是无穷个但不规定实还是潜无穷。
不管怎么说，这些说辞已经不会影响数学论证推理了。
0.9...... 有无穷多个 9 ，即存在无穷多个 9 ，这个“存在”只能在实无穷下成立。
这就是为什么总有人纠结 0.9...... = 1 ，但他们都没反驳到点子上。 柯西以来，人们试图将分析学全部建立在潜无穷观之上。
这相当于试图将人类社会建立在全部是女人或全部是男人的基础之上，显然不可行。
人类社会存在一天，男人和女人就一定同时存在。
分析学存在一天·，潜无穷和实无穷也一定同时存在。有时，我们能用 limit 暂时避开实无穷，但实无穷不在这里出现，就会在那里出现。
在标准二值逻辑下，潜无穷和实无穷同时存在的矛盾无解。
这就是我的观点，玄谈而已，不必当真。 Ysu2008 发表于 2024-3-3 00:36
0.9...... 有无穷多个 9 ，即存在无穷多个 9 ，这个“存在”只能在实无穷下成立。
这就是为什么总有 ...
什么是你的实无穷啊？有数学定义吗？
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